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7. 核心素养 抽象能力 聚焦 中考 过程性学习 「2026 江苏无锡江阴一模」杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征.某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括:一根轻质杆秤、一个秤盘(质量 50 g)、一个秤砣(质量 200 g)、一些细绳等(秤杆和细绳质量忽略不计).
【了解原理】
组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理(动力×动力臂=阻力×阻力臂).如图，设所称物体质量为x g，则秤盘及物体的总质量为$(x+50)\ \mathrm{g}$，秤盘到提纽的水平距离$AB=a\ \mathrm{cm}$，秤砣到提纽的距离$BC=y\ \mathrm{cm}$.当秤杆平衡时，得$(x+50)· a =200y$.
(1)若取$AB=10\ \mathrm{cm}$，为了得到零刻度点$O$的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点$C$的位置即为点$O$.请计算此时$BO$的长.
【数学建模】
(2)在(1)的条件下，为了得到其他刻度线的制作规律，请先分析$y$与$x$之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是不是均匀的，即当$x$每增加相同的数值，$y$的增加量是否也相同.
【调整优化】
(3)杆秤可用的长度$AD=100\ \mathrm{cm}$，为了保证杆秤的最大刻度不小于$2\ \mathrm{kg}$，请计算说明$a$的取值范围.
【了解原理】
组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理(动力×动力臂=阻力×阻力臂).如图，设所称物体质量为x g，则秤盘及物体的总质量为$(x+50)\ \mathrm{g}$，秤盘到提纽的水平距离$AB=a\ \mathrm{cm}$，秤砣到提纽的距离$BC=y\ \mathrm{cm}$.当秤杆平衡时，得$(x+50)· a =200y$.
(1)若取$AB=10\ \mathrm{cm}$，为了得到零刻度点$O$的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点$C$的位置即为点$O$.请计算此时$BO$的长.
【数学建模】
(2)在(1)的条件下，为了得到其他刻度线的制作规律，请先分析$y$与$x$之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是不是均匀的，即当$x$每增加相同的数值，$y$的增加量是否也相同.
【调整优化】
(3)杆秤可用的长度$AD=100\ \mathrm{cm}$，为了保证杆秤的最大刻度不小于$2\ \mathrm{kg}$，请计算说明$a$的取值范围.
答案
(1)令$x=0$,得$50a=200y$,将$a=10$代入,解得$y=2.5$,即$BO=2.5\ \mathrm{cm}$.(2)$(x+50)· a=200y$,化简得$xa+50a=200y$,$\therefore y=\frac{a}{200}x+\frac{1}{4}a$,设秤盘中重物增加$t\ \mathrm{g}$($t$为常数),则增加后重物的质量为$(x+t)\ \mathrm{g}$,此时令$y'=\frac{a}{200}(x+t)+\frac{1}{4}a$,$\because a=10$,$t$为常数,$\therefore y'-y=\frac{1}{20}t$是常数,$\therefore x$每增加相同的数值,$y$的增加量相同.(3)$(x+50)a=200(100-a)$,整理得$x=\frac{20\ 000}{a}-250$,$\because a＞0$,$\therefore x$随着$a$的增大而减小,当最大刻度是2 kg时,令$x=2\ 000$,得$a=\frac{80}{9}$,$\therefore 0＜a≤\frac{80}{9}$.
解析
【分析】
(1) 零刻度对应秤盘为空的状态，即所称物体质量$x=0$，将$x=0$、$a=10$代入题干给出的杠杆平衡公式，即可求解得到$y$的值，也就是$BO$的长度。
(2) 先对杠杆平衡公式变形，推导得到$y$关于$x$的函数表达式，可判断为一次函数；再计算当$x$增加固定数值时$y$的增量，若增量为常数则说明刻度均匀。
(3) 最大刻度对应秤砣移动到$D$点，此时秤砣到提纽$B$的距离为$(100-a)\mathrm{cm}$，结合最大刻度不小于$2\mathrm{kg}$（即$x≥2000\mathrm{g}$）的要求，代入平衡公式列不等式求解，即可得到$a$的取值范围。
【解析】
(1) 秤盘为空时$x=0$，代入平衡公式$(x+50)· a =200y$，得$50a=200y$。
将$a=10\ \mathrm{cm}$代入上式：$50×10=200y$，解得$y=2.5$，即$BO=2.5\ \mathrm{cm}$。
(2) 对$(x+50)· a=200y$化简得：$xa + 50a = 200y$，变形为$y=\frac{a}{200}x + \frac{a}{4}$，是$y$关于$x$的一次函数。
设重物质量增加$t\ \mathrm{g}$（$t$为常数），则此时对应的$y'=\frac{a}{200}(x+t)+\frac{a}{4}$，计算增量：$y'-y=\frac{a}{200}t$。
代入$a=10$得$y'-y=\frac{t}{20}$，是固定常数，因此$x$每增加相同的数值，$y$的增加量相同，杆秤刻度线是均匀的。
(3) 杆秤最大刻度对应秤砣在$D$点，此时秤砣到提纽$B$的距离为$(100 - a)\ \mathrm{cm}$，代入平衡公式得：
$(x+50)a = 200(100 - a)$，整理得$x=\frac{20000}{a} - 250$。
要求最大刻度不小于$2\mathrm{kg}$，即$x≥2000$，代入得：
$\frac{20000}{a} - 250 ≥ 2000$，其中$a＞0$，
解不等式得$a ≤ \frac{80}{9}$，结合$a＞0$，得$a$的取值范围为$0 ＜ a ≤ \frac{80}{9}$。
【答案】
(1) $BO=2.5\ \mathrm{cm}$；
(2) $y$与$x$为一次函数关系，杆秤刻度线均匀，$x$每增加相同数值时$y$的增加量相同；
(3) $0 ＜ a ≤ \frac{80}{9}$。
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；方程思想
【点评】
本题以中国传统工具杆秤为实际背景，将数学知识和生活场景结合，考查了方程、一次函数、不等式的综合运用，有助于提升学生的抽象建模能力和用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 零刻度对应秤盘为空的状态，即所称物体质量$x=0$，将$x=0$、$a=10$代入题干给出的杠杆平衡公式，即可求解得到$y$的值，也就是$BO$的长度。
(2) 先对杠杆平衡公式变形，推导得到$y$关于$x$的函数表达式，可判断为一次函数；再计算当$x$增加固定数值时$y$的增量，若增量为常数则说明刻度均匀。
(3) 最大刻度对应秤砣移动到$D$点，此时秤砣到提纽$B$的距离为$(100-a)\mathrm{cm}$，结合最大刻度不小于$2\mathrm{kg}$（即$x≥2000\mathrm{g}$）的要求，代入平衡公式列不等式求解，即可得到$a$的取值范围。
【解析】
(1) 秤盘为空时$x=0$，代入平衡公式$(x+50)· a =200y$，得$50a=200y$。
将$a=10\ \mathrm{cm}$代入上式：$50×10=200y$，解得$y=2.5$，即$BO=2.5\ \mathrm{cm}$。
(2) 对$(x+50)· a=200y$化简得：$xa + 50a = 200y$，变形为$y=\frac{a}{200}x + \frac{a}{4}$，是$y$关于$x$的一次函数。
设重物质量增加$t\ \mathrm{g}$（$t$为常数），则此时对应的$y'=\frac{a}{200}(x+t)+\frac{a}{4}$，计算增量：$y'-y=\frac{a}{200}t$。
代入$a=10$得$y'-y=\frac{t}{20}$，是固定常数，因此$x$每增加相同的数值，$y$的增加量相同，杆秤刻度线是均匀的。
(3) 杆秤最大刻度对应秤砣在$D$点，此时秤砣到提纽$B$的距离为$(100 - a)\ \mathrm{cm}$，代入平衡公式得：
$(x+50)a = 200(100 - a)$，整理得$x=\frac{20000}{a} - 250$。
要求最大刻度不小于$2\mathrm{kg}$，即$x≥2000$，代入得：
$\frac{20000}{a} - 250 ≥ 2000$，其中$a＞0$，
解不等式得$a ≤ \frac{80}{9}$，结合$a＞0$，得$a$的取值范围为$0 ＜ a ≤ \frac{80}{9}$。
【答案】
(1) $BO=2.5\ \mathrm{cm}$；
(2) $y$与$x$为一次函数关系，杆秤刻度线均匀，$x$每增加相同数值时$y$的增加量相同；
(3) $0 ＜ a ≤ \frac{80}{9}$。
【知识点】
一次函数的应用；一元一次不等式的应用；方程思想
【点评】
本题以中国传统工具杆秤为实际背景，将数学知识和生活场景结合，考查了方程、一次函数、不等式的综合运用，有助于提升学生的抽象建模能力和用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
