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9. 如图所示，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$D$，$E$分别为$BC$，$AC$的中点，若$AE=4$，$BD=5$，则$AB$的长为(
A.9
B.7
C.6
D.8
C
)A.9
B.7
C.6
D.8
答案
9.C
解析
【分析】
解题时先从已知的中点条件入手，根据线段中点的定义，中点将线段分为长度相等的两段，先分别求出AC和BC的长度；再结合△ABC是直角三角形，∠BAC=90°的条件，使用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵E为AC的中点，AE=4，
∴AC=2AE=2×4=8，
∵D为BC的中点，BD=5，
∴BC=2BD=2×5=10，
又
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
根据勾股定理：$AB^2 + AC^2 = BC^2$，
∴$AB=\sqrt{BC^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
线段中点定义；勾股定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础类题目，解题的关键是先利用线段中点的性质求出斜边BC和直角边AC的长度，再结合勾股定理计算未知直角边的长度，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的中点条件入手，根据线段中点的定义，中点将线段分为长度相等的两段，先分别求出AC和BC的长度；再结合△ABC是直角三角形，∠BAC=90°的条件，使用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵E为AC的中点，AE=4，
∴AC=2AE=2×4=8，
∵D为BC的中点，BD=5，
∴BC=2BD=2×5=10，
又
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
根据勾股定理：$AB^2 + AC^2 = BC^2$，
∴$AB=\sqrt{BC^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
线段中点定义；勾股定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础类题目，解题的关键是先利用线段中点的性质求出斜边BC和直角边AC的长度，再结合勾股定理计算未知直角边的长度，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
10. 如图所示，有两棵树，一棵高 10 m，另一棵高 2 m，两树相距 15 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（
A.17 m
B.15 m
C.10 m
D.8 m
A
）A.17 m
B.15 m
C.10 m
D.8 m
答案
10.A
解析
【分析】
要确定小鸟飞行的最短距离，首先根据“两点之间线段最短”，可知最短路径是两棵树树梢的连线。接下来我们可以通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形求斜边的问题：两棵树的高度差、两树的水平距离分别为直角三角形的两条直角边，树梢连线就是待求的斜边，用勾股定理即可计算出最短飞行距离。
【解析】
过较低树的树梢向较高的树作垂线，得到直角三角形：
1. 计算两条直角边的长度：
竖直方向直角边：两棵树的高度差 = $10-2=8\ \mathrm{m}$
水平方向直角边：两树的水平距离 = $15\ \mathrm{m}$
2. 根据勾股定理，直角三角形斜边（小鸟最短飞行距离）为：
$\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17\ \mathrm{m}$
因此小鸟至少要飞行17 m。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理应用，最短路径问题
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形模型，准确找到两条直角边的长度后即可用勾股定理求解。
【难度系数】
0.7
要确定小鸟飞行的最短距离，首先根据“两点之间线段最短”，可知最短路径是两棵树树梢的连线。接下来我们可以通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形求斜边的问题：两棵树的高度差、两树的水平距离分别为直角三角形的两条直角边，树梢连线就是待求的斜边，用勾股定理即可计算出最短飞行距离。
【解析】
过较低树的树梢向较高的树作垂线，得到直角三角形：
1. 计算两条直角边的长度：
竖直方向直角边：两棵树的高度差 = $10-2=8\ \mathrm{m}$
水平方向直角边：两树的水平距离 = $15\ \mathrm{m}$
2. 根据勾股定理，直角三角形斜边（小鸟最短飞行距离）为：
$\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17\ \mathrm{m}$
因此小鸟至少要飞行17 m。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理应用，最短路径问题
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形模型，准确找到两条直角边的长度后即可用勾股定理求解。
【难度系数】
0.7
11. 如图所示，在矩形ABCD中，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF。若AB=$\sqrt{3}$，∠DCF=30°，则EF的长为（
A.2
B.3
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
A
）A.2
B.3
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
11.A
解析
【分析】
解题时先从矩形的性质入手，结合EF垂直平分AC的条件，先通过证明三角形全等得到边相等，判定四边形AECF是菱形；再利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，求出CF、AD的长度，接着用勾股定理求出AC的长度得到OC的长，最后再次利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出OE的长度，即可得到EF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠B=∠D=∠BCD=90°，CD=AB=$\sqrt{3}$，
∵O是AC的中点，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴AF=CF，AE=CE。
在△AOF和△COE中：
$\{\begin{array}{l}∠ FAO=∠ ECO(\mathrm{两直线平行，内错角相等})\\AO=CO\\∠ AOF=∠ COE(\mathrm{对顶角相等})\end{array} $
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，即四边形AECF是菱形。
在Rt△DCF中，∠D=90°，∠DCF=30°，
∴CF=2DF（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
设DF=x，则CF=2x，由勾股定理得：
$DF^2+CD^2=CF^2$，即$x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$，
解得$x=1$（负值舍去），
∴CF=2，DF=1，
∴AF=CF=2，AD=AF+DF=2+1=3，即BC=AD=3。
在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+3^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
∵O是AC中点，
∴$OC=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$。
又
∵AB=$\sqrt{3}$，AC=2$\sqrt{3}$，即AB=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠ACB=30°（直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°）。
在Rt△COE中，∠COE=90°，∠OCE=30°，
∴CE=2OE（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
设OE=y，则CE=2y，由勾股定理得：
$OE^2+OC^2=CE^2$，即$y^2+(\sqrt{3})^2=(2y)^2$，
解得$y=1$（负值舍去），
∴OE=1，
∵菱形对角线互相平分，
∴EF=2OE=2。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；菱形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是特殊四边形与直角三角形的综合题，解题的关键是先推导出四边形AECF为菱形，再结合勾股定理和直角三角形的性质逐步计算线段长度，需要熟练掌握特殊四边形的判定及性质。
【难度系数】
0.6
解题时先从矩形的性质入手，结合EF垂直平分AC的条件，先通过证明三角形全等得到边相等，判定四边形AECF是菱形；再利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，求出CF、AD的长度，接着用勾股定理求出AC的长度得到OC的长，最后再次利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出OE的长度，即可得到EF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠B=∠D=∠BCD=90°，CD=AB=$\sqrt{3}$，
∵O是AC的中点，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴AF=CF，AE=CE。
在△AOF和△COE中：
$\{\begin{array}{l}∠ FAO=∠ ECO(\mathrm{两直线平行，内错角相等})\\AO=CO\\∠ AOF=∠ COE(\mathrm{对顶角相等})\end{array} $
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，即四边形AECF是菱形。
在Rt△DCF中，∠D=90°，∠DCF=30°，
∴CF=2DF（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
设DF=x，则CF=2x，由勾股定理得：
$DF^2+CD^2=CF^2$，即$x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$，
解得$x=1$（负值舍去），
∴CF=2，DF=1，
∴AF=CF=2，AD=AF+DF=2+1=3，即BC=AD=3。
在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+3^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
∵O是AC中点，
∴$OC=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$。
又
∵AB=$\sqrt{3}$，AC=2$\sqrt{3}$，即AB=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠ACB=30°（直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°）。
在Rt△COE中，∠COE=90°，∠OCE=30°，
∴CE=2OE（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
设OE=y，则CE=2y，由勾股定理得：
$OE^2+OC^2=CE^2$，即$y^2+(\sqrt{3})^2=(2y)^2$，
解得$y=1$（负值舍去），
∴OE=1，
∵菱形对角线互相平分，
∴EF=2OE=2。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；菱形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是特殊四边形与直角三角形的综合题，解题的关键是先推导出四边形AECF为菱形，再结合勾股定理和直角三角形的性质逐步计算线段长度，需要熟练掌握特殊四边形的判定及性质。
【难度系数】
0.6
12. 如图所示，长方体的长为4 cm，宽为4 cm，高为3 cm，BC=2 cm，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点C，则需要爬行的最短路程为(
A.$\sqrt{39}$ cm
B.$3\sqrt{5}$ cm
C.$\sqrt{41}$ cm
D.6 cm
C
)A.$\sqrt{39}$ cm
B.$3\sqrt{5}$ cm
C.$\sqrt{41}$ cm
D.6 cm
答案
12.C
解析
【分析】
要解决长方体表面蚂蚁爬行的最短路径问题，核心思路是“化曲为直”：将长方体包含A、C两点的相邻两个面展开到同一平面，根据两点之间线段最短，此时线段AC的长度就是该展开方式下的爬行距离，由于长方体有多种展开方式，需要分别计算不同展开方式下的AC长度，再比较得到最小值。
【解析】
将长方体的面展开，分两种典型展开情况计算：
情况1：将点A所在的正面和点C所在的顶面展开到同一平面，构造直角三角形：
其中一条直角边为长方体的长4cm，另一条直角边长度=长方体的高 + (宽 - BC)=3 + (4-2)=5cm，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\ \mathrm{cm}$。
情况2：将点A所在的正面和点C所在的右面展开到同一平面，构造直角三角形：
其中一条直角边为长方体的高3cm，另一条直角边长度=长方体的长 + BC=4 + 2=6cm，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
其余展开方式计算得到的AC长度均大于上述两个值，比较得$\sqrt{41}＜3\sqrt{5}$，因此最短爬行路程为$\sqrt{41}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用，最短路径问题，长方体展开图
【点评】
本题考查立体图形表面的最短路径求解，解题的关键是掌握将立体图形转化为平面图形的方法，结合勾股定理计算路径长度，需要注意分类讨论不同的展开方式，避免漏算情况导致选错答案。
【难度系数】
0.6
要解决长方体表面蚂蚁爬行的最短路径问题，核心思路是“化曲为直”：将长方体包含A、C两点的相邻两个面展开到同一平面，根据两点之间线段最短，此时线段AC的长度就是该展开方式下的爬行距离，由于长方体有多种展开方式，需要分别计算不同展开方式下的AC长度，再比较得到最小值。
【解析】
将长方体的面展开，分两种典型展开情况计算：
情况1：将点A所在的正面和点C所在的顶面展开到同一平面，构造直角三角形：
其中一条直角边为长方体的长4cm，另一条直角边长度=长方体的高 + (宽 - BC)=3 + (4-2)=5cm，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\ \mathrm{cm}$。
情况2：将点A所在的正面和点C所在的右面展开到同一平面，构造直角三角形：
其中一条直角边为长方体的高3cm，另一条直角边长度=长方体的长 + BC=4 + 2=6cm，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
其余展开方式计算得到的AC长度均大于上述两个值，比较得$\sqrt{41}＜3\sqrt{5}$，因此最短爬行路程为$\sqrt{41}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用，最短路径问题，长方体展开图
【点评】
本题考查立体图形表面的最短路径求解，解题的关键是掌握将立体图形转化为平面图形的方法，结合勾股定理计算路径长度，需要注意分类讨论不同的展开方式，避免漏算情况导致选错答案。
【难度系数】
0.6
13. 命题：“如果$a=b$，那么$a^2=b^2$”的逆命题是
（填“真”或“假”）
如果$a^2=b^2$,那么$a=b$
，该逆命题是假
命题。（填“真”或“假”）
答案
13.如果$a^2=b^2$,那么$a=b$ 假
解析
【分析】
解决这道题需要分两步思考：第一步是改写逆命题，根据逆命题的定义，只需将原命题的题设和结论互换位置即可，先明确原命题的题设是“a=b”，结论是“a²=b²”，互换后就能得到逆命题。第二步是判断逆命题的真假，若要判定一个命题是假命题，只需举出一个反例：即找到满足逆命题的题设，但不满足逆命题结论的情况即可。
【解析】
1. 改写逆命题：原命题为“如果a=b，那么a²=b²”，其中题设是“a=b”，结论是“a²=b²”，将题设和结论互换，得到逆命题为“如果$a^2=b^2$，那么$a=b$”。
2. 判断逆命题真假：举例，当a=2，b=-2时，$a^2=4$，$b^2=4$，满足$a^2=b^2$，但2≠-2，说明存在符合题设但不符合结论的情况，因此该逆命题是假命题。
【答案】
如果$a^2=b^2$,那么$a=b$；假
【知识点】
逆命题的改写，真假命题判定
【点评】
本题属于命题相关的基础题型，核心是掌握逆命题的改写规则，以及用举反例的方法判定假命题，解题思路清晰简单。
【难度系数】
0.8
解决这道题需要分两步思考：第一步是改写逆命题，根据逆命题的定义，只需将原命题的题设和结论互换位置即可，先明确原命题的题设是“a=b”，结论是“a²=b²”，互换后就能得到逆命题。第二步是判断逆命题的真假，若要判定一个命题是假命题，只需举出一个反例：即找到满足逆命题的题设，但不满足逆命题结论的情况即可。
【解析】
1. 改写逆命题：原命题为“如果a=b，那么a²=b²”，其中题设是“a=b”，结论是“a²=b²”，将题设和结论互换，得到逆命题为“如果$a^2=b^2$，那么$a=b$”。
2. 判断逆命题真假：举例，当a=2，b=-2时，$a^2=4$，$b^2=4$，满足$a^2=b^2$，但2≠-2，说明存在符合题设但不符合结论的情况，因此该逆命题是假命题。
【答案】
如果$a^2=b^2$,那么$a=b$；假
【知识点】
逆命题的改写，真假命题判定
【点评】
本题属于命题相关的基础题型，核心是掌握逆命题的改写规则，以及用举反例的方法判定假命题，解题思路清晰简单。
【难度系数】
0.8
14. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD=3，BC=8，则$AB^2 + CD^2 =$
73
。答案
14.73
解析
【分析】
本题是新定义类的几何计算题，首先结合“垂美”四边形的定义可得对角线互相垂直，即图中四个三角形均为直角三角形。要求$AB^2 + CD^2$，可先利用勾股定理分别将$AB^2$、$CD^2$拆分为对角线被交点分成的四条线段的平方和，再对拆分后的式子重新组合，转化为已知边长AD、BC的平方和，代入数值计算即可。
【解析】
∵四边形ABCD是“垂美”四边形，
∴$AC⊥BD$，即$∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°$，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：$AB^2=AO^2+BO^2$，
在$Rt△ COD$中，由勾股定理得：$CD^2=CO^2+DO^2$，
∴$AB^2+CD^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2$，
又
∵在$Rt△ AOD$中，$AD^2=AO^2+DO^2$，
在$Rt△ BOC$中，$BC^2=BO^2+CO^2$，
∴$AD^2+BC^2=AO^2+DO^2+BO^2+CO^2$，
∴$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$，
代入$AD=3$，$BC=8$得：
$AB^2+CD^2=3^2+8^2=9+64=73$。
【答案】
73
【知识点】
勾股定理；新定义应用；直角三角形性质
【点评】
本题属于新定义结合几何计算的基础题，解题核心是抓住“垂美”四边形对角线垂直的特征，灵活运用勾股定理对线段平方和进行转化，考查了对新定义的理解能力和勾股定理的运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是新定义类的几何计算题，首先结合“垂美”四边形的定义可得对角线互相垂直，即图中四个三角形均为直角三角形。要求$AB^2 + CD^2$，可先利用勾股定理分别将$AB^2$、$CD^2$拆分为对角线被交点分成的四条线段的平方和，再对拆分后的式子重新组合，转化为已知边长AD、BC的平方和，代入数值计算即可。
【解析】
∵四边形ABCD是“垂美”四边形，
∴$AC⊥BD$，即$∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°$，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：$AB^2=AO^2+BO^2$，
在$Rt△ COD$中，由勾股定理得：$CD^2=CO^2+DO^2$，
∴$AB^2+CD^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2$，
又
∵在$Rt△ AOD$中，$AD^2=AO^2+DO^2$，
在$Rt△ BOC$中，$BC^2=BO^2+CO^2$，
∴$AD^2+BC^2=AO^2+DO^2+BO^2+CO^2$，
∴$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$，
代入$AD=3$，$BC=8$得：
$AB^2+CD^2=3^2+8^2=9+64=73$。
【答案】
73
【知识点】
勾股定理；新定义应用；直角三角形性质
【点评】
本题属于新定义结合几何计算的基础题，解题核心是抓住“垂美”四边形对角线垂直的特征，灵活运用勾股定理对线段平方和进行转化，考查了对新定义的理解能力和勾股定理的运用能力。
【难度系数】
0.7
15.设a,b是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为24，斜边长为10，则ab的值为
48
。答案
15.48
解析
【分析】
首先根据题目给出的三角形周长和斜边长，先求出两条直角边的和；再结合直角三角形的勾股定理得到两条直角边的平方和；最后利用完全平方公式的变形，将前两步得到的结果代入，即可求出ab的值，无需单独求解a、b的具体数值，用整体代入思想更简便。
【解析】
已知直角三角形周长为24，斜边长为10，两条直角边长为a、b：
1. 求两条直角边的和：
由周长公式可得$a + b + 10 = 24$，解得$a + b = 14$。
2. 由勾股定理列式：
直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2 + b^2 = 10^2 = 100$。
3. 结合完全平方公式变形求ab：
根据完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，将$a+b=14$、$a^2 + b^2=100$代入得：
$14^2 = 100 + 2ab$
计算得$196 = 100 + 2ab$，移项得$2ab = 96$，解得$ab = 48$。
【答案】
48
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，三角形周长计算
【点评】
本题是几何性质与代数公式结合的典型题型，解题的关键是熟练掌握勾股定理和完全平方公式的变形，运用整体代入的思想可避免复杂计算，快速得到结果。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的三角形周长和斜边长，先求出两条直角边的和；再结合直角三角形的勾股定理得到两条直角边的平方和；最后利用完全平方公式的变形，将前两步得到的结果代入，即可求出ab的值，无需单独求解a、b的具体数值，用整体代入思想更简便。
【解析】
已知直角三角形周长为24，斜边长为10，两条直角边长为a、b：
1. 求两条直角边的和：
由周长公式可得$a + b + 10 = 24$，解得$a + b = 14$。
2. 由勾股定理列式：
直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2 + b^2 = 10^2 = 100$。
3. 结合完全平方公式变形求ab：
根据完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，将$a+b=14$、$a^2 + b^2=100$代入得：
$14^2 = 100 + 2ab$
计算得$196 = 100 + 2ab$，移项得$2ab = 96$，解得$ab = 48$。
【答案】
48
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，三角形周长计算
【点评】
本题是几何性质与代数公式结合的典型题型，解题的关键是熟练掌握勾股定理和完全平方公式的变形，运用整体代入的思想可避免复杂计算，快速得到结果。
【难度系数】
0.7
16. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A,B,C,D的面积分别为12,16,9,12，则最大的正方形E的面积是
49
。答案
16.49
解析
【分析】
本题可结合勾股定理的几何意义求解：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，因此两个直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。我们可以先分别求出A、B的面积和，C、D的面积和，再将这两个和相加，即可得到最大正方形E的面积。
【解析】
根据勾股定理的几何意义：
1. 正方形A、B的面积和等于二者所对直角三角形斜边为边长的正方形面积，即$S_1 = S_A + S_B = 12 + 16 = 28$；
2. 正方形C、D的面积和等于二者所对直角三角形斜边为边长的正方形面积，即$S_2 = S_C + S_D = 9 + 12 = 21$；
3. 上述两个正方形的边恰好是最下方直角三角形的两条直角边，因此最大正方形E的面积$S_E = S_1 + S_2 = 28 + 21 = 49$。
【答案】
49
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理几何应用的基础题型，核心是将勾股定理中边长的平方关系转化为正方形的面积关系，梳理清楚各个正方形和直角三角形的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题可结合勾股定理的几何意义求解：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，因此两个直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。我们可以先分别求出A、B的面积和，C、D的面积和，再将这两个和相加，即可得到最大正方形E的面积。
【解析】
根据勾股定理的几何意义：
1. 正方形A、B的面积和等于二者所对直角三角形斜边为边长的正方形面积，即$S_1 = S_A + S_B = 12 + 16 = 28$；
2. 正方形C、D的面积和等于二者所对直角三角形斜边为边长的正方形面积，即$S_2 = S_C + S_D = 9 + 12 = 21$；
3. 上述两个正方形的边恰好是最下方直角三角形的两条直角边，因此最大正方形E的面积$S_E = S_1 + S_2 = 28 + 21 = 49$。
【答案】
49
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理几何应用的基础题型，核心是将勾股定理中边长的平方关系转化为正方形的面积关系，梳理清楚各个正方形和直角三角形的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
17. 如图所示，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC=15 km，与公路上另一停靠站B的距离为BC=20 km，停靠站A，B之间的距离为AB=
25 km. 为方便运输货物，现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且$CD⊥ AB$.
(1)求证：$∠ ACB=90°$；
(2)求修建的公路CD的长.
25 km. 为方便运输货物，现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且$CD⊥ AB$.
(1)求证：$∠ ACB=90°$；
(2)求修建的公路CD的长.
答案
17.(1)略 (2)修建的公路CD的长为12 km
解析
【分析】
(1)要证明∠ACB=90°，已知△ABC的三边长度，可运用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则△ABC为直角三角形，最长边AB所对的角∠ACB就是直角。
(2)CD是AB边上的高，求CD长度可采用等面积法：直角三角形ABC的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边AB乘斜边上的高CD的一半计算，联立两个面积表达式即可解出CD的长。
【解析】
(1)证明：已知AC=15 km，BC=20 km，AB=25 km，
计算得：$AC^2 + BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$，
$AB^2 = 25^2 = 625$，
因此$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
(2)解：因为CD⊥AB，所以CD是Rt△ABC斜边AB上的高，
根据三角形面积公式，$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · CD$，
将已知数值代入得：$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × CD$，
化简得：$150 = \frac{25}{2} CD$，
解得：$CD = \frac{150 × 2}{25} = 12$（km）。
【答案】
(1)∠ACB=90°得证；(2)公路CD的长为12 km
【知识点】
勾股定理逆定理；三角形面积公式；等面积法求高
【点评】
本题是几何基础综合题，先通过勾股定理逆定理判断三角形形状，再利用等面积法求高，解题思路清晰，需要熟练掌握勾股定理逆定理的使用条件和三角形面积的不同表示方法。
【难度系数】
0.7
(1)要证明∠ACB=90°，已知△ABC的三边长度，可运用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则△ABC为直角三角形，最长边AB所对的角∠ACB就是直角。
(2)CD是AB边上的高，求CD长度可采用等面积法：直角三角形ABC的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边AB乘斜边上的高CD的一半计算，联立两个面积表达式即可解出CD的长。
【解析】
(1)证明：已知AC=15 km，BC=20 km，AB=25 km，
计算得：$AC^2 + BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$，
$AB^2 = 25^2 = 625$，
因此$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
(2)解：因为CD⊥AB，所以CD是Rt△ABC斜边AB上的高，
根据三角形面积公式，$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · CD$，
将已知数值代入得：$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × CD$，
化简得：$150 = \frac{25}{2} CD$，
解得：$CD = \frac{150 × 2}{25} = 12$（km）。
【答案】
(1)∠ACB=90°得证；(2)公路CD的长为12 km
【知识点】
勾股定理逆定理；三角形面积公式；等面积法求高
【点评】
本题是几何基础综合题，先通过勾股定理逆定理判断三角形形状，再利用等面积法求高，解题思路清晰，需要熟练掌握勾股定理逆定理的使用条件和三角形面积的不同表示方法。
【难度系数】
0.7
