1. 函数$y=ax^2+bx+c$是二次函数的条件是，其图象是一条。

1. $a≠0$ 抛物线

【分析】
解题时先从二次函数的定义出发思考：二次函数的核心特征是最高次项为二次项，因此必须保证二次项的系数不为0，若a=0，函数最高次项最多是1次，就变成一次函数或者常数函数，不符合二次函数的要求；再回忆二次函数的图象相关基础性质，就能直接得出对应的图象形状。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数）的函数，只有当$a≠0$时，最高次项为二次项，才属于二次函数，因此函数$y=ax^2+bx+c$是二次函数的条件是$a≠0$。
结合二次函数的图象性质可知，二次函数的图象是一条抛物线。
【答案】
$a≠0$；抛物线
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象
【点评】
本题考查二次函数的基础概念，属于基础题型，牢记课本中的基础定义和性质即可快速答对。
【难度系数】
0.9

2. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$配方后为$y=$，其对称轴为，顶点坐标为，抛物线$y=ax^2(a≠0)$与抛物线$y=a(x+m)^2 +n(a≠0)$的关系是。

2. $a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$ 直线$x=-\frac{b}{2a}$ $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$ 两者可通过平移相互得到

【分析】
本题考查二次函数一般式的配方、顶点式的性质及二次函数图像的平移规律。解题思路如下：第一步，对二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$进行配方，先提取二次项系数$a$，再对括号内的含$x$项配完全平方，整理后得到顶点式；第二步，根据顶点式的结构直接得出对称轴和顶点坐标，顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；第三步，二次函数的形状由二次项系数$a$决定，当$a$相同时，两条抛物线形状、开口方向完全相同，仅位置不同，因此可通过平移互相转换。
【解析】
1. 配方过程：
$\begin{aligned}y&=ax^2+bx+c\\&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\&=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2 - a·\frac{b^2}{4a^2}+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
2. 由上述顶点式可知，函数的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
3. 抛物线$y=ax^2$和$y=a(x+m)^2+n$的二次项系数均为$a$，因此开口方向、开口大小完全相同，仅位置存在差异，两者可通过平移相互得到。
【答案】
$a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$；直线$x=-\frac{b}{2a}$；$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；两者可通过平移相互得到
【知识点】
二次函数配方；二次函数顶点式性质；二次函数图像平移
【点评】
本题属于二次函数的基础核心考题，重点考察对二次函数基本变形与性质的掌握程度，相关结论是解决二次函数图像、最值等问题的基础，需熟练记忆并灵活运用。
【难度系数】
0.8

3. 抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$。
（1）当a 时，开口向上。当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小；
（2）当a 时，开口向下，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小。

3. （1）$＞0$ $＞-\frac{b}{2a}$ $＜-\frac{b}{2a}$ （2）$＜0$ $＜-\frac{b}{2a}$ $＞-\frac{b}{2a}$

【分析】
本题考查二次函数的基本性质，解题思路如下：①首先明确二次函数开口方向由二次项系数a的符号决定，a的正负对应开口向上/向下；②二次函数的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，函数的增减性以对称轴为分界，结合开口方向判断：开口向上时，对称轴右侧函数递增、左侧递减；开口向下时，对称轴左侧函数递增、右侧递减，按该逻辑依次填空即可。
【解析】
（1）对于抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，二次项系数符号决定开口方向，当$a＞0$时，抛物线开口向上；该抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，开口向上时，对称轴右侧y随x增大而增大，左侧y随x增大而减小，即$x＞-\frac{b}{2a}$时y随x增大而增大，$x＜-\frac{b}{2a}$时y随x增大而减小。
（2）当$a＜0$时，抛物线开口向下，此时对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小，即$x＜-\frac{b}{2a}$时y随x增大而增大，$x＞-\frac{b}{2a}$时y随x增大而减小。
【答案】
（1）$＞0$；$＞-\frac{b}{2a}$；$＜-\frac{b}{2a}$ （2）$＜0$；$＜-\frac{b}{2a}$；$＞-\frac{b}{2a}$
【知识点】
二次函数开口性质；二次函数对称轴；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数基础性质考查题，核心是记忆开口方向、对称轴与增减性的对应关系，是二次函数各类题型的必备基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9

4. 二次函数的表达式一般有三种:(1) ,(2) ,(3) .

4. （1）一般式 （2）顶点式 （3）交点式

【分析】
本题考查二次函数三种常用表达形式的名称识记，解题时只需回忆教材中对二次函数表达式的分类即可。我们学习二次函数时，会根据求解解析式时已知条件的不同，使用三种不同形式的表达式，分别对应已知任意三点坐标、已知顶点相关信息、已知与x轴交点信息的求解场景，对应名称分别为一般式、顶点式、交点式。
【解析】
二次函数的三种常见表达式如下：
1. 一般式：形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），适用于已知二次函数图像上任意三个点坐标的场景求解析式；
2. 顶点式：形式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$a、h、k$为常数），其中$(h,k)$是二次函数的顶点坐标，适用于已知顶点坐标、对称轴、最值的场景求解析式；
3. 交点式（又称两根式）：形式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$a≠0$，$a$为常数），其中$x_1、x_2$是二次函数图像与x轴交点的横坐标，适用于已知函数与x轴两个交点坐标的场景求解析式。
因此三个空依次对应三种表达式的名称。
【答案】
（1）一般式 （2）顶点式 （3）交点式
【知识点】
二次函数一般式；二次函数顶点式；二次函数交点式
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，是后续求解二次函数解析式的前置基础，需要熟练掌握三种表达式的形式和对应适用场景。
【难度系数】
0.9

5. 函数$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$），经过点$(-1,0),(m,0)$，且$1＜m＜2$。当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小。下列结论：①$abc＞0$；②$a+b＜0$；③如果点$A(-3,y_1)$，$B(3,y_2)$在抛物线上，那么$y_1＜y_2$；④$a(m-1)+b=0$；⑤当$c≤-1$时，$b^2-4ac≤4a$。其中结论正确的有________。（填序号）

5. ①④

【分析】
首先从已知条件推导二次函数的基本性质：1. 由x＜-1时y随x增大而减小，可得开口向上（a＞0），对称轴在x=-1右侧；2. 由两个零点-1和m（1＜m＜2），可得对称轴为$x=\frac{m-1}{2}$，范围在0~0.5之间；3. 结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可推导b的符号，再由x=0时函数值在两个零点之间，可得c的符号；最后逐个分析5个结论是否成立即可。
【解析】
步骤1：确定参数a、b、c的符号
∵ x＜-1时y随x的增大而减小，二次函数开口向上，
∴ a＞0。
∵ 抛物线过(-1,0)和(m,0)，1＜m＜2，
∴ 对称轴为$x=\frac{-1+m}{2}$，可得$0＜\frac{m-1}{2}＜0.5$。
又对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$0＜-\frac{b}{2a}＜0.5$，两边乘2a（a＞0，不等号方向不变）得$0＜-b＜a$，
∴ b＜0，且$a+b＞0$。
∵ x=0时，x在两个零点-1和m之间，开口向上，
∴ x=0时y=c＜0。
∴ abc = 正×负×负 = 正，故①$abc＞0$正确；②$a+b＜0$错误。
步骤2：判断结论③
点A(-3,y₁)到对称轴的距离为$|-3 - x_{\mathrm{对}}|=3+x_{\mathrm{对}}$，点B(3,y₂)到对称轴的距离为$|3 - x_{\mathrm{对}}|=3-x_{\mathrm{对}}$，显然A离对称轴更远。
∵ 开口向上，离对称轴越远函数值越大，
∴ y₁＞y₂，故③错误。
步骤3：判断结论④
抛物线零点式为$y=a(x+1)(x-m)$，展开得$y=ax^2 + a(1-m)x - am$，对比一般式得$b=a(1-m)$，移项得$a(m-1)+b=0$，故④正确。
步骤4：判断结论⑤
二次函数顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，是函数最小值。
∵ 对称轴在0~0.5之间，
∴ 顶点纵坐标小于x=0时的函数值c，即$\frac{4ac-b^2}{4a}＜c$。
当$c≤-1$时，$\frac{4ac-b^2}{4a}＜-1$，两边乘4a（a＞0）得$4ac-b^2＜-4a$，移项得$b^2-4ac＞4a$，故⑤错误。
【答案】
①④
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数零点式；二次函数判别式
【点评】
本题综合考查二次函数核心性质，需要结合已知条件推导参数符号、对称轴范围等，再逐个验证结论，对逻辑推导和数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.55

6. 如图，已知抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$，则下列结论错误的是 （）

A.$ac＜0$
B.$b^2-4ac＞0$
C.$2a-b=0$
D.$a-b+c=0$

6. C

【分析】
解决这类二次函数图像与系数关系的题目，首先要从图像中提取关键信息：开口方向、与坐标轴的交点、对称轴，再结合二次函数的性质逐一判断选项。首先根据开口方向判断a的符号，根据与y轴交点判断c的符号；再利用对称轴公式推导a和b的关系；最后利用对称轴的对称性求出另一个与x轴的交点，代入解析式判断相关代数式的取值。
【解析】
结合图像和二次函数性质逐一分析选项：
1. 分析A选项：抛物线开口向下，因此$a＜0$；抛物线与$y$轴交于正半轴，因此$c＞0$，则$ac＜0$，A选项结论正确，不符合题意。
2. 分析B选项：抛物线与$x$轴有两个不同的交点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，B选项结论正确，不符合题意。
3. 分析C选项：已知抛物线对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$2a + b = 0$，而非$2a - b=0$，C选项结论错误，符合题意。
4. 分析D选项：抛物线是轴对称图形，对称轴为$x=1$，已知抛物线与$x$轴的一个交点为$(3,0)$，则它关于直线$x=1$对称的另一个交点横坐标为$1-(3-1)=-1$，即另一交点为$(-1,0)$。将$x=-1$代入抛物线解析式得$y=a·(-1)^2 + b·(-1) + c = a - b + c = 0$，D选项结论正确，不符合题意。
综上，结论错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；二次函数的对称性；二次函数根的判别式
【点评】
本题是二次函数图像与系数关系的典型考题，需要熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、交点位置对应的代数式特征，利用对称性求解未知交点是解题的关键技巧。
【难度系数】
0.7

7. 已知抛物线$y=x^2+(m+1)x+m$，当$x=1$时，$y＞0$，且当$x＜-2$时，$y$的值随$x$值的增大而减小，则$m$的取值范围是（）

A.$m＞-1$
B.$m＜3$
C.$-1＜m≤3$
D.$3＜m≤4$

7. C

【分析】
本题属于二次函数性质的应用问题，解题思路清晰可分为两步：第一步，根据二次函数的增减性确定对称轴的取值范围：已知抛物线二次项系数为1＞0，开口向上，开口向上的抛物线在对称轴左侧y随x的增大而减小，题目给出x＜-2时y随x增大而减小，说明x=-2在对称轴左侧或与对称轴重合，据此列第一个不等式；第二步，将x=1代入抛物线解析式，结合y＞0的条件列第二个不等式，联立两个不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
解：对于抛物线$y=x^2+(m+1)x+m$，
$\because$ 二次项系数$a=1＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，
抛物线对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{m+1}{2}$。
1. 根据增减性列不等式：
$\because$ 开口向上的抛物线在对称轴左侧单调递减，且当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore -\frac{m+1}{2}≥ -2$，
解不等式：
两边同乘2得：$-(m+1)≥ -4$，
不等号两边同乘-1（方向改变）得：$m+1≤ 4$，
解得$m≤ 3$。
2. 根据$x=1$时$y＞0$列不等式：
将$x=1$代入解析式得：
$y=1+(m+1)+m=2m+2$，
$\because y＞0$，$\therefore 2m+2＞0$，
解得$m＞-1$。
联立两个解可得$m$的取值范围为$-1＜m≤ 3$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题重点考察二次函数增减性与对称轴的对应关系，解题时要注意根据开口方向判断增减性和对称轴的位置关系，避免写错不等号方向，同时不要遗漏任意一个约束条件。
【难度系数】
0.7

8. 如图，$△ ABC$为等边三角形，点$P$从$A$出发，沿$A→B→C→A$做匀速运动，则线段$AP$的长度$y$关于运动时间$x$的函数图象大致是 （）

8. B

【分析】
解决这类动点对应函数图像的问题，第一步先按动点的运动路径拆分阶段，本题可分为P在AB上运动、在BC上运动、在CA上运动三个阶段；再逐一分析每个阶段中AP长度y随运动时间x的变化趋势、变化是否匀速，对应判断每段的图像特征，最终匹配到正确选项。
①第一阶段P沿A→B运动：AP的长度等于点P的运动路程，因点P匀速运动，故y随x匀速增大，图像是过原点的上升直线段；
②第二阶段P沿B→C运动：根据等边三角形的性质，点P从B向BC中点运动时，AP长度逐渐减小，到中点时AP为三角形的高（最小值），再向C运动时AP长度逐渐增大到等于边长，这一阶段y与x不是一次函数关系，对应图像是先降后升的平滑曲线；
③第三阶段P沿C→A运动：AP长度随P靠近A匀速减小，从边长降到0，对应图像是下降的直线段。
【解析】
我们分三段分析线段AP的长度变化：
1. 当点P在AB段运动时：点P从A出发匀速向B运动，AP的长度随时间x匀速增大，y从0增加到等边三角形的边长，对应图像为过原点的上升直线段；
2. 当点P在BC段运动时：点P从B向C运动时，AP的长度先逐渐减小，到BC中点时AP为等边三角形的高（长度最小），随后逐渐增大，到C点时AP长度等于等边三角形的边长。此阶段AP长度的变化不是匀速的，和运动时间不成一次函数关系，对应图像为先降后升的平滑曲线；
3. 当点P在CA段运动时：点P从C匀速向A运动，AP的长度随时间x匀速减小，从边长降到0，对应图像为下降的直线段。
综上，只有选项B的图像符合上述变化规律。
【答案】
B
【知识点】
动点问题的函数图像、等边三角形的性质、函数图像识别
【点评】
本题是动点函数图像的常规考法，核心是拆分运动过程，逐一分析每段的变化趋势和变化类型，注意区分匀速变化（对应直线段）和非匀速变化（对应曲线段）的图像差异。
【难度系数】
0.7