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12 若点$P(-1,a)$和$Q(1,b)$都在抛物线$y=-x^2+1$上，试求线段$PQ$的长。
答案
12 因为抛物线$y=-x^2+1$的对称轴是y轴,所以由题意可得P、Q两点关于y轴对称,所以$PQ // x$轴,所以$PQ=1-(-1)=2$。
解析
【分析】
解题可从两个思路切入：一是利用二次函数图象上的点坐标满足函数解析式，先代入两点横坐标求出纵坐标a、b，得到两点完整坐标后，由于两点纵坐标相等，距离等于横坐标差的绝对值；二是先分析抛物线性质，抛物线$y=-x^2+1$的对称轴为y轴，P、Q横坐标互为相反数，说明两点关于y轴对称，纵坐标相等，PQ平行于x轴，可直接计算横坐标差得到线段长度。
【解析】
方法1：将点$P(-1,a)$代入$y=-x^2+1$，得$a=-(-1)^2+1=0$，即$P(-1,0)$；
将点$Q(1,b)$代入$y=-x^2+1$，得$b=-1^2+1=0$，即$Q(1,0)$。
由于P、Q纵坐标相等，线段$PQ// x$轴，因此$PQ=|1-(-1)|=2$。
方法2：抛物线$y=-x^2+1$的对称轴为y轴，点$P(-1,a)$和$Q(1,b)$横坐标互为相反数，因此两点关于y轴对称，两点纵坐标相等，即$PQ// x$轴，故$PQ=1-(-1)=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
$y=ax^2+k$的图像性质；二次函数图象上点的坐标特征；两点间距离计算
【点评】
本题是基础题型，既可以用代入求坐标的常规方法求解，也可以利用二次函数对称性简化计算，能帮助巩固二次函数的基本性质。
【难度系数】
0.8
解题可从两个思路切入：一是利用二次函数图象上的点坐标满足函数解析式，先代入两点横坐标求出纵坐标a、b，得到两点完整坐标后，由于两点纵坐标相等，距离等于横坐标差的绝对值；二是先分析抛物线性质，抛物线$y=-x^2+1$的对称轴为y轴，P、Q横坐标互为相反数，说明两点关于y轴对称，纵坐标相等，PQ平行于x轴，可直接计算横坐标差得到线段长度。
【解析】
方法1：将点$P(-1,a)$代入$y=-x^2+1$，得$a=-(-1)^2+1=0$，即$P(-1,0)$；
将点$Q(1,b)$代入$y=-x^2+1$，得$b=-1^2+1=0$，即$Q(1,0)$。
由于P、Q纵坐标相等，线段$PQ// x$轴，因此$PQ=|1-(-1)|=2$。
方法2：抛物线$y=-x^2+1$的对称轴为y轴，点$P(-1,a)$和$Q(1,b)$横坐标互为相反数，因此两点关于y轴对称，两点纵坐标相等，即$PQ// x$轴，故$PQ=1-(-1)=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
$y=ax^2+k$的图像性质；二次函数图象上点的坐标特征；两点间距离计算
【点评】
本题是基础题型，既可以用代入求坐标的常规方法求解，也可以利用二次函数对称性简化计算，能帮助巩固二次函数的基本性质。
【难度系数】
0.8
13 在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y=ax^2 -4$与$x$轴负半轴相交于点$A$，与$y$轴相交于点$B$，且$AB=2\sqrt{5}$，试求这条抛物线的表达式。
答案
13 由$y=ax^2-4$,可得点B坐标为(0, -4)。设点A的坐标(m, 0),则$AB=\sqrt{m^2+16}$。又因为$AB=2\sqrt{5}$,所以$2\sqrt{5}=\sqrt{m^2+16}$,解得$m=±2$。因为A在x轴负半轴,所以$m=-2$,所以$A(-2, 0)$。将点$A(-2, 0)$代入抛物线$y=ax^2-4$可得,$0=4a-4$,解得$a=1$,所以抛物线表达式为$y=x^2-4$。
解析
【分析】
解题时首先根据抛物线与y轴交点的特征（x=0）求出点B的坐标；再设x轴上点A的坐标为(m,0)，利用两点之间的距离公式结合AB的长度列方程，求出m的值，结合A在x轴负半轴的条件确定m的取值，得到点A的坐标；最后将点A的坐标代入抛物线表达式，求解参数a，即可得到抛物线的最终表达式。
【解析】
解：对于抛物线$y=ax^2 -4$，
当$x=0$时，$y=-4$，
∴点B的坐标为$(0, -4)$。
设点A的坐标为$(m, 0)$，
由两点间距离公式可得$AB=\sqrt{(m-0)^2 + (0 - (-4))^2}=\sqrt{m^2 + 16}$。
已知$AB=2\sqrt{5}$，代入得：$2\sqrt{5}=\sqrt{m^2 + 16}$，
两边平方得：$20 = m^2 + 16$，解得$m^2=4$，$m=±2$。
∵点A在x轴负半轴，
∴$m=-2$，即A点坐标为$(-2, 0)$。
将$A(-2, 0)$代入$y=ax^2 -4$得：
$0 = a× (-2)^2 -4$，即$4a -4 = 0$，解得$a=1$。
∴抛物线的表达式为$y=x^2 -4$。
【答案】
$y=x^2 -4$
【知识点】
两点间距离公式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，解题核心是先通过几何条件求出抛物线上未知点的坐标，再代入解析式求解参数，只要熟练掌握二次函数坐标轴交点的求法、两点距离公式和待定系数法，就能顺利完成求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据抛物线与y轴交点的特征（x=0）求出点B的坐标；再设x轴上点A的坐标为(m,0)，利用两点之间的距离公式结合AB的长度列方程，求出m的值，结合A在x轴负半轴的条件确定m的取值，得到点A的坐标；最后将点A的坐标代入抛物线表达式，求解参数a，即可得到抛物线的最终表达式。
【解析】
解：对于抛物线$y=ax^2 -4$，
当$x=0$时，$y=-4$，
∴点B的坐标为$(0, -4)$。
设点A的坐标为$(m, 0)$，
由两点间距离公式可得$AB=\sqrt{(m-0)^2 + (0 - (-4))^2}=\sqrt{m^2 + 16}$。
已知$AB=2\sqrt{5}$，代入得：$2\sqrt{5}=\sqrt{m^2 + 16}$，
两边平方得：$20 = m^2 + 16$，解得$m^2=4$，$m=±2$。
∵点A在x轴负半轴，
∴$m=-2$，即A点坐标为$(-2, 0)$。
将$A(-2, 0)$代入$y=ax^2 -4$得：
$0 = a× (-2)^2 -4$，即$4a -4 = 0$，解得$a=1$。
∴抛物线的表达式为$y=x^2 -4$。
【答案】
$y=x^2 -4$
【知识点】
两点间距离公式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，解题核心是先通过几何条件求出抛物线上未知点的坐标，再代入解析式求解参数，只要熟练掌握二次函数坐标轴交点的求法、两点距离公式和待定系数法，就能顺利完成求解。
【难度系数】
0.8
14 将抛物线 $y=-2x^2 -1$ 向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，求平移的距离。
答案
14 如图,设平移后的抛物线表达式是$y=-2x^2 +k$,平移后的抛物线与x轴的交点分别为A、B两点,与y轴交于点C,则C点坐标为(0, k)。因为对称轴是y轴,所以$△ ABC$是等腰三角形。又因为$△ ABC$是直角三角形,所以$∠ ACB=90°$,即$△ ABC$是等腰直角三角形,所以$OA=OB=OC=k$,所以$A(-k, 0), B(k, 0)$。将点B的坐标代入表达式可得,$0=-2k^2 +k$,解得$k_1=0$(舍去),$k_2=\frac{1}{2}$,所以平移后抛物线的表达式是$y=-2x^2+\frac{1}{2}$,所以平移距离为$\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
解题时首先根据二次函数平移“上加下减”的规律设出平移后的抛物线解析式，结合抛物线关于y轴对称的性质，可知抛物线与x轴的两个交点A、B关于原点对称，因此△ABC为等腰三角形；要使△ABC为直角三角形，只能顶角∠ACB为直角，即△ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得OC=OA=OB，再将B点坐标代入抛物线解析式求解未知参数，最后计算平移距离即可。
【解析】
解：设平移后的抛物线表达式是$y=-2x^2 +k$，平移后的抛物线与x轴的交点分别为A、B两点，与y轴交于点C。
令$x=0$，得$y=k$，即C点坐标为$(0, k)$。
因为抛物线对称轴是y轴，所以A、B关于原点对称，$AC=BC$，即$△ ABC$是等腰三角形。
又因为$△ ABC$是直角三角形，因此直角只能为顶角$∠ ACB=90°$，即$△ ABC$是等腰直角三角形，可得$OA=OB=OC=k$，因此$B(k, 0)$。
将点B的坐标代入平移后的抛物线表达式可得：
$0=-2k^2 +k$
解得$k_1=0$（此时抛物线与坐标轴仅1个交点，不符合题意舍去），$k_2=\frac{1}{2}$。
原抛物线解析式为$y=-2x^2 -1$，向上平移的距离为新抛物线常数项与原常数项的差：$\frac{1}{2}-(-1)=\frac{3}{2}$。
【答案】
平移的距离为$\frac{3}{2}$
【知识点】
二次函数平移规律、二次函数与坐标轴交点、等腰直角三角形性质
【点评】
本题将二次函数的图像性质与几何图形相结合，解题的核心是利用抛物线的对称性确定三角形的形状，找到线段间的等量关系建立方程求解，能够考查学生对二次函数基础性质的掌握和数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据二次函数平移“上加下减”的规律设出平移后的抛物线解析式，结合抛物线关于y轴对称的性质，可知抛物线与x轴的两个交点A、B关于原点对称，因此△ABC为等腰三角形；要使△ABC为直角三角形，只能顶角∠ACB为直角，即△ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得OC=OA=OB，再将B点坐标代入抛物线解析式求解未知参数，最后计算平移距离即可。
【解析】
解：设平移后的抛物线表达式是$y=-2x^2 +k$，平移后的抛物线与x轴的交点分别为A、B两点，与y轴交于点C。
令$x=0$，得$y=k$，即C点坐标为$(0, k)$。
因为抛物线对称轴是y轴，所以A、B关于原点对称，$AC=BC$，即$△ ABC$是等腰三角形。
又因为$△ ABC$是直角三角形，因此直角只能为顶角$∠ ACB=90°$，即$△ ABC$是等腰直角三角形，可得$OA=OB=OC=k$，因此$B(k, 0)$。
将点B的坐标代入平移后的抛物线表达式可得：
$0=-2k^2 +k$
解得$k_1=0$（此时抛物线与坐标轴仅1个交点，不符合题意舍去），$k_2=\frac{1}{2}$。
原抛物线解析式为$y=-2x^2 -1$，向上平移的距离为新抛物线常数项与原常数项的差：$\frac{1}{2}-(-1)=\frac{3}{2}$。
【答案】
平移的距离为$\frac{3}{2}$
【知识点】
二次函数平移规律、二次函数与坐标轴交点、等腰直角三角形性质
【点评】
本题将二次函数的图像性质与几何图形相结合，解题的核心是利用抛物线的对称性确定三角形的形状，找到线段间的等量关系建立方程求解，能够考查学生对二次函数基础性质的掌握和数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
