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1. 某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图)，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面4 m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m，则校门的高为(精确到0.1 m，水泥建筑物厚度忽略不计) (
A.9.2 m
B.9.1 m
C.9 m
D.5.1 m
B
)A.9.2 m
B.9.1 m
C.9 m
D.5.1 m
答案
B
解析
【分析】
要解决抛物线形校门高度的问题，可通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题求解：首先利用抛物线的对称性合理建立坐标系，再根据已知条件确定抛物线上点的坐标，接着用待定系数法求出抛物线解析式，最后抛物线顶点的纵坐标就是校门的高度。
【解析】
以抛物线的对称轴为y轴，地面所在直线为x轴建立平面直角坐标系：
由题意可知，抛物线与x轴的交点坐标为$(4,0)$、$(-4,0)$，距地面4m高的两个铁环对应的点坐标为$(3,4)$、$(-3,4)$。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+k$（$a≠0$，$k$为抛物线顶点的纵坐标，即校门高度），将$(4,0)$和$(3,4)$代入解析式得：
$\begin{cases}16a + k = 0 \\9a + k = 4 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$k$，得：$7a=-4$，解得$a=-\frac{4}{7}$。
将$a=-\frac{4}{7}$代入$16a + k = 0$，得：$16×(-\frac{4}{7})+k=0$，解得$k=\frac{64}{7}\approx9.1$。
即校门的高约为9.1m。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的核心是合理建立坐标系，将实际的长度条件转化为点的坐标，进而通过求解函数解析式得到所求量，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
要解决抛物线形校门高度的问题，可通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题求解：首先利用抛物线的对称性合理建立坐标系，再根据已知条件确定抛物线上点的坐标，接着用待定系数法求出抛物线解析式，最后抛物线顶点的纵坐标就是校门的高度。
【解析】
以抛物线的对称轴为y轴，地面所在直线为x轴建立平面直角坐标系：
由题意可知，抛物线与x轴的交点坐标为$(4,0)$、$(-4,0)$，距地面4m高的两个铁环对应的点坐标为$(3,4)$、$(-3,4)$。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+k$（$a≠0$，$k$为抛物线顶点的纵坐标，即校门高度），将$(4,0)$和$(3,4)$代入解析式得：
$\begin{cases}16a + k = 0 \\9a + k = 4 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$k$，得：$7a=-4$，解得$a=-\frac{4}{7}$。
将$a=-\frac{4}{7}$代入$16a + k = 0$，得：$16×(-\frac{4}{7})+k=0$，解得$k=\frac{64}{7}\approx9.1$。
即校门的高约为9.1m。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的核心是合理建立坐标系，将实际的长度条件转化为点的坐标，进而通过求解函数解析式得到所求量，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
2. 从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位: m)与小球运动时间t(单位: s)之间的函数关系如图所示.下列结论:
① 小球在空中经过的路程是40 m;
② 小球抛出3 s后,速度越来越快;
③ 小球抛出3 s时速度为0;
④ 小球的高度h=30 m时,t=1.5 s.
其中正确的是 (
A.①④
B.①②
C.②③④
D.②③
① 小球在空中经过的路程是40 m;
② 小球抛出3 s后,速度越来越快;
③ 小球抛出3 s时速度为0;
④ 小球的高度h=30 m时,t=1.5 s.
其中正确的是 (
D
)A.①④
B.①②
C.②③④
D.②③
答案
D
解析
【分析】
解题时首先从图像提取二次函数的关键信息：抛物线过(0,0)、(6,0)，顶点坐标为(3,40)，先求出高度h与时间t的函数解析式，再结合竖直上抛运动的规律逐一判断4个结论即可。
【解析】
设二次函数的解析式为顶点式：$h = a(t-3)^2 + 40$，
将点$(0,0)$代入解析式得：$0 = a(0-3)^2 + 40$，解得$a = -\frac{40}{9}$，
因此函数解析式为$h = -\frac{40}{9}(t-3)^2 + 40$。
逐一分析结论：
① 小球上升的最大高度为40m，下落回到地面还要走40m，总路程为$40×2=80\mathrm{m}$，故①错误；
② 小球抛出3s后处于下落阶段，受重力作用，下落速度越来越快，故②正确；
③ 小球抛出3s时到达最高点，此时运动方向由向上转为向下，瞬时速度为0，故③正确；
④ 当$h=30\mathrm{m}$时，代入解析式得：$30 = -\frac{40}{9}(t-3)^2 + 40$，
整理得$(t-3)^2 = \frac{9}{4}$，解得$t=1.5\mathrm{s}$或$t=4.5\mathrm{s}$，即$h=30\mathrm{m}$时对应两个时间点，故④错误。
综上，正确的结论是②③，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的图像与性质
【点评】
本题结合竖直上抛运动的常识考查二次函数的应用，解题核心是从图像提取关键坐标求出函数解析式，再结合解析式和运动规律逐一判断结论，注意不要忽略下落阶段对应的函数值。
【难度系数】
0.65
解题时首先从图像提取二次函数的关键信息：抛物线过(0,0)、(6,0)，顶点坐标为(3,40)，先求出高度h与时间t的函数解析式，再结合竖直上抛运动的规律逐一判断4个结论即可。
【解析】
设二次函数的解析式为顶点式：$h = a(t-3)^2 + 40$，
将点$(0,0)$代入解析式得：$0 = a(0-3)^2 + 40$，解得$a = -\frac{40}{9}$，
因此函数解析式为$h = -\frac{40}{9}(t-3)^2 + 40$。
逐一分析结论：
① 小球上升的最大高度为40m，下落回到地面还要走40m，总路程为$40×2=80\mathrm{m}$，故①错误；
② 小球抛出3s后处于下落阶段，受重力作用，下落速度越来越快，故②正确；
③ 小球抛出3s时到达最高点，此时运动方向由向上转为向下，瞬时速度为0，故③正确；
④ 当$h=30\mathrm{m}$时，代入解析式得：$30 = -\frac{40}{9}(t-3)^2 + 40$，
整理得$(t-3)^2 = \frac{9}{4}$，解得$t=1.5\mathrm{s}$或$t=4.5\mathrm{s}$，即$h=30\mathrm{m}$时对应两个时间点，故④错误。
综上，正确的结论是②③，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的图像与性质
【点评】
本题结合竖直上抛运动的常识考查二次函数的应用，解题核心是从图像提取关键坐标求出函数解析式，再结合解析式和运动规律逐一判断结论，注意不要忽略下落阶段对应的函数值。
【难度系数】
0.65
3. 如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16 m，AE=8 m，抛物线的顶点C到ED的距离是11 m，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40 h内，水面与河底ED的距离h（单位：m）随时间t（单位：h）的变化满足函数关系 $h=-\dfrac{1}{128}(t-19)^2 +8(0≤ t≤40)$，且当水面到顶点C的距离不大于5 m时，需禁止船只通行，在这一时段内，需要多长时间禁止船只通行？
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40 h内，水面与河底ED的距离h（单位：m）随时间t（单位：h）的变化满足函数关系 $h=-\dfrac{1}{128}(t-19)^2 +8(0≤ t≤40)$，且当水面到顶点C的距离不大于5 m时，需禁止船只通行，在这一时段内，需要多长时间禁止船只通行？
答案
(1) 由题意知顶点 C 的坐标为$(0,11)$,点 B 的坐标为$(8,8)$. 设抛物线的解析式为$y=ax^2+c$,则$\begin{cases}8=8^2· a+c,\\11=c,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{3}{64},\\c=11.\end{cases}$
∴抛物线的解析式为 $y=-\frac{3}{64}x^2+11$.
(2) 令$-\frac{1}{128}(t-19)^2+8=11-5$,解得 $t_1=35,t_2=3$. 画出 $h=-\frac{1}{128}(t-19)^2+8\ (0≤ t≤40)$的图象,由图象可知,当 $3≤ t≤35$ 时,水面到顶点 C 的距离不大于 5 m,需禁止船只通行,禁止船只通行的时间为$35-3=32(\mathrm{h})$.
∴在这一时段内,需要 32 h 禁止船只通行.
∴抛物线的解析式为 $y=-\frac{3}{64}x^2+11$.
(2) 令$-\frac{1}{128}(t-19)^2+8=11-5$,解得 $t_1=35,t_2=3$. 画出 $h=-\frac{1}{128}(t-19)^2+8\ (0≤ t≤40)$的图象,由图象可知,当 $3≤ t≤35$ 时,水面到顶点 C 的距离不大于 5 m,需禁止船只通行,禁止船只通行的时间为$35-3=32(\mathrm{h})$.
∴在这一时段内,需要 32 h 禁止船只通行.
解析
【分析】
（1）求抛物线解析式时，观察到抛物线对称轴为y轴，因此可设简化的顶点式$y=ax^2+c$，先从题干和图形中提取已知点坐标：顶点C到x轴距离为11，故C(0,11)；ED长16m，AE长8m，故点B坐标为(8,8)，将两点代入解析式即可求解参数。
（2）首先明确“水面到顶点C的距离不大于5m”的数学含义：顶点C纵坐标为11，因此水面高度$h≥11-5=6\mathrm{m}$，将$h=6$代入给定的时间与水面高度的函数关系式，解出对应的两个时间点，由于函数开口向下，两个时间点之间的时长就是禁止船只通行的时间。
【解析】
（1）由题意得，抛物线顶点C的坐标为$(0,11)$，点B的坐标为$(8,8)$。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+c$，将两点坐标代入得：
$\begin{cases}8=8^2· a+c\\11=c\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{3}{64}\\c=11\end{cases}$
∴抛物线的解析式为 $y=-\frac{3}{64}x^2+11$。
（2）当水面到顶点C的距离不大于5 m时，水面高度$h≥11-5=6\mathrm{m}$，
令$-\frac{1}{128}(t-19)^2+8=6$，
整理得$(t-19)^2=256$，
解得 $t_1=35,t_2=3$。
由于函数$h=-\frac{1}{128}(t-19)^2+8$开口向下，因此当$3≤ t≤35$时，$h≥6$，满足禁止通行的要求，
禁止船只通行的时间为$35-3=32(\mathrm{h})$。
【答案】
（1）$y=-\dfrac{3}{64}x^2+11$；（2）$32\ \mathrm{h}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合生活实际场景考查二次函数的应用，解题核心是准确将实际问题转化为二次函数的数值关系，需要学生具备从题干和图形中提取有效信息的能力，是二次函数应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
（1）求抛物线解析式时，观察到抛物线对称轴为y轴，因此可设简化的顶点式$y=ax^2+c$，先从题干和图形中提取已知点坐标：顶点C到x轴距离为11，故C(0,11)；ED长16m，AE长8m，故点B坐标为(8,8)，将两点代入解析式即可求解参数。
（2）首先明确“水面到顶点C的距离不大于5m”的数学含义：顶点C纵坐标为11，因此水面高度$h≥11-5=6\mathrm{m}$，将$h=6$代入给定的时间与水面高度的函数关系式，解出对应的两个时间点，由于函数开口向下，两个时间点之间的时长就是禁止船只通行的时间。
【解析】
（1）由题意得，抛物线顶点C的坐标为$(0,11)$，点B的坐标为$(8,8)$。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+c$，将两点坐标代入得：
$\begin{cases}8=8^2· a+c\\11=c\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{3}{64}\\c=11\end{cases}$
∴抛物线的解析式为 $y=-\frac{3}{64}x^2+11$。
（2）当水面到顶点C的距离不大于5 m时，水面高度$h≥11-5=6\mathrm{m}$，
令$-\frac{1}{128}(t-19)^2+8=6$，
整理得$(t-19)^2=256$，
解得 $t_1=35,t_2=3$。
由于函数$h=-\frac{1}{128}(t-19)^2+8$开口向下，因此当$3≤ t≤35$时，$h≥6$，满足禁止通行的要求，
禁止船只通行的时间为$35-3=32(\mathrm{h})$。
【答案】
（1）$y=-\dfrac{3}{64}x^2+11$；（2）$32\ \mathrm{h}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合生活实际场景考查二次函数的应用，解题核心是准确将实际问题转化为二次函数的数值关系，需要学生具备从题干和图形中提取有效信息的能力，是二次函数应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
