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2. 某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从1月至12月，这种水果每千克售价 $ y_1 $（单位：元）与销售时间第 $ x $ 月之间存在如图①所示（一条线段）的变化趋势，每千克成本 $ y_2 $（单位：元）与销售时间第 $ x $ 月满足函数关系式 $ y_2 = mx^2 - 8mx + n $，其变化趋势如图②所示.
（1）求 $ y_2 $ 的解析式；
（2）几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少元？
（1）求 $ y_2 $ 的解析式；
（2）几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少元？
答案
(1) 由图②可知抛物线$y_2=mx^2-8mx+n$经过点(3,6),(7,7),
∴$\begin{cases}9m-24m+n=6,\\49m-56m+n=7,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\dfrac{1}{8},\\n=\dfrac{63}{8}.\end{cases}$
∴$y_2=\dfrac{1}{8}x^2-x+\dfrac{63}{8}(1≤ x≤12).$ (2) 根据题意,得$y_1$是关于x的一次函数,设$y_1=kx+b$,
∵当x=4时,y=11;当x=8时,y=10,
∴$\begin{cases}4k+b=11,\\8k+b=10,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{4},\\b=12.\end{cases}$
∴$y_1=-\dfrac{1}{4}x+12(1≤ x≤12).$设x月销售这种水果,每千克水果所获得利润为w元,则$w=y_1-y_2=-\dfrac{1}{4}x+12-(\dfrac{1}{8}x^2-x+\dfrac{63}{8})=-\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{33}{8}=-\dfrac{1}{8}(x-3)^2+\dfrac{21}{4}.$
∵$-\dfrac{1}{8}＜0,$
∴当x=3时,$w_{最大}=5.25.$即3月销售这种水果,每千克所获得利润最大,最大利润是5.25元.
∴$\begin{cases}9m-24m+n=6,\\49m-56m+n=7,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\dfrac{1}{8},\\n=\dfrac{63}{8}.\end{cases}$
∴$y_2=\dfrac{1}{8}x^2-x+\dfrac{63}{8}(1≤ x≤12).$ (2) 根据题意,得$y_1$是关于x的一次函数,设$y_1=kx+b$,
∵当x=4时,y=11;当x=8时,y=10,
∴$\begin{cases}4k+b=11,\\8k+b=10,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{4},\\b=12.\end{cases}$
∴$y_1=-\dfrac{1}{4}x+12(1≤ x≤12).$设x月销售这种水果,每千克水果所获得利润为w元,则$w=y_1-y_2=-\dfrac{1}{4}x+12-(\dfrac{1}{8}x^2-x+\dfrac{63}{8})=-\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{33}{8}=-\dfrac{1}{8}(x-3)^2+\dfrac{21}{4}.$
∵$-\dfrac{1}{8}＜0,$
∴当x=3时,$w_{最大}=5.25.$即3月销售这种水果,每千克所获得利润最大,最大利润是5.25元.
解析
【分析】
（1）求解$y_2$的解析式：已知$y_2$的函数形式为$y_2 = mx^2 - 8mx + n$，仅需确定参数$m、n$即可，从图②中可获取抛物线上两个点的坐标$(3,6)$和$(7,7)$，将两点代入函数式得到二元一次方程组，解方程组即可求出$m、n$，得到$y_2$的解析式。
（2）求解最大利润：每千克利润=每千克售价-每千克成本，因此需要先求出$y_1$的解析式：$y_1$是一次函数，从图①中获取两点$(4,11)$、$(8,10)$，用待定系数法求出$y_1$的解析式；再设利润为$w$，列出$w=y_1-y_2$的表达式，整理为二次函数的顶点式，结合二次函数的开口方向和$x$的取值范围，即可求出利润的最大值和对应的月份。
【解析】
(1) 由图②可知抛物线$y_2=mx^2-8mx+n$经过点$(3,6)$、$(7,7)$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases}9m-24m+n=6\\49m-56m+n=7\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\dfrac{1}{8}\\n=\dfrac{63}{8}\end{cases}$
因此$y_2$的解析式为$y_2=\dfrac{1}{8}x^2-x+\dfrac{63}{8}(1≤ x≤12)$。
(2) 设$y_1$的解析式为$y_1=kx+b$，由图①可知$y_1$经过点$(4,11)$、$(8,10)$，代入得：
$\begin{cases}4k+b=11\\8k+b=10\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{4}\\b=12\end{cases}$
因此$y_1$的解析式为$y_1=-\dfrac{1}{4}x+12(1≤ x≤12)$。
设第$x$月销售这种水果每千克利润为$w$元，根据利润=售价-成本得：
$w=y_1-y_2=-\dfrac{1}{4}x+12-(\dfrac{1}{8}x^2-x+\dfrac{63}{8})$
整理得：$w=-\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{33}{8}$
配方为顶点式：$w=-\dfrac{1}{8}(x-3)^2+\dfrac{21}{4}$
$\because -\dfrac{1}{8}＜0$，抛物线开口向下，且$x=3$在$1≤ x≤12$范围内，
$\therefore$当$x=3$时，$w$取得最大值，最大值为$\dfrac{21}{4}=5.25$元。
【答案】
(1) $y_2=\dfrac{1}{8}x^2-x+\dfrac{63}{8}(1≤ x≤12)$；
(2) 3月销售这种水果每千克所获得利润最大，最大利润是5.25元。
【知识点】
待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，利润问题的等量关系
【点评】
本题综合考查一次函数、二次函数的实际应用，解题关键是明确利润的计算关系，熟练掌握用待定系数法求函数解析式，以及二次函数最值的求解方法，题目贴合生活实际，能有效考查学生对函数知识的应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）求解$y_2$的解析式：已知$y_2$的函数形式为$y_2 = mx^2 - 8mx + n$，仅需确定参数$m、n$即可，从图②中可获取抛物线上两个点的坐标$(3,6)$和$(7,7)$，将两点代入函数式得到二元一次方程组，解方程组即可求出$m、n$，得到$y_2$的解析式。
（2）求解最大利润：每千克利润=每千克售价-每千克成本，因此需要先求出$y_1$的解析式：$y_1$是一次函数，从图①中获取两点$(4,11)$、$(8,10)$，用待定系数法求出$y_1$的解析式；再设利润为$w$，列出$w=y_1-y_2$的表达式，整理为二次函数的顶点式，结合二次函数的开口方向和$x$的取值范围，即可求出利润的最大值和对应的月份。
【解析】
(1) 由图②可知抛物线$y_2=mx^2-8mx+n$经过点$(3,6)$、$(7,7)$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases}9m-24m+n=6\\49m-56m+n=7\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\dfrac{1}{8}\\n=\dfrac{63}{8}\end{cases}$
因此$y_2$的解析式为$y_2=\dfrac{1}{8}x^2-x+\dfrac{63}{8}(1≤ x≤12)$。
(2) 设$y_1$的解析式为$y_1=kx+b$，由图①可知$y_1$经过点$(4,11)$、$(8,10)$，代入得：
$\begin{cases}4k+b=11\\8k+b=10\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{4}\\b=12\end{cases}$
因此$y_1$的解析式为$y_1=-\dfrac{1}{4}x+12(1≤ x≤12)$。
设第$x$月销售这种水果每千克利润为$w$元，根据利润=售价-成本得：
$w=y_1-y_2=-\dfrac{1}{4}x+12-(\dfrac{1}{8}x^2-x+\dfrac{63}{8})$
整理得：$w=-\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{33}{8}$
配方为顶点式：$w=-\dfrac{1}{8}(x-3)^2+\dfrac{21}{4}$
$\because -\dfrac{1}{8}＜0$，抛物线开口向下，且$x=3$在$1≤ x≤12$范围内，
$\therefore$当$x=3$时，$w$取得最大值，最大值为$\dfrac{21}{4}=5.25$元。
【答案】
(1) $y_2=\dfrac{1}{8}x^2-x+\dfrac{63}{8}(1≤ x≤12)$；
(2) 3月销售这种水果每千克所获得利润最大，最大利润是5.25元。
【知识点】
待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，利润问题的等量关系
【点评】
本题综合考查一次函数、二次函数的实际应用，解题关键是明确利润的计算关系，熟练掌握用待定系数法求函数解析式，以及二次函数最值的求解方法，题目贴合生活实际，能有效考查学生对函数知识的应用能力。
【难度系数】
0.6
3. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.
（1）求出每天的销售利润y（单位：元）与销售单价x（单位：元）之间的函数关系式；
（2）销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4 000元，且每天的总成本不超过7 000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）
（1）求出每天的销售利润y（单位：元）与销售单价x（单位：元）之间的函数关系式；
（2）销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4 000元，且每天的总成本不超过7 000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）
答案
(1) $y=(x-50)[50+5(100-x)]=(x-50)·(-5x+550)=-5x^2+800x-27\ 500,$
∴$y=-5x^2+800x-27\ 500(50≤ x≤100).$ (2) $y=-5x^2+800x-27\ 500=-5(x-80)^2+4\ 500.$
∵a=-5＜0,
∴抛物线开口向下.
∵50≤x≤100,对称轴是直线x=80,
∴当x=80时,$y_{最大值}=4\ 500,$即当销售单价为80元时,每天的销售利润最大,为4 500元. (3) 当y=4 000时,-5(x-80)²+4 500=4 000,解得$x_1=70,x_2=90.$
∴当70≤x≤90时,每天的销售利润不低于4 000元.由每天的总成本不超过7 000元,得50(-5x+550)≤7 000,解得x≥82,
∴82≤x≤90.
∵50≤x≤100,
∴销售单价应该控制在82元至90元之间.
∴$y=-5x^2+800x-27\ 500(50≤ x≤100).$ (2) $y=-5x^2+800x-27\ 500=-5(x-80)^2+4\ 500.$
∵a=-5＜0,
∴抛物线开口向下.
∵50≤x≤100,对称轴是直线x=80,
∴当x=80时,$y_{最大值}=4\ 500,$即当销售单价为80元时,每天的销售利润最大,为4 500元. (3) 当y=4 000时,-5(x-80)²+4 500=4 000,解得$x_1=70,x_2=90.$
∴当70≤x≤90时,每天的销售利润不低于4 000元.由每天的总成本不超过7 000元,得50(-5x+550)≤7 000,解得x≥82,
∴82≤x≤90.
∵50≤x≤100,
∴销售单价应该控制在82元至90元之间.
解析
【分析】
（1）求解利润与单价的函数关系式，核心公式为：销售利润=（单件售价-单件成本）×销售数量。首先计算单件利润为$(x-50)$元，再结合售价与销量的变化规律：售价100元时销量50件，每降低1元多售5件，可得销量为$[50+5(100-x)]$件，同时结合售价不低于成本、不高于100元的限制，整理即可得到函数关系式及自变量取值范围。
（2）求最大利润属于二次函数求最值问题，先将第一问得到的一般式化为顶点式，结合二次项系数的正负判断开口方向，再对照自变量的取值范围，即可确定最值对应的售价和最大利润。
（3）需同时满足两个限制条件：①利润不低于4000元，代入函数式求解得到x的初步范围；②总成本不超过7000元，根据总成本公式列不等式求解得到x的另一范围，最后取两个范围的交集，结合原自变量的取值限制，即可得到最终的单价范围。
【解析】
(1) 由题意得，单件利润为$(x-50)$元，每天的销售量为$50+5(100-x)=-5x+550$件，因此利润：
$y=(x-50)(-5x+550)$
展开整理得：$y=-5x^2+800x-27500$
结合售价限制$50≤x≤100$，故函数关系式为$y=-5x^2+800x-27500(50≤x≤100)$。
(2) 将函数式配方为顶点式：
$y=-5x^2+800x-27500=-5(x-80)^2+4500$
$\because a=-5＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
又$\because 50≤x≤100$，对称轴为直线$x=80$，在取值范围内，
$\therefore$当$x=80$时，$y$取得最大值，$y_{最大值}=4500$。
(3) ①当利润不低于4000元时，令$y=4000$，则：
$-5(x-80)^2+4500=4000$
解得$x_1=70$，$x_2=90$，
$\because$抛物线开口向下，$\therefore$当$70≤x≤90$时，$y≥4000$。
②当总成本不超过7000元时，由总成本公式得：
$50×(-5x+550)≤7000$
解得$x≥82$。
结合原自变量取值范围$50≤x≤100$，取两个条件的交集得$82≤x≤90$。
【答案】
(1) $y=-5x^2+800x-27500(50≤x≤100)$
(2) 销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润为4500元
(3) 销售单价应控制在82元至90元之间（即$82≤x≤90$）
【知识点】
1. 二次函数实际应用
2. 二次函数最值求解
3. 不等式的实际应用
【点评】
本题是销售类实际问题的典型题型，综合考查了函数关系式建立、二次函数最值计算和不等式求解，解题时需特别注意实际问题中自变量的取值限制，避免因忽略约束条件导致结果错误。
【难度系数】
0.6
（1）求解利润与单价的函数关系式，核心公式为：销售利润=（单件售价-单件成本）×销售数量。首先计算单件利润为$(x-50)$元，再结合售价与销量的变化规律：售价100元时销量50件，每降低1元多售5件，可得销量为$[50+5(100-x)]$件，同时结合售价不低于成本、不高于100元的限制，整理即可得到函数关系式及自变量取值范围。
（2）求最大利润属于二次函数求最值问题，先将第一问得到的一般式化为顶点式，结合二次项系数的正负判断开口方向，再对照自变量的取值范围，即可确定最值对应的售价和最大利润。
（3）需同时满足两个限制条件：①利润不低于4000元，代入函数式求解得到x的初步范围；②总成本不超过7000元，根据总成本公式列不等式求解得到x的另一范围，最后取两个范围的交集，结合原自变量的取值限制，即可得到最终的单价范围。
【解析】
(1) 由题意得，单件利润为$(x-50)$元，每天的销售量为$50+5(100-x)=-5x+550$件，因此利润：
$y=(x-50)(-5x+550)$
展开整理得：$y=-5x^2+800x-27500$
结合售价限制$50≤x≤100$，故函数关系式为$y=-5x^2+800x-27500(50≤x≤100)$。
(2) 将函数式配方为顶点式：
$y=-5x^2+800x-27500=-5(x-80)^2+4500$
$\because a=-5＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
又$\because 50≤x≤100$，对称轴为直线$x=80$，在取值范围内，
$\therefore$当$x=80$时，$y$取得最大值，$y_{最大值}=4500$。
(3) ①当利润不低于4000元时，令$y=4000$，则：
$-5(x-80)^2+4500=4000$
解得$x_1=70$，$x_2=90$，
$\because$抛物线开口向下，$\therefore$当$70≤x≤90$时，$y≥4000$。
②当总成本不超过7000元时，由总成本公式得：
$50×(-5x+550)≤7000$
解得$x≥82$。
结合原自变量取值范围$50≤x≤100$，取两个条件的交集得$82≤x≤90$。
【答案】
(1) $y=-5x^2+800x-27500(50≤x≤100)$
(2) 销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润为4500元
(3) 销售单价应控制在82元至90元之间（即$82≤x≤90$）
【知识点】
1. 二次函数实际应用
2. 二次函数最值求解
3. 不等式的实际应用
【点评】
本题是销售类实际问题的典型题型，综合考查了函数关系式建立、二次函数最值计算和不等式求解，解题时需特别注意实际问题中自变量的取值限制，避免因忽略约束条件导致结果错误。
【难度系数】
0.6
