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4. 如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案.在平面直角坐标系中,最左边的抛物线可以用$y=ax^2+bx(a≠0)$表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为$\frac{3}{4}$ m,到墙边OA的距离分别为$\frac{1}{2}$ m,$\frac{3}{2}$ m.
(1) 求该抛物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;
(2) 若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的抛物线形图案?
(1) 求该抛物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;
(2) 若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的抛物线形图案?
答案
(1) 将 $B(\frac{1}{2},\frac{3}{4}),C(\frac{3}{2},\frac{3}{4})$ 分别代入$y=ax^2+bx$,得$\begin{cases}\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b=\frac{3}{4},\\\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b=\frac{3}{4},\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2.\end{cases}$
∴抛物线的函数关系式为 $y=-x^2+2x$,即 $y=-(x-1)^2+1$,
∴抛物线的顶点坐标为$(1,1)$,即图案最高点到地面的距离为1 m.
(2) 当 $y=0$,即$-x^2+2x=0$时,解得 $x_1=0,x_2=2$.
∵墙长 10 m,
∴最多可以连续绘制抛物线形图案的数量为$10÷2=5$(个).
∴抛物线的函数关系式为 $y=-x^2+2x$,即 $y=-(x-1)^2+1$,
∴抛物线的顶点坐标为$(1,1)$,即图案最高点到地面的距离为1 m.
(2) 当 $y=0$,即$-x^2+2x=0$时,解得 $x_1=0,x_2=2$.
∵墙长 10 m,
∴最多可以连续绘制抛物线形图案的数量为$10÷2=5$(个).
解析
【分析】
(1) 首先根据题意确定B、C两点的坐标分别为$(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$、$(\frac{3}{2},\frac{3}{4})$，两点均在抛物线上，将坐标代入二次函数一般式$y=ax^2+bx$，可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，得到抛物线解析式；再将解析式配方为顶点式，顶点的纵坐标就是图案最高点到地面的距离。
(2) 要求可绘制的图案个数，首先需要求出单个抛物线图案的水平宽度：令$y=0$，解一元二次方程得到抛物线与x轴的两个交点坐标，两个交点横坐标的差就是单个图案的宽度；再用墙的总长度除以单个图案的宽度，得到的整数就是最多可绘制的图案个数。
【解析】
(1) 由题意得点B坐标为$(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$，点C坐标为$(\frac{3}{2},\frac{3}{4})$，将两点代入$y=ax^2+bx(a≠0)$，得：
$\begin{cases}\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b=\frac{3}{4}\\\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b=\frac{3}{4}\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}a=-1\\b=2\end{cases}$
所以抛物线的函数关系式为$y=-x^2+2x$，将其配方得：
$y=-x^2+2x=-(x^2-2x+1)+1=-(x-1)^2+1$
所以抛物线的顶点坐标为$(1,1)$，即图案最高点到地面的距离为1 m。
(2) 令$y=0$，则$-x^2+2x=0$，因式分解得$x(-x+2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$，即单个抛物线图案的水平宽度为2 m。
已知墙的长度为10 m，所以最多可绘制的图案数量为$10÷2=5$（个）。
【答案】
(1) 抛物线的函数关系式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x}$，图案最高点到地面的距离为$\boldsymbol{1\ \mathrm{m}}$；
(2) 最多可以连续绘制$\boldsymbol{5}$个这样的抛物线形图案。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的实际应用
【点评】
本题以实际绘制图案为背景，考查二次函数的相关知识，解题的核心是从题干和图像中提取有效坐标信息，熟练运用待定系数法求函数解析式，再结合二次函数的性质求解实际问题，计算量较小，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据题意确定B、C两点的坐标分别为$(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$、$(\frac{3}{2},\frac{3}{4})$，两点均在抛物线上，将坐标代入二次函数一般式$y=ax^2+bx$，可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，得到抛物线解析式；再将解析式配方为顶点式，顶点的纵坐标就是图案最高点到地面的距离。
(2) 要求可绘制的图案个数，首先需要求出单个抛物线图案的水平宽度：令$y=0$，解一元二次方程得到抛物线与x轴的两个交点坐标，两个交点横坐标的差就是单个图案的宽度；再用墙的总长度除以单个图案的宽度，得到的整数就是最多可绘制的图案个数。
【解析】
(1) 由题意得点B坐标为$(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$，点C坐标为$(\frac{3}{2},\frac{3}{4})$，将两点代入$y=ax^2+bx(a≠0)$，得：
$\begin{cases}\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b=\frac{3}{4}\\\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b=\frac{3}{4}\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}a=-1\\b=2\end{cases}$
所以抛物线的函数关系式为$y=-x^2+2x$，将其配方得：
$y=-x^2+2x=-(x^2-2x+1)+1=-(x-1)^2+1$
所以抛物线的顶点坐标为$(1,1)$，即图案最高点到地面的距离为1 m。
(2) 令$y=0$，则$-x^2+2x=0$，因式分解得$x(-x+2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$，即单个抛物线图案的水平宽度为2 m。
已知墙的长度为10 m，所以最多可绘制的图案数量为$10÷2=5$（个）。
【答案】
(1) 抛物线的函数关系式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x}$，图案最高点到地面的距离为$\boldsymbol{1\ \mathrm{m}}$；
(2) 最多可以连续绘制$\boldsymbol{5}$个这样的抛物线形图案。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的实际应用
【点评】
本题以实际绘制图案为背景，考查二次函数的相关知识，解题的核心是从题干和图像中提取有效坐标信息，熟练运用待定系数法求函数解析式，再结合二次函数的性质求解实际问题，计算量较小，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
5. 如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6 m,底部宽度 OM 为12 m,现以点 O 为原点,OM 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系.
(1) 直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标;
(2) 求这条抛物线的解析式;
(3) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD—DC—CB,使 C,D 点在抛物线上,A,B 点在地面 OM 上,则这个“支撑架”的总长的最大值是多少米?
(1) 直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标;
(2) 求这条抛物线的解析式;
(3) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD—DC—CB,使 C,D 点在抛物线上,A,B 点在地面 OM 上,则这个“支撑架”的总长的最大值是多少米?
答案
(1) $M(12,0),P(6,6)$
(2) 设抛物线的解析式为 $y=a(x-6)^2+6$,
∵抛物线$y=a(x-6)^2+6$ 经过点$(0,0)$,
∴$0=a(0-6)^2+6$,
∴$a=-\frac{1}{6}$,
∴抛物线解析式为 $y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6$,即 $y=-\frac{1}{6}x^2+2x$.
(3) 设 $A(m,0)$,则 $B(12-m,0),C(12-m,-\frac{1}{6}m^2+2m)$,$D(m,-\frac{1}{6}m^2+2m)$.
∴“支撑架”总长 $AD+DC+CB = (-\frac{1}{6}m^2+2m)+(12-2m)+(-\frac{1}{6}m^2+2m)=-\frac{1}{3}m^2+2m+12=-\frac{1}{3}(m-3)^2+15$.
∵此二次函数的图象开口向下,
∴当 $m=3$时,$AD+DC+CB$ 有最大值为 15,即支架的总长的最大值是 15 m.
(2) 设抛物线的解析式为 $y=a(x-6)^2+6$,
∵抛物线$y=a(x-6)^2+6$ 经过点$(0,0)$,
∴$0=a(0-6)^2+6$,
∴$a=-\frac{1}{6}$,
∴抛物线解析式为 $y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6$,即 $y=-\frac{1}{6}x^2+2x$.
(3) 设 $A(m,0)$,则 $B(12-m,0),C(12-m,-\frac{1}{6}m^2+2m)$,$D(m,-\frac{1}{6}m^2+2m)$.
∴“支撑架”总长 $AD+DC+CB = (-\frac{1}{6}m^2+2m)+(12-2m)+(-\frac{1}{6}m^2+2m)=-\frac{1}{3}m^2+2m+12=-\frac{1}{3}(m-3)^2+15$.
∵此二次函数的图象开口向下,
∴当 $m=3$时,$AD+DC+CB$ 有最大值为 15,即支架的总长的最大值是 15 m.
解析
【分析】
(1) 已知O为原点，OM长度为12m且在x轴上，可直接得到M点坐标；抛物线最大高度为6m，对称轴为OM的垂直平分线即直线x=6，由此可直接得到顶点P的坐标。
(2) 已知抛物线顶点坐标，优先设顶点式求解解析式，代入抛物线上已知的原点坐标即可求出参数a，整理得到最终解析式。
(3) 利用抛物线关于直线x=6对称的性质，设A点横坐标为m，依次表示出B、C、D三点的坐标，再将支撑架总长转化为关于m的二次函数，结合二次函数开口方向，通过配方求顶点即可得到总长的最大值。
【解析】
(1)
∵OM在x轴上，O为原点，OM=12m，
∴M点坐标为$(12,0)$；
抛物线对称轴为直线$x=\frac{0+12}{2}=6$，最大高度为6m，因此顶点P坐标为$(6,6)$。
(2) 设抛物线的顶点式为$y=a(x-6)^2+6$，
∵抛物线经过点$(0,0)$，将坐标代入解析式得：
$0=a(0-6)^2+6$，
解得$a=-\frac{1}{6}$，
∴抛物线解析式为$y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6$，整理为一般式为$y=-\frac{1}{6}x^2+2x$。
(3) 设$A(m,0)$，由抛物线的对称性可得$B(12-m,0)$，
D、C两点横坐标分别为m、$12-m$，代入抛物线解析式得两点纵坐标均为$-\frac{1}{6}m^2+2m$，即$D(m,-\frac{1}{6}m^2+2m)$，$C(12-m,-\frac{1}{6}m^2+2m)$。
则支撑架总长：
$AD+DC+CB = (-\frac{1}{6}m^2+2m)+(12-2m)+(-\frac{1}{6}m^2+2m)$
$= -\frac{1}{3}m^2+2m+12$
配方得$= -\frac{1}{3}(m-3)^2+15$，
∵二次项系数$-\frac{1}{3}＜0$，函数图象开口向下，
∴当$m=3$时，总长取得最大值15m。
【答案】
(1) $M(12,0)$，$P(6,6)$
(2) $y=-\frac{1}{6}x^2+2x$（或$y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6$）
(3) 15 m
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数最值，二次函数实际应用
【点评】
本题以生活中的隧道场景为载体，考查二次函数的相关知识，解题核心是利用抛物线的对称性将实际长度转化为二次函数代数式，结合二次函数的性质求解最值，能有效考查数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知O为原点，OM长度为12m且在x轴上，可直接得到M点坐标；抛物线最大高度为6m，对称轴为OM的垂直平分线即直线x=6，由此可直接得到顶点P的坐标。
(2) 已知抛物线顶点坐标，优先设顶点式求解解析式，代入抛物线上已知的原点坐标即可求出参数a，整理得到最终解析式。
(3) 利用抛物线关于直线x=6对称的性质，设A点横坐标为m，依次表示出B、C、D三点的坐标，再将支撑架总长转化为关于m的二次函数，结合二次函数开口方向，通过配方求顶点即可得到总长的最大值。
【解析】
(1)
∵OM在x轴上，O为原点，OM=12m，
∴M点坐标为$(12,0)$；
抛物线对称轴为直线$x=\frac{0+12}{2}=6$，最大高度为6m，因此顶点P坐标为$(6,6)$。
(2) 设抛物线的顶点式为$y=a(x-6)^2+6$，
∵抛物线经过点$(0,0)$，将坐标代入解析式得：
$0=a(0-6)^2+6$，
解得$a=-\frac{1}{6}$，
∴抛物线解析式为$y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6$，整理为一般式为$y=-\frac{1}{6}x^2+2x$。
(3) 设$A(m,0)$，由抛物线的对称性可得$B(12-m,0)$，
D、C两点横坐标分别为m、$12-m$，代入抛物线解析式得两点纵坐标均为$-\frac{1}{6}m^2+2m$，即$D(m,-\frac{1}{6}m^2+2m)$，$C(12-m,-\frac{1}{6}m^2+2m)$。
则支撑架总长：
$AD+DC+CB = (-\frac{1}{6}m^2+2m)+(12-2m)+(-\frac{1}{6}m^2+2m)$
$= -\frac{1}{3}m^2+2m+12$
配方得$= -\frac{1}{3}(m-3)^2+15$，
∵二次项系数$-\frac{1}{3}＜0$，函数图象开口向下，
∴当$m=3$时，总长取得最大值15m。
【答案】
(1) $M(12,0)$，$P(6,6)$
(2) $y=-\frac{1}{6}x^2+2x$（或$y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6$）
(3) 15 m
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数最值，二次函数实际应用
【点评】
本题以生活中的隧道场景为载体，考查二次函数的相关知识，解题核心是利用抛物线的对称性将实际长度转化为二次函数代数式，结合二次函数的性质求解最值，能有效考查数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
6. 一条隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8 m，宽为2 m，隧道的最高点P位于AB的中央且距地面6 m，建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求抛物线的解析式；
（2）一辆货车高4 m，宽2 m，能否从该隧道内通过？为什么？
（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过？为什么？
（1）求抛物线的解析式；
（2）一辆货车高4 m，宽2 m，能否从该隧道内通过？为什么？
（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过？为什么？
答案
(1) 由题意可知抛物线经过点 $A(0,2),P(4,6),B(8,2)$,设抛物线的解析式为 $y=ax^2+bx+c$,将点 A,P,B 的坐标代入抛物线的解析式,求得 $y=-\frac{1}{4}x^2+2x+2$.
(2) 令 $y=4$,则有 $-\frac{1}{4}x^2+2x+2=4$,解得 $x_1=4+2\sqrt{2},x_2=4-2\sqrt{2},|x_2-x_1|=4\sqrt{2}＞2$.
∴货车可以通过.
(3) 由(2)可知 $\frac{1}{2}|x_2-x_1|=2\sqrt{2}＞2$,
∴货车可以通过.
(2) 令 $y=4$,则有 $-\frac{1}{4}x^2+2x+2=4$,解得 $x_1=4+2\sqrt{2},x_2=4-2\sqrt{2},|x_2-x_1|=4\sqrt{2}＞2$.
∴货车可以通过.
(3) 由(2)可知 $\frac{1}{2}|x_2-x_1|=2\sqrt{2}＞2$,
∴货车可以通过.
解析
【分析】
（1）求抛物线解析式首先要确定抛物线上的已知点坐标：由题意得A点坐标为(0,2)，B点坐标为(8,2)，最高点P是AB的中点且距地面6m，因此P点坐标为(4,6)。我们可以设抛物线的一般式$y=ax^2+bx+c$，将三个已知点坐标代入，解三元一次方程组即可求出系数，得到解析式。
（2）判断货车能否通过，可将货车高度4m转化为函数值$y=4$，求解此时对应的x的两个取值，两个取值的差就是隧道在高度4m处的总宽度，将该宽度和货车宽度2m比较，若大于货车宽度则可以通过。
（3）双行道意味着隧道的通行宽度要平均分为两部分，将（2）中求得的总宽度除以2，得到单车道的可用宽度，再和货车宽度2m比较，若大于货车宽度则可以通过。
【解析】
（1）由题意可知抛物线经过点$A(0,2)$、$P(4,6)$、$B(8,2)$，设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c$。
将$A(0,2)$代入得：$c=2$；
将$P(4,6)$、$c=2$代入得：$16a+4b+2=6$，化简为$4a+b=1$①；
将$B(8,2)$、$c=2$代入得：$64a+8b+2=2$，化简为$8a+b=0$②；
用②-①得$4a=-1$，解得$a=-\frac{1}{4}$，代入①得$b=2$。
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{4}x^2+2x+2$。
（2）令$y=4$，代入解析式得：
$-\frac{1}{4}x^2+2x+2=4$
整理得$x^2-8x+8=0$，解得$x_1=4+2\sqrt{2}$，$x_2=4-2\sqrt{2}$。
此时高度4m处的隧道宽度为$|x_1-x_2|=4\sqrt{2}$，因为$4\sqrt{2}＞2$，所以货车可以通过。
（3）双行道时单车道的可用宽度为总宽度的一半，即$\frac{1}{2}|x_1-x_2|=2\sqrt{2}$，因为$2\sqrt{2}＞2$，所以货车可以顺利通过。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{4}x^2+2x+2$
(2) 货车可以通过，因为高度4m处隧道总宽度$4\sqrt{2}＞2$；
(3) 货车可以通过，因为双行道单车道宽度$2\sqrt{2}＞2$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的实际应用
3. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题结合实际通行场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际问题中的高度、宽度转化为二次函数的函数值、坐标差值计算，需要注意单行道和双行道通行宽度的计算区别。
【难度系数】
0.7
（1）求抛物线解析式首先要确定抛物线上的已知点坐标：由题意得A点坐标为(0,2)，B点坐标为(8,2)，最高点P是AB的中点且距地面6m，因此P点坐标为(4,6)。我们可以设抛物线的一般式$y=ax^2+bx+c$，将三个已知点坐标代入，解三元一次方程组即可求出系数，得到解析式。
（2）判断货车能否通过，可将货车高度4m转化为函数值$y=4$，求解此时对应的x的两个取值，两个取值的差就是隧道在高度4m处的总宽度，将该宽度和货车宽度2m比较，若大于货车宽度则可以通过。
（3）双行道意味着隧道的通行宽度要平均分为两部分，将（2）中求得的总宽度除以2，得到单车道的可用宽度，再和货车宽度2m比较，若大于货车宽度则可以通过。
【解析】
（1）由题意可知抛物线经过点$A(0,2)$、$P(4,6)$、$B(8,2)$，设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c$。
将$A(0,2)$代入得：$c=2$；
将$P(4,6)$、$c=2$代入得：$16a+4b+2=6$，化简为$4a+b=1$①；
将$B(8,2)$、$c=2$代入得：$64a+8b+2=2$，化简为$8a+b=0$②；
用②-①得$4a=-1$，解得$a=-\frac{1}{4}$，代入①得$b=2$。
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{4}x^2+2x+2$。
（2）令$y=4$，代入解析式得：
$-\frac{1}{4}x^2+2x+2=4$
整理得$x^2-8x+8=0$，解得$x_1=4+2\sqrt{2}$，$x_2=4-2\sqrt{2}$。
此时高度4m处的隧道宽度为$|x_1-x_2|=4\sqrt{2}$，因为$4\sqrt{2}＞2$，所以货车可以通过。
（3）双行道时单车道的可用宽度为总宽度的一半，即$\frac{1}{2}|x_1-x_2|=2\sqrt{2}$，因为$2\sqrt{2}＞2$，所以货车可以顺利通过。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{4}x^2+2x+2$
(2) 货车可以通过，因为高度4m处隧道总宽度$4\sqrt{2}＞2$；
(3) 货车可以通过，因为双行道单车道宽度$2\sqrt{2}＞2$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的实际应用
3. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题结合实际通行场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际问题中的高度、宽度转化为二次函数的函数值、坐标差值计算，需要注意单行道和双行道通行宽度的计算区别。
【难度系数】
0.7
