实践背景
某科技小组学习了密度后,查阅相关资料,自制了一个如图所示的简易吸管密度计(圆柱形),并进行了调试,将吸管密度计浸入液体中,静止后浸入液体的深度记为x(cm),该液体的密度记为y(g/cm³),部分实验数据如下表:


| 液体 | x/cm | y/(g/cm³) |
| ---- | ---- | --------- |
| 1号 | 7.5 | 0.8 |
| 2号 | 6 | 1 |
| 3号 | 4 | 1.5 |
建立模型
根据实验数据发现y(g/cm³)是x(cm)的反比例函数,求y与x之间的函数关系式
实验验证
为了验证自制吸管密度计的准确性,小组成员将自制吸管密度计浸入到密度为1.2 g/cm³的液体中,静止后浸入液体的深度大约稳定在多少厘米时.可说明此自制吸管密度计较准确
问题反思
调试结束后,小组成员确定此吸管密度计可浸入液体的最大深度为10 cm,浸入液体的深度需3 cm及以上才能保持测量状态稳定,请直接写出这个吸管密度计能够测量的液体密度y(g/cm³)的取值范围

建立模型:由题意设y与x之间的函数关系式为
$y=\frac{k}{x}(x＞0)$,
将x=6,y=1代入,得k=6,
∴ y与x之间的函数关系式为$y=\frac{6}{x}(x＞0)$.
实验验证:将y=1.2代入$y=\frac{6}{x}$,得x=5,
∴ 静止后浸入液体的深度大约稳定在5厘米时可说明此自制吸管密度计较准确.
问题反思:当x=10时,$y=\frac{6}{10}=0.6$,
当x=3时,$y=\frac{6}{3}=2$,
∴ 这个吸管密度计能够测量的液体密度$y(\mathrm{g/cm^3})$的取值范围是$0.6 ≤ y ≤ 2$.

【分析】
首先根据题目中“y是x的反比例函数”，设反比例函数的一般形式，利用表格中的一组对应值求出函数关系式；实验验证时，将已知液体密度代入函数关系式，计算对应的浸入深度；问题反思时，根据浸入深度的取值范围，结合反比例函数的单调性，求出对应的液体密度的取值范围。
【解析】
建立模型：
因为y是x的反比例函数，设函数关系式为$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，
将$x=6$，$y=1$代入，得$1=\frac{k}{6}$，解得$k=6$，
因此y与x之间的函数关系式为$y=\frac{6}{x}(x＞0)$。
实验验证：
将$y=1.2$代入$y=\frac{6}{x}$，得$1.2=\frac{6}{x}$，解得$x=5$，
即静止后浸入液体的深度大约稳定在5厘米时，说明密度计较准确。
问题反思：
已知浸入深度x的范围是$3cm≤x≤10cm$，
当$x=10$时，$y=\frac{6}{10}=0.6$；
当$x=3$时，$y=\frac{6}{3}=2$；
由于反比例函数$y=\frac{6}{x}$在$x＞0$时，y随x的增大而减小，
所以液体密度y的取值范围是$0.6≤y≤2$。
【答案】
建立模型：$y=\frac{6}{x}(x＞0)$；实验验证：5厘米；问题反思：$0.6≤y≤2$
【知识点】
反比例函数的应用
【点评】
本题结合实际的密度计问题，考查反比例函数解析式的确定及应用，解题核心是利用反比例函数的性质解决实际测量问题，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.6