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解决拱桥问题分两类:(1) 已有平面直角坐标系,那么此时一般又分① 抛物线的顶点在原点,可得解析式
$y=ax^2(a≠0)$
;② 顶点在y轴上,可得解析式$y=ax^2+m (a≠0)$
;③ 顶点在x轴上,可得解析式$y=a(x−m)^2(a≠0)$
;④ 原点在抛物线上,可得解析式$y=ax^2+bx (a≠0)$
;(2) 没有平面直角坐标系,此时建立适合的平面直角坐标系是关键.答案
$y=ax^2(a≠0) \quad y=ax^2+m \ (a≠0) \quad y=a(x−m)^2(a≠0) \quad y=ax^2+bx \ (a≠0)$
解析
【分析】
本题考查不同位置特征下二次函数解析式的形式选择，解题核心是结合二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$和一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，根据题干给出的顶点位置、过定点的条件代入化简即可得到对应解析式：
1. 若顶点在原点，即顶点坐标$(h,k)=(0,0)$，代入顶点式化简；
2. 若顶点在y轴上，即顶点横坐标$h=0$，纵坐标为任意常数，代入顶点式化简；
3. 若顶点在x轴上，即顶点纵坐标$k=0$，横坐标为任意常数，代入顶点式化简；
4. 若原点在抛物线上，即$x=0$时$y=0$，代入一般式消去常数项即可得到对应解析式。
【解析】
结合二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$、一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$依次推导：
① 顶点在原点时，顶点坐标$(h,k)=(0,0)$，代入顶点式得：$y=a(x-0)^2+0=ax^2(a≠0)$；
② 顶点在y轴上时，顶点横坐标$h=0$，设纵坐标为$m$，代入顶点式得：$y=a(x-0)^2+m=ax^2+m(a≠0)$；
③ 顶点在x轴上时，顶点纵坐标$k=0$，设横坐标为$m$，代入顶点式得：$y=a(x-m)^2+0=a(x-m)^2(a≠0)$；
④ 原点在抛物线上时，将$(0,0)$代入一般式$y=ax^2+bx+c$，得$0=a×0 + b×0 + c$，即$c=0$，因此解析式为$y=ax^2+bx(a≠0)$。
【答案】
$y=ax^2(a≠0)$；$y=ax^2+m \ (a≠0)$；$y=a(x−m)^2(a≠0)$；$y=ax^2+bx \ (a≠0)$
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数的一般式；二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数解决实际拱桥问题的基础内容，熟练掌握不同位置特征的二次函数解析式形式，能帮助我们快速搭建实际问题和函数模型的联系，降低后续计算难度。
【难度系数】
0.8
本题考查不同位置特征下二次函数解析式的形式选择，解题核心是结合二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$和一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，根据题干给出的顶点位置、过定点的条件代入化简即可得到对应解析式：
1. 若顶点在原点，即顶点坐标$(h,k)=(0,0)$，代入顶点式化简；
2. 若顶点在y轴上，即顶点横坐标$h=0$，纵坐标为任意常数，代入顶点式化简；
3. 若顶点在x轴上，即顶点纵坐标$k=0$，横坐标为任意常数，代入顶点式化简；
4. 若原点在抛物线上，即$x=0$时$y=0$，代入一般式消去常数项即可得到对应解析式。
【解析】
结合二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$、一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$依次推导：
① 顶点在原点时，顶点坐标$(h,k)=(0,0)$，代入顶点式得：$y=a(x-0)^2+0=ax^2(a≠0)$；
② 顶点在y轴上时，顶点横坐标$h=0$，设纵坐标为$m$，代入顶点式得：$y=a(x-0)^2+m=ax^2+m(a≠0)$；
③ 顶点在x轴上时，顶点纵坐标$k=0$，设横坐标为$m$，代入顶点式得：$y=a(x-m)^2+0=a(x-m)^2(a≠0)$；
④ 原点在抛物线上时，将$(0,0)$代入一般式$y=ax^2+bx+c$，得$0=a×0 + b×0 + c$，即$c=0$，因此解析式为$y=ax^2+bx(a≠0)$。
【答案】
$y=ax^2(a≠0)$；$y=ax^2+m \ (a≠0)$；$y=a(x−m)^2(a≠0)$；$y=ax^2+bx \ (a≠0)$
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数的一般式；二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数解决实际拱桥问题的基础内容，熟练掌握不同位置特征的二次函数解析式形式，能帮助我们快速搭建实际问题和函数模型的联系，降低后续计算难度。
【难度系数】
0.8
1. A,B,C,D四幅图象分别表示变量之间的关系.
（1）小车从光滑斜面上滑下(小车速度和时间的关系)对应的图象是
（2）运动员推出去的铅球(铅球的高度与时间的关系)对应的图象是
（3）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物(弹簧长度与所挂重物的重量的关系)对应的图象是
（4）小明匀速从A到B后,停留一段时间,然后按原速度原路返回(路程与时间的关系)对应的图象是
（1）小车从光滑斜面上滑下(小车速度和时间的关系)对应的图象是
D
；（2）运动员推出去的铅球(铅球的高度与时间的关系)对应的图象是
C
；（3）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物(弹簧长度与所挂重物的重量的关系)对应的图象是
B
；（4）小明匀速从A到B后,停留一段时间,然后按原速度原路返回(路程与时间的关系)对应的图象是
A
.答案
(1) D (2) C (3) B (4) A
解析
【分析】
解决这类图像匹配题，核心思路是先明确每个实际情景中自变量和因变量的变化规律，重点抓住图像的起点位置、增减变化趋势、特殊阶段（如恒定不变、下降）、终点位置这几个核心特征，逐一和选项匹配即可：
1. 小车从光滑斜面滑下：自变量为时间，因变量为速度。初始时刻时间为0、速度也为0，下滑过程中速度随时间均匀增大，符合过原点的上升直线特征。
2. 运动员推出去的铅球：自变量为时间，因变量为高度。铅球出手时就有初始高度，运动过程中先上升到最高点，之后下落直到落地高度为0，符合先增后减的曲线特征。
3. 弹簧挂重物：自变量为重物重量，因变量为弹簧长度。弹簧本身有原长，重量为0时长度不为0，弹性限度内重物越重弹簧长度越大，符合从y轴正半轴出发的上升直线特征。
4. 小明的运动过程：自变量为时间，因变量为离出发点A的距离。匀速去B时距离随时间均匀增大，停留时距离不随时间变化，原路匀速返回时距离均匀减小直到为0，符合先上升、再水平、最后下降到原点的特征。
【解析】
（1）小车从光滑斜面滑下，初始速度为0，速度随时间均匀增大，对应图像D；
（2）铅球运动过程中高度先升高后降低，最终落地时高度为0，对应图像C；
（3）弹簧有固有原长，初始长度不为0，弹性限度内长度随所挂重物重量增加均匀变长，对应图像B；
（4）小明的运动分为三个阶段：离A的距离均匀增大→距离保持不变→距离均匀减小到0，对应图像A。
【答案】
（1）D；（2）C；（3）B；（4）A
【知识点】
函数图像的实际意义，一次函数的应用，二次函数的应用
【点评】
本题是函数图像与实际生活结合的基础常考题，解题时需结合生活经验梳理变量的变化规律，抓住图像的关键特征匹配即可，主要考查学生的情景分析和图像识别能力。
【难度系数】
0.8
解决这类图像匹配题，核心思路是先明确每个实际情景中自变量和因变量的变化规律，重点抓住图像的起点位置、增减变化趋势、特殊阶段（如恒定不变、下降）、终点位置这几个核心特征，逐一和选项匹配即可：
1. 小车从光滑斜面滑下：自变量为时间，因变量为速度。初始时刻时间为0、速度也为0，下滑过程中速度随时间均匀增大，符合过原点的上升直线特征。
2. 运动员推出去的铅球：自变量为时间，因变量为高度。铅球出手时就有初始高度，运动过程中先上升到最高点，之后下落直到落地高度为0，符合先增后减的曲线特征。
3. 弹簧挂重物：自变量为重物重量，因变量为弹簧长度。弹簧本身有原长，重量为0时长度不为0，弹性限度内重物越重弹簧长度越大，符合从y轴正半轴出发的上升直线特征。
4. 小明的运动过程：自变量为时间，因变量为离出发点A的距离。匀速去B时距离随时间均匀增大，停留时距离不随时间变化，原路匀速返回时距离均匀减小直到为0，符合先上升、再水平、最后下降到原点的特征。
【解析】
（1）小车从光滑斜面滑下，初始速度为0，速度随时间均匀增大，对应图像D；
（2）铅球运动过程中高度先升高后降低，最终落地时高度为0，对应图像C；
（3）弹簧有固有原长，初始长度不为0，弹性限度内长度随所挂重物重量增加均匀变长，对应图像B；
（4）小明的运动分为三个阶段：离A的距离均匀增大→距离保持不变→距离均匀减小到0，对应图像A。
【答案】
（1）D；（2）C；（3）B；（4）A
【知识点】
函数图像的实际意义，一次函数的应用，二次函数的应用
【点评】
本题是函数图像与实际生活结合的基础常考题，解题时需结合生活经验梳理变量的变化规律，抓住图像的关键特征匹配即可，主要考查学生的情景分析和图像识别能力。
【难度系数】
0.8
2. 如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象与$x$轴的一个交点是$(-2,0)$，顶点是$(1,3)$。下列说法中不正确的是（
A.抛物线的对称轴是直线$x=1$
B.抛物线的开口向下
C.抛物线与$x$轴的另一个交点是$(2,0)$
D.当$x=1$时，$y$有最大值3
（第2题）
C
）A.抛物线的对称轴是直线$x=1$
B.抛物线的开口向下
C.抛物线与$x$轴的另一个交点是$(2,0)$
D.当$x=1$时，$y$有最大值3
（第2题）答案
C
解析
【分析】
解题时可结合已知的顶点坐标和二次函数的基础性质，逐个判断选项：首先由顶点坐标可直接得到抛物线的对称轴和函数的最值，再由顶点是图像最高点判断开口方向，最后利用二次函数的对称性，计算x轴另一个交点的坐标，即可判断选项正误。
【解析】
已知抛物线顶点坐标为$(1,3)$，与$x$轴的一个交点为$(-2,0)$，逐个分析选项：
1. 选项A：抛物线的对称轴为过顶点且垂直于$x$轴的直线，即直线$x=1$，该说法正确，不符合题意；
2. 选项B：顶点是抛物线图像的最高点，说明函数存在最大值，因此抛物线开口向下，该说法正确，不符合题意；
3. 选项C：抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，交点$(-2,0)$到对称轴$x=1$的距离为$1-(-2)=3$，因此另一个交点的横坐标为$1+3=4$，即另一个交点为$(4,0)$，不是$(2,0)$，该说法错误，符合题意；
4. 选项D：抛物线开口向下，顶点为最高点，因此$x=1$时$y$有最大值$3$，该说法正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像性质；二次函数的对称性；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查二次函数的核心性质，只要熟练掌握对称轴、开口方向、对称性、最值和顶点坐标的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时可结合已知的顶点坐标和二次函数的基础性质，逐个判断选项：首先由顶点坐标可直接得到抛物线的对称轴和函数的最值，再由顶点是图像最高点判断开口方向，最后利用二次函数的对称性，计算x轴另一个交点的坐标，即可判断选项正误。
【解析】
已知抛物线顶点坐标为$(1,3)$，与$x$轴的一个交点为$(-2,0)$，逐个分析选项：
1. 选项A：抛物线的对称轴为过顶点且垂直于$x$轴的直线，即直线$x=1$，该说法正确，不符合题意；
2. 选项B：顶点是抛物线图像的最高点，说明函数存在最大值，因此抛物线开口向下，该说法正确，不符合题意；
3. 选项C：抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，交点$(-2,0)$到对称轴$x=1$的距离为$1-(-2)=3$，因此另一个交点的横坐标为$1+3=4$，即另一个交点为$(4,0)$，不是$(2,0)$，该说法错误，符合题意；
4. 选项D：抛物线开口向下，顶点为最高点，因此$x=1$时$y$有最大值$3$，该说法正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像性质；二次函数的对称性；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查二次函数的核心性质，只要熟练掌握对称轴、开口方向、对称性、最值和顶点坐标的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 某幢建筑物，从10 m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直，如图），如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面$\frac{40}{3}$ m，那么水流落地点B离墙
（
A.2 m
B.3 m
C.4 m
D.5 m
（
B
）A.2 m
B.3 m
C.4 m
D.5 m
答案
B
解析
【分析】
首先以O为原点，墙面为y轴，地面为x轴建立平面直角坐标系。已知抛物线顶点M的坐标和抛物线上点A的坐标，我们可以先设抛物线的顶点式解析式，代入A点坐标求出解析式，再令y=0求出正的x值，即为水流落地点B离墙的距离。
【解析】
设O为坐标原点，OA所在直线为y轴，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系。
由题意可知：点A坐标为$(0,10)$，抛物线顶点M坐标为$(1,\frac{40}{3})$。
设抛物线解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，代入顶点坐标得$y=a(x-1)^2+\frac{40}{3}$。
将$A(0,10)$代入解析式：
$10=a(0-1)^2+\frac{40}{3}$
解得$a=10-\frac{40}{3}=-\frac{10}{3}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$。
水流落地时$y=0$，代入解析式：
$0=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$
两边同乘3得：$-10(x-1)^2+40=0$
整理得：$(x-1)^2=4$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$（距离为正，舍去）
即水流落地点B离墙3m。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数实际应用，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题关键是合理建立平面直角坐标系，结合已知条件求出抛物线解析式，求解时要注意结合实际意义舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
首先以O为原点，墙面为y轴，地面为x轴建立平面直角坐标系。已知抛物线顶点M的坐标和抛物线上点A的坐标，我们可以先设抛物线的顶点式解析式，代入A点坐标求出解析式，再令y=0求出正的x值，即为水流落地点B离墙的距离。
【解析】
设O为坐标原点，OA所在直线为y轴，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系。
由题意可知：点A坐标为$(0,10)$，抛物线顶点M坐标为$(1,\frac{40}{3})$。
设抛物线解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，代入顶点坐标得$y=a(x-1)^2+\frac{40}{3}$。
将$A(0,10)$代入解析式：
$10=a(0-1)^2+\frac{40}{3}$
解得$a=10-\frac{40}{3}=-\frac{10}{3}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$。
水流落地时$y=0$，代入解析式：
$0=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$
两边同乘3得：$-10(x-1)^2+40=0$
整理得：$(x-1)^2=4$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$（距离为正，舍去）
即水流落地点B离墙3m。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数实际应用，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题关键是合理建立平面直角坐标系，结合已知条件求出抛物线解析式，求解时要注意结合实际意义舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
