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海伦—秦九韶公式
我国南宋著名数学家秦九韶(约1208年—约1268年)在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一道题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里。里法三百步,欲知为田几何。”讲的是有一个三角形沙田,三边分别为13里、14里和15里,则该沙田的面积为多少?
转化为数学语言如图所示:
数学问题:在△ABC中,已知a=15,b=14,c=13,求△ABC的面积。
针对上述数学问题,我国数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
;古希腊数学家海伦提出:如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$,那么三角形的面积为$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$。
思考:
两个公式都是利用三角形的三边求面积,它们之间有什么联系?能否由秦九韶的公式推导出海伦公式?
海伦—秦九韶公式
我国南宋著名数学家秦九韶(约1208年—约1268年)在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一道题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里。里法三百步,欲知为田几何。”讲的是有一个三角形沙田,三边分别为13里、14里和15里,则该沙田的面积为多少?
转化为数学语言如图所示:
数学问题:在△ABC中,已知a=15,b=14,c=13,求△ABC的面积。
针对上述数学问题,我国数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
;古希腊数学家海伦提出:如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$,那么三角形的面积为$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$。思考:
两个公式都是利用三角形的三边求面积,它们之间有什么联系?能否由秦九韶的公式推导出海伦公式?
答案
证明：
对秦九韶公式的被开方部分因式分解：
$\begin{aligned}\frac{1}{4}[a^2b^2 - (\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]&=\frac{1}{4}(ab+\frac{a^2+b^2-c^2}{2})(ab-\frac{a^2+b^2-c^2}{2})\\&=\frac{1}{16}[(a+b)^2 - c^2][c^2-(a-b)^2]\\&=\frac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\end{aligned}$
由 $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$，可得：
$a+b+c=2p$，$a+b-c=2(p-c)$，$a-b+c=2(p-b)$，$-a+b+c=2(p-a)$
代入上式：
$\begin{aligned}\frac{1}{16}· 2p· 2(p-c)· 2(p-b)· 2(p-a) &= p(p-a)(p-b)(p-c)\end{aligned}$
因此秦九韶公式可变形为 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，即海伦公式，两个公式完全等价。
计算△ABC的面积：
$p=\frac{1}{2}(15+14+13)=21$
代入海伦公式：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{21×(21-15)×(21-14)×(21-13)}\\&=\sqrt{21×6×7×8}\\&=\sqrt{7056}\\&=84\end{aligned}$
答：两个公式本质等价，可由秦九韶公式推导出海伦公式，该沙田的面积为84平方里，换算为平方步是7560000平方步。
对秦九韶公式的被开方部分因式分解：
$\begin{aligned}\frac{1}{4}[a^2b^2 - (\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]&=\frac{1}{4}(ab+\frac{a^2+b^2-c^2}{2})(ab-\frac{a^2+b^2-c^2}{2})\\&=\frac{1}{16}[(a+b)^2 - c^2][c^2-(a-b)^2]\\&=\frac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\end{aligned}$
由 $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$，可得：
$a+b+c=2p$，$a+b-c=2(p-c)$，$a-b+c=2(p-b)$，$-a+b+c=2(p-a)$
代入上式：
$\begin{aligned}\frac{1}{16}· 2p· 2(p-c)· 2(p-b)· 2(p-a) &= p(p-a)(p-b)(p-c)\end{aligned}$
因此秦九韶公式可变形为 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，即海伦公式，两个公式完全等价。
计算△ABC的面积：
$p=\frac{1}{2}(15+14+13)=21$
代入海伦公式：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{21×(21-15)×(21-14)×(21-13)}\\&=\sqrt{21×6×7×8}\\&=\sqrt{7056}\\&=84\end{aligned}$
答：两个公式本质等价，可由秦九韶公式推导出海伦公式，该沙田的面积为84平方里，换算为平方步是7560000平方步。
解析
【分析】
这道题包含两个核心问题，一是探究海伦公式与秦九韶公式的联系，二是利用公式计算三角形面积。解题思路如下：①证明两个公式等价：先观察秦九韶公式的被开方部分符合平方差的结构，利用平方差公式因式分解，逐步整理为含三角形三边和、差的乘积形式，再代入半周长$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$的定义，即可变形得到海伦公式，说明二者完全等价。②计算沙田面积：先根据三边长求出半周长$p$，再直接代入海伦公式计算即可得到面积。
【解析】
一、证明两个公式等价
对秦九韶公式的被开方部分利用平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}\frac{1}{4}[a^2b^2 - (\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]&=\frac{1}{4}(ab+\frac{a^2+b^2-c^2}{2})(ab-\frac{a^2+b^2-c^2}{2})\\&=\frac{1}{16}[(a+b)^2 - c^2][c^2-(a-b)^2]\\&=\frac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\end{aligned}$
设$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$，则可得：
$a+b+c=2p$，$a+b-c=2(p-c)$，$a-b+c=2(p-b)$，$-a+b+c=2(p-a)$
将上述式子代入上式：
$\begin{aligned}\frac{1}{16}× 2p× 2(p-c)× 2(p-b)× 2(p-a) &= p(p-a)(p-b)(p-c)\end{aligned}$
因此秦九韶公式可变形为$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，即海伦公式，两个公式完全等价。
二、计算△ABC的面积
已知三角形三边长$a=15$，$b=14$，$c=13$，先计算半周长：
$p=\frac{1}{2}(15+14+13)=21$
代入海伦公式计算面积：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{21×(21-15)×(21-14)×(21-13)}\\&=\sqrt{21×6×7×8}\\&=\sqrt{7056}\\&=84\end{aligned}$
单位换算：1里=300步，故1平方里=90000平方步，84平方里$=84×90000=7560000$平方步。
【答案】
海伦公式与秦九韶公式完全等价，可由秦九韶公式推导出海伦公式；该沙田的面积为84平方里，合7560000平方步。
【知识点】
平方差因式分解、海伦-秦九韶公式、二次根式运算
【点评】
本题结合我国古代数学成就命题，既考查了因式分解、二次根式计算等基础运算能力，又考查了对三角形面积公式的理解与运用，能让学生感受到传统数学文化的魅力，提升知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
这道题包含两个核心问题，一是探究海伦公式与秦九韶公式的联系，二是利用公式计算三角形面积。解题思路如下：①证明两个公式等价：先观察秦九韶公式的被开方部分符合平方差的结构，利用平方差公式因式分解，逐步整理为含三角形三边和、差的乘积形式，再代入半周长$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$的定义，即可变形得到海伦公式，说明二者完全等价。②计算沙田面积：先根据三边长求出半周长$p$，再直接代入海伦公式计算即可得到面积。
【解析】
一、证明两个公式等价
对秦九韶公式的被开方部分利用平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}\frac{1}{4}[a^2b^2 - (\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]&=\frac{1}{4}(ab+\frac{a^2+b^2-c^2}{2})(ab-\frac{a^2+b^2-c^2}{2})\\&=\frac{1}{16}[(a+b)^2 - c^2][c^2-(a-b)^2]\\&=\frac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\end{aligned}$
设$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$，则可得：
$a+b+c=2p$，$a+b-c=2(p-c)$，$a-b+c=2(p-b)$，$-a+b+c=2(p-a)$
将上述式子代入上式：
$\begin{aligned}\frac{1}{16}× 2p× 2(p-c)× 2(p-b)× 2(p-a) &= p(p-a)(p-b)(p-c)\end{aligned}$
因此秦九韶公式可变形为$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，即海伦公式，两个公式完全等价。
二、计算△ABC的面积
已知三角形三边长$a=15$，$b=14$，$c=13$，先计算半周长：
$p=\frac{1}{2}(15+14+13)=21$
代入海伦公式计算面积：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{21×(21-15)×(21-14)×(21-13)}\\&=\sqrt{21×6×7×8}\\&=\sqrt{7056}\\&=84\end{aligned}$
单位换算：1里=300步，故1平方里=90000平方步，84平方里$=84×90000=7560000$平方步。
【答案】
海伦公式与秦九韶公式完全等价，可由秦九韶公式推导出海伦公式；该沙田的面积为84平方里，合7560000平方步。
【知识点】
平方差因式分解、海伦-秦九韶公式、二次根式运算
【点评】
本题结合我国古代数学成就命题，既考查了因式分解、二次根式计算等基础运算能力，又考查了对三角形面积公式的理解与运用，能让学生感受到传统数学文化的魅力，提升知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
