12 若点$P(-1,a)$和$Q(1,b)$都在抛物线$y=-x^2+1$上，试求线段$PQ$的长。

12 因为抛物线$y=-x^2+1$的对称轴是y轴,所以由题意可得P、Q两点关于y轴对称,所以$PQ // x$轴,所以$PQ=1-(-1)=2$。

13 在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y=ax^2 -4$与$x$轴负半轴相交于点$A$，与$y$轴相交于点$B$，且$AB=2\sqrt{5}$，试求这条抛物线的表达式。

13 由$y=ax^2-4$,可得点B坐标为(0, -4)。设点A的坐标(m, 0),则$AB=\sqrt{m^2+16}$。又因为$AB=2\sqrt{5}$,所以$2\sqrt{5}=\sqrt{m^2+16}$,解得$m=±2$。因为A在x轴负半轴,所以$m=-2$,所以$A(-2, 0)$。将点$A(-2, 0)$代入抛物线$y=ax^2-4$可得,$0=4a-4$,解得$a=1$,所以抛物线表达式为$y=x^2-4$。

14 将抛物线 $y=-2x^2 -1$ 向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，求平移的距离。

14 如图,设平移后的抛物线表达式是$y=-2x^2 +k$,平移后的抛物线与x轴的交点分别为A、B两点,与y轴交于点C,则C点坐标为(0, k)。因为对称轴是y轴,所以$△ ABC$是等腰三角形。又因为$△ ABC$是直角三角形,所以$∠ ACB=90°$,即$△ ABC$是等腰直角三角形,所以$OA=OB=OC=k$,所以$A(-k, 0), B(k, 0)$。将点B的坐标代入表达式可得,$0=-2k^2 +k$,解得$k_1=0$(舍去),$k_2=\frac{1}{2}$,所以平移后抛物线的表达式是$y=-2x^2+\frac{1}{2}$,所以平移距离为$\frac{3}{2}$。