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18.如图所示，小明在荡秋千时，发现秋千在静止时，秋千离地面的距离EF=3 dm；荡起的水平距离BC=13 dm时，秋千离地面的距离BD=CE=8 dm.求秋千的绳索AF的长. 
答案
18.秋千的绳索AF的长为19.4 dm.
解析
【分析】
解题时首先抓住隐含条件：秋千绳索长度不变，即AF=AB。我们可以通过设未知数的方法求解：先设AF的长为x dm，再结合已知的EF、CE长度求出竖直方向线段AC的长度表达式，最后在Rt△ACB中利用勾股定理列方程，解方程即可得到绳索长度。
【解析】
设秋千的绳索AF的长为x dm，由绳索长度不变得AB = AF = x dm。
根据题意可知：
CF = CE - EF = 8 - 3 = 5 (dm)
∴ AC = AF - CF = (x - 5) dm
∵ BC⊥AC，即△ACB为直角三角形
根据勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$
代入对应数值：
$(x - 5)^2 + 13^2 = x^2$
展开并整理方程：
$x^2 - 10x + 25 + 169 = x^2$
消去$x^2$后得：$-10x + 194 = 0$
解得：$x = 19.4$
【答案】
19.4 dm
【知识点】
勾股定理的应用；列方程解几何问题；长度和差计算
【点评】
本题结合荡秋千的生活场景出题，解题关键是找到不变的绳索长度，构造直角三角形利用勾股定理建立等量关系，很好地考察了学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住隐含条件：秋千绳索长度不变，即AF=AB。我们可以通过设未知数的方法求解：先设AF的长为x dm，再结合已知的EF、CE长度求出竖直方向线段AC的长度表达式，最后在Rt△ACB中利用勾股定理列方程，解方程即可得到绳索长度。
【解析】
设秋千的绳索AF的长为x dm，由绳索长度不变得AB = AF = x dm。
根据题意可知：
CF = CE - EF = 8 - 3 = 5 (dm)
∴ AC = AF - CF = (x - 5) dm
∵ BC⊥AC，即△ACB为直角三角形
根据勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$
代入对应数值：
$(x - 5)^2 + 13^2 = x^2$
展开并整理方程：
$x^2 - 10x + 25 + 169 = x^2$
消去$x^2$后得：$-10x + 194 = 0$
解得：$x = 19.4$
【答案】
19.4 dm
【知识点】
勾股定理的应用；列方程解几何问题；长度和差计算
【点评】
本题结合荡秋千的生活场景出题，解题关键是找到不变的绳索长度，构造直角三角形利用勾股定理建立等量关系，很好地考察了学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
19. 如图所示，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥DE，AB=1，BC=2，$CD=2\sqrt{5}$，DE=3，AE=4，求五边形ABCDE的面积. 
答案
19.五边形ABCDE的面积为12.
解析
【分析】
求解不规则五边形的面积可采用分割法，将其转化为多个规则图形面积之和。我们可以连接AC、AD，把五边形分割为△ABC、△ACD、△AED三个三角形：首先利用勾股定理分别计算Rt△ABC的斜边AC、Rt△AED的斜边AD的长度，再通过勾股定理的逆定理判断△ACD的形状，最后分别计算三个三角形的面积，相加即可得到五边形的总面积。
【解析】
解：连接AC、AD。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=1$，$BC=2$：
由勾股定理得 $AC^2=AB^2+BC^2=1^2+2^2=5$，
$△ ABC$的面积 $S_1=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×1×2=1$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ E=90°$，$AE=4$，$DE=3$：
由勾股定理得 $AD^2=AE^2+DE^2=4^2+3^2=25$，
$△ AED$的面积 $S_2=\frac{1}{2}× AE× DE=\frac{1}{2}×4×3=6$。
3. 已知$CD=2\sqrt{5}$，则$CD^2=(2\sqrt{5})^2=20$，
$\because AC^2+CD^2=5+20=25=AD^2$，
$\therefore △ ACD$是直角三角形，且$∠ ACD=90°$，
$△ ACD$的面积 $S_3=\frac{1}{2}× AC× CD=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$。
4. 五边形ABCDE的面积为：
$S=S_1+S_3+S_2=1+5+6=12$。
【答案】
12
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题核心是通过添加辅助线将不规则五边形转化为熟悉的三角形求解，需要熟练掌握勾股定理计算边长、勾股定理逆定理判断直角三角形的方法，合理的辅助线是解题的关键。
【难度系数】
0.7
求解不规则五边形的面积可采用分割法，将其转化为多个规则图形面积之和。我们可以连接AC、AD，把五边形分割为△ABC、△ACD、△AED三个三角形：首先利用勾股定理分别计算Rt△ABC的斜边AC、Rt△AED的斜边AD的长度，再通过勾股定理的逆定理判断△ACD的形状，最后分别计算三个三角形的面积，相加即可得到五边形的总面积。
【解析】
解：连接AC、AD。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=1$，$BC=2$：
由勾股定理得 $AC^2=AB^2+BC^2=1^2+2^2=5$，
$△ ABC$的面积 $S_1=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×1×2=1$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ E=90°$，$AE=4$，$DE=3$：
由勾股定理得 $AD^2=AE^2+DE^2=4^2+3^2=25$，
$△ AED$的面积 $S_2=\frac{1}{2}× AE× DE=\frac{1}{2}×4×3=6$。
3. 已知$CD=2\sqrt{5}$，则$CD^2=(2\sqrt{5})^2=20$，
$\because AC^2+CD^2=5+20=25=AD^2$，
$\therefore △ ACD$是直角三角形，且$∠ ACD=90°$，
$△ ACD$的面积 $S_3=\frac{1}{2}× AC× CD=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$。
4. 五边形ABCDE的面积为：
$S=S_1+S_3+S_2=1+5+6=12$。
【答案】
12
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题核心是通过添加辅助线将不规则五边形转化为熟悉的三角形求解，需要熟练掌握勾股定理计算边长、勾股定理逆定理判断直角三角形的方法，合理的辅助线是解题的关键。
【难度系数】
0.7
