登录
1 [2024甘肃]若$∠ A=55°$,则$∠ A$的补角为 （
A.$35°$
B.$45°$
C.$115°$
D.$125°$
D
）A.$35°$
B.$45°$
C.$115°$
D.$125°$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先回忆补角的基本定义：互为补角的两个角的和为180°。要求∠A的补角，只需用180°减去已知的∠A的度数，计算出结果后对应选项即可。
【解析】
根据补角的定义：若两个角的和等于180°，则这两个角互为补角。
因此∠A的补角 = 180° - ∠A，
已知∠A=55°，代入得：
∠A的补角 = 180° - 55° = 125°，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
补角的定义；角度的计算
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查补角定义的直接运用，熟练掌握互为补角的两个角之和为180°的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆补角的基本定义：互为补角的两个角的和为180°。要求∠A的补角，只需用180°减去已知的∠A的度数，计算出结果后对应选项即可。
【解析】
根据补角的定义：若两个角的和等于180°，则这两个角互为补角。
因此∠A的补角 = 180° - ∠A，
已知∠A=55°，代入得：
∠A的补角 = 180° - 55° = 125°，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
补角的定义；角度的计算
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查补角定义的直接运用，熟练掌握互为补角的两个角之和为180°的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2 有下列说法:① 如果$∠1+∠2+∠3=180°$,那么$∠1,∠2,∠3$互为补角;② $90°$的角叫作余角;③ 如果$∠1$是$∠2$的补角,那么$∠1$一定是钝角;④ 如果$∠1$是$∠2$的余角,那么$∠1$一定是锐角.
其中,正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
其中,正确的有 (
A
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2. A
解析
【分析】
要判断四个说法的正确性，需紧扣余角、补角的定义逐一分析：首先明确互为补角、互为余角描述的是两个角之间的数量关系，再结合锐角、直角、钝角的度数范围，逐个验证每个说法是否符合定义即可。
【解析】
我们根据余角、补角的定义逐个判断：
1. 对说法①：互为补角的定义是“若两个角的和为180°，则这两个角互为补角”，描述的是两个角之间的关系，三个角的和为180°不符合补角的定义，故①错误；
2. 对说法②：余角是两个角之间的关系，即“若两个角的和为90°，则这两个角互为余角”，不能单独称某一个角为余角，且90°的角是直角，不存在余角，故②错误；
3. 对说法③：若∠1是∠2的补角，则∠1+∠2=180°，∠1可能是锐角（如∠2=100°时，∠1=80°）、直角（如∠2=90°时，∠1=90°）或钝角，不一定是钝角，故③错误；
4. 对说法④：若∠1是∠2的余角，则∠1+∠2=90°，可得0°＜∠1＜90°，符合锐角的定义，故∠1一定是锐角，④正确。
综上，只有1个说法正确。
【答案】
A
【知识点】
补角的定义，余角的定义，角的分类
【点评】
本题易错点是对余角、补角的概念理解不到位，要注意“互为余角”“互为补角”仅针对两个角的数量关系，不能应用于三个及以上的角，判断角的类型时要结合度数范围全面分析，避免以偏概全。
【难度系数】
0.7
要判断四个说法的正确性，需紧扣余角、补角的定义逐一分析：首先明确互为补角、互为余角描述的是两个角之间的数量关系，再结合锐角、直角、钝角的度数范围，逐个验证每个说法是否符合定义即可。
【解析】
我们根据余角、补角的定义逐个判断：
1. 对说法①：互为补角的定义是“若两个角的和为180°，则这两个角互为补角”，描述的是两个角之间的关系，三个角的和为180°不符合补角的定义，故①错误；
2. 对说法②：余角是两个角之间的关系，即“若两个角的和为90°，则这两个角互为余角”，不能单独称某一个角为余角，且90°的角是直角，不存在余角，故②错误；
3. 对说法③：若∠1是∠2的补角，则∠1+∠2=180°，∠1可能是锐角（如∠2=100°时，∠1=80°）、直角（如∠2=90°时，∠1=90°）或钝角，不一定是钝角，故③错误；
4. 对说法④：若∠1是∠2的余角，则∠1+∠2=90°，可得0°＜∠1＜90°，符合锐角的定义，故∠1一定是锐角，④正确。
综上，只有1个说法正确。
【答案】
A
【知识点】
补角的定义，余角的定义，角的分类
【点评】
本题易错点是对余角、补角的概念理解不到位，要注意“互为余角”“互为补角”仅针对两个角的数量关系，不能应用于三个及以上的角，判断角的类型时要结合度数范围全面分析，避免以偏概全。
【难度系数】
0.7
3 如图，点O在直线AB上，$∠ AOD=∠ DOB=90°$，$∠ EOD=∠ BOC$，下列说法不正确的是（
A.$∠ EOD$与$∠ COD$互余
B.$∠ AOE=∠ COD$
C.$∠ EOD$与$∠ AOC$互补
D.$∠ BOC$，$∠ COE$，$∠ EOA$互补
（第3题）
（第6题）
D
）A.$∠ EOD$与$∠ COD$互余
B.$∠ AOE=∠ COD$
C.$∠ EOD$与$∠ AOC$互补
D.$∠ BOC$，$∠ COE$，$∠ EOA$互补
（第3题）（第6题）答案
3. D
解析
【分析】
首先根据已知条件明确图形中角的基础关系：点O在直线AB上可得∠AOB=180°，∠AOD=∠DOB=90°可得两组互余的角，再结合∠EOD=∠BOC的条件，利用余角、补角的定义和性质逐个分析选项，最后选出说法不正确的选项即可。
【解析】
解：
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB=180°，
又
∵ ∠AOD=∠DOB=90°，
∴ ∠AOE + ∠EOD = 90°，∠COD + ∠BOC = 90°。
已知∠EOD=∠BOC，逐个判断选项：
A. 把∠EOD=∠BOC代入∠COD + ∠BOC=90°，得∠COD + ∠EOD=90°，即∠EOD与∠COD互余，A说法正确，不符合题意；
B.
∵ ∠AOE + ∠EOD=90°，∠COD + ∠BOC=90°，且∠EOD=∠BOC，根据等角的余角相等，可得∠AOE=∠COD，B说法正确，不符合题意；
C. ∠AOC = 180° - ∠BOC，又∠EOD=∠BOC，代入得∠AOC=180° - ∠EOD，即∠AOC + ∠EOD=180°，则∠EOD与∠AOC互补，C说法正确，不符合题意；
D. 互余、互补都是描述两个角之间数量关系的概念，三个角的和为180°不能称这三个角互补，故D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义，补角的定义，等角的余角相等
【点评】
本题重点考查余角、补角的概念与性质，解题时要结合图形梳理各角的数量关系，尤其要注意互余、互补仅适用于两个角的关系，不能用来描述三个及以上角的关系，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
首先根据已知条件明确图形中角的基础关系：点O在直线AB上可得∠AOB=180°，∠AOD=∠DOB=90°可得两组互余的角，再结合∠EOD=∠BOC的条件，利用余角、补角的定义和性质逐个分析选项，最后选出说法不正确的选项即可。
【解析】
解：
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB=180°，
又
∵ ∠AOD=∠DOB=90°，
∴ ∠AOE + ∠EOD = 90°，∠COD + ∠BOC = 90°。
已知∠EOD=∠BOC，逐个判断选项：
A. 把∠EOD=∠BOC代入∠COD + ∠BOC=90°，得∠COD + ∠EOD=90°，即∠EOD与∠COD互余，A说法正确，不符合题意；
B.
∵ ∠AOE + ∠EOD=90°，∠COD + ∠BOC=90°，且∠EOD=∠BOC，根据等角的余角相等，可得∠AOE=∠COD，B说法正确，不符合题意；
C. ∠AOC = 180° - ∠BOC，又∠EOD=∠BOC，代入得∠AOC=180° - ∠EOD，即∠AOC + ∠EOD=180°，则∠EOD与∠AOC互补，C说法正确，不符合题意；
D. 互余、互补都是描述两个角之间数量关系的概念，三个角的和为180°不能称这三个角互补，故D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义，补角的定义，等角的余角相等
【点评】
本题重点考查余角、补角的概念与性质，解题时要结合图形梳理各角的数量关系，尤其要注意互余、互补仅适用于两个角的关系，不能用来描述三个及以上角的关系，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
4 如图，O 是直线 BD 上一点，$∠ BOC = 36°$，$∠ AOB = 108°$，则图中与$∠ AOB$互补的角是
∠AOC,∠AOD
。答案
4. $∠AOC,∠AOD$ 【解析】根据已知条件,可以求出$∠AOC=∠AOB−∠BOC=108°−36°=72°,∠AOD=180°−∠AOB=72°$,因此图中与$∠AOB$互补的角是$∠AOC,∠AOD$.
解析
【分析】
要找与∠AOB互补的角，首先明确补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。已知∠AOB=108°，所以只需找出度数为72°的角即可。第一步先看邻补角：O在直线BD上，∠AOB与∠AOD组成平角，可先确定∠AOD是互补角；第二步再计算其余角的度数，用∠AOB减去∠BOC得到∠AOC的度数，判断是否为72°，就能确定它是否也是互补角。
【解析】
解：根据补角的定义，和为180°的两个角互为补角。
1. 因为O是直线BD上的点，所以∠AOB+∠AOD=180°（平角的定义），因此∠AOD与∠AOB互补。
2. 计算∠AOC的度数：
$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=108°-36°=72°$
则$∠ AOB+∠ AOC=108°+72°=180°$，因此∠AOC也与∠AOB互补。
【答案】
$\boldsymbol{∠AOC、∠AOD}$
【知识点】
补角的定义，平角的性质，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握补角的定义，注意不要只找直观的邻补角，还需通过角度运算验证其余角是否符合条件，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要找与∠AOB互补的角，首先明确补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。已知∠AOB=108°，所以只需找出度数为72°的角即可。第一步先看邻补角：O在直线BD上，∠AOB与∠AOD组成平角，可先确定∠AOD是互补角；第二步再计算其余角的度数，用∠AOB减去∠BOC得到∠AOC的度数，判断是否为72°，就能确定它是否也是互补角。
【解析】
解：根据补角的定义，和为180°的两个角互为补角。
1. 因为O是直线BD上的点，所以∠AOB+∠AOD=180°（平角的定义），因此∠AOD与∠AOB互补。
2. 计算∠AOC的度数：
$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=108°-36°=72°$
则$∠ AOB+∠ AOC=108°+72°=180°$，因此∠AOC也与∠AOB互补。
【答案】
$\boldsymbol{∠AOC、∠AOD}$
【知识点】
补角的定义，平角的性质，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握补角的定义，注意不要只找直观的邻补角，还需通过角度运算验证其余角是否符合条件，避免漏解。
【难度系数】
0.7
5 [2025 宿豫期末]若∠A 与∠B 互为补角，且∠A=2∠B，则∠A 的度数是
6 如图，点O 在直线AB 上，∠AOC=∠DOE=90°，则图中与∠BOD 互补的角是
7（1）一个角比它的余角大25°，求这个角的度数；
（2）教材 P170 习题 T5 变式 [2026 沭阳段考]一个角的余角比它的补角的$\frac{2}{3}$还少50°，求这个角的度数.
120
°.6 如图，点O 在直线AB 上，∠AOC=∠DOE=90°，则图中与∠BOD 互补的角是
∠AOD,∠COE
.7（1）一个角比它的余角大25°，求这个角的度数；
（2）教材 P170 习题 T5 变式 [2026 沭阳段考]一个角的余角比它的补角的$\frac{2}{3}$还少50°，求这个角的度数.
答案
5. 120
6. $∠AOD,∠COE$
7. （1）设这个角的度数为 $x$. 由题意,得 $x+(x−25°)=90°$,解得 $x=57.5°$. 所以这个角的度数是 $57.5°$
（2）设这个角的度数为 $x$. 由题意,得 $90°−x=\frac{2}{3}(180°−x)−50°$,解得 $x=60°$. 所以这个角的度数是 $60°$
6. $∠AOD,∠COE$
7. （1）设这个角的度数为 $x$. 由题意,得 $x+(x−25°)=90°$,解得 $x=57.5°$. 所以这个角的度数是 $57.5°$
（2）设这个角的度数为 $x$. 由题意,得 $90°−x=\frac{2}{3}(180°−x)−50°$,解得 $x=60°$. 所以这个角的度数是 $60°$
解析
【分析】
第5题：解题时先根据补角的定义得到∠A与∠B的和为180°，再结合已知条件∠A=2∠B，代入消元即可求出∠A的度数。
第6题：先明确互补的定义是两个角的和为180°，首先由平角定义直接找到与∠BOD和为180°的∠AOD；再根据已知的直角，利用同角的余角相等找出与∠AOD相等的角，该角也与∠BOD互补。
第7题：两道小题都采用方程思想求解，（1）先设这个角为x，根据余角定义表示出它的余角，结合“这个角比余角大25°”的等量关系列方程求解；（2）同理设未知数，分别表示出这个角的余角和补角，根据题目给出的数量关系列方程求解即可。
【解析】
5. 因为∠A与∠B互为补角，所以∠A+∠B=180°，又因为∠A=2∠B，将其代入得2∠B+∠B=180°，解得∠B=60°，因此∠A=2×60°=120°。
6. ①点O在直线AB上，∠AOB=180°，即∠BOD+∠AOD=180°，故∠AOD与∠BOD互补；
②因为∠AOC=∠DOE=90°，所以∠AOD+∠COD=90°，∠COE+∠COD=90°，根据同角的余角相等可得∠AOD=∠COE，因此∠COE+∠BOD=180°，∠COE也与∠BOD互补。
综上，与∠BOD互补的角是∠AOD、∠COE。
7.（1）设这个角的度数为x，它的余角为(90°-x)。
由题意得：$x-(90°-x)=25°$
化简得$2x=115°$，解得$x=57.5°$。
（2）设这个角的度数为x，它的余角为(90°-x)，补角为(180°-x)。
由题意得：$90°−x=\frac{2}{3}(180°−x)−50°$
两边同乘3得：$270°-3x=2(180°-x)-150°$
展开整理得：$270°-3x=210°-2x$
解得$x=60°$。
【答案】
5. 120
6. $∠ AOD,∠ COE$
7.（1）$57.5°$；（2）$60°$
【知识点】
余角和补角的定义；同角的余角相等；方程思想求角度
【点评】
本组题目是余角、补角的基础应用题，解题核心是紧扣余角和为90°、补角和为180°的性质，找到角度间的等量关系，结合方程思想即可快速求解，是对角度基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.75
第5题：解题时先根据补角的定义得到∠A与∠B的和为180°，再结合已知条件∠A=2∠B，代入消元即可求出∠A的度数。
第6题：先明确互补的定义是两个角的和为180°，首先由平角定义直接找到与∠BOD和为180°的∠AOD；再根据已知的直角，利用同角的余角相等找出与∠AOD相等的角，该角也与∠BOD互补。
第7题：两道小题都采用方程思想求解，（1）先设这个角为x，根据余角定义表示出它的余角，结合“这个角比余角大25°”的等量关系列方程求解；（2）同理设未知数，分别表示出这个角的余角和补角，根据题目给出的数量关系列方程求解即可。
【解析】
5. 因为∠A与∠B互为补角，所以∠A+∠B=180°，又因为∠A=2∠B，将其代入得2∠B+∠B=180°，解得∠B=60°，因此∠A=2×60°=120°。
6. ①点O在直线AB上，∠AOB=180°，即∠BOD+∠AOD=180°，故∠AOD与∠BOD互补；
②因为∠AOC=∠DOE=90°，所以∠AOD+∠COD=90°，∠COE+∠COD=90°，根据同角的余角相等可得∠AOD=∠COE，因此∠COE+∠BOD=180°，∠COE也与∠BOD互补。
综上，与∠BOD互补的角是∠AOD、∠COE。
7.（1）设这个角的度数为x，它的余角为(90°-x)。
由题意得：$x-(90°-x)=25°$
化简得$2x=115°$，解得$x=57.5°$。
（2）设这个角的度数为x，它的余角为(90°-x)，补角为(180°-x)。
由题意得：$90°−x=\frac{2}{3}(180°−x)−50°$
两边同乘3得：$270°-3x=2(180°-x)-150°$
展开整理得：$270°-3x=210°-2x$
解得$x=60°$。
【答案】
5. 120
6. $∠ AOD,∠ COE$
7.（1）$57.5°$；（2）$60°$
【知识点】
余角和补角的定义；同角的余角相等；方程思想求角度
【点评】
本组题目是余角、补角的基础应用题，解题核心是紧扣余角和为90°、补角和为180°的性质，找到角度间的等量关系，结合方程思想即可快速求解，是对角度基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.75
8 整体思想 已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β−∠γ的度数为 （
A.45°
B.60°
C.90°
D.180°
C
）A.45°
B.60°
C.90°
D.180°
答案
8. C
解析
【分析】
解题时首先回忆余角、补角的定义：两个角互余则两角之和为90°，两个角互补则两角之和为180°。本题要求∠β−∠γ的度数，可先根据互补、互余的关系，将∠β和∠γ分别用含∠α的代数式表示，再代入∠β−∠γ中计算，计算过程中∠α会被消去，即可得到最终结果。
【解析】
∵ ∠α与∠β互补，根据互补的定义可得：
∠α + ∠β = 180°，即∠β = 180° - ∠α
∵ ∠α与∠γ互余，根据互余的定义可得：
∠α + ∠γ = 90°，即∠γ = 90° - ∠α
将上述两个式子代入∠β−∠γ得：
∠β−∠γ = (180° - ∠α) - (90° - ∠α)
= 180° - ∠α - 90° + ∠α
= 90°
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 补角的定义
2. 余角的定义
3. 整式的加减运算
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的核心是熟练掌握余角、补角的定义，通过用同一个角表示未知角再作差的方法，消去公共角即可得到结果，不需要求出∠α的具体度数，体现了整体代入的思想。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆余角、补角的定义：两个角互余则两角之和为90°，两个角互补则两角之和为180°。本题要求∠β−∠γ的度数，可先根据互补、互余的关系，将∠β和∠γ分别用含∠α的代数式表示，再代入∠β−∠γ中计算，计算过程中∠α会被消去，即可得到最终结果。
【解析】
∵ ∠α与∠β互补，根据互补的定义可得：
∠α + ∠β = 180°，即∠β = 180° - ∠α
∵ ∠α与∠γ互余，根据互余的定义可得：
∠α + ∠γ = 90°，即∠γ = 90° - ∠α
将上述两个式子代入∠β−∠γ得：
∠β−∠γ = (180° - ∠α) - (90° - ∠α)
= 180° - ∠α - 90° + ∠α
= 90°
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 补角的定义
2. 余角的定义
3. 整式的加减运算
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的核心是熟练掌握余角、补角的定义，通过用同一个角表示未知角再作差的方法，消去公共角即可得到结果，不需要求出∠α的具体度数，体现了整体代入的思想。
【难度系数】
0.8
9 若$∠ 1$与$∠ 2$互为补角，且$∠ 1＜∠ 2$，则$∠ 1$的余角为 （
A.$∠ 1$
B.$∠ 1+∠ 2$
C.$\frac{1}{2}(∠ 1+∠ 2)$
D.$\frac{1}{2}(∠ 2-∠ 1)$
D
）A.$∠ 1$
B.$∠ 1+∠ 2$
C.$\frac{1}{2}(∠ 1+∠ 2)$
D.$\frac{1}{2}(∠ 2-∠ 1)$
答案
9. D 【解析】运用特殊值法,不妨设$∠1=80°,∠2=100°$,则$∠1$的余角为$90°−80°=10°$. 将$∠1=80°,∠2=100°$代入四个选项中求值,只有$\frac{1}{2}(∠2−∠1)$的度数为$10°$.
解析
【分析】
解题首先要明确余角、补角的定义：互为补角的两个角和为180°，互为余角的两个角和为90°。本题是选择题，有两种清晰的解题思路：一是特殊值法，代入满足条件的角度数值计算∠1的余角，再验证各选项即可快速得出答案；二是推导法，利用补角的关系把90°用∠1和∠2表示，再化简得到∠1余角的表达式。
【解析】
方法一（特殊值法）：
因为∠1与∠2互为补角，且∠1＜∠2，不妨设∠1=80°，∠2=100°，满足∠1+∠2=180°。
∠1的余角为：$90°-80°=10°$。
逐一验证选项：
A选项：$∠1=80°≠10°$，错误；
B选项：$∠1+∠2=180°≠10°$，错误；
C选项：$\frac{1}{2}(∠1+∠2)=\frac{1}{2}×180°=90°≠10°$，错误；
D选项：$\frac{1}{2}(∠2-∠1)=\frac{1}{2}×(100°-80°)=10°$，正确。
方法二（推导法）：
由∠1与∠2互为补角，得$∠1+∠2=180°$，因此$\frac{1}{2}(∠1+∠2)=90°$。
∠1的余角为$90°-∠1$，代入上式化简得：
$90°-∠1=\frac{1}{2}(∠1+∠2)-∠1=\frac{1}{2}∠2-\frac{1}{2}∠1=\frac{1}{2}(∠2-∠1)$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义，补角的定义
【点评】
本题考查余角、补角的基础性质，选择题可采用特殊值法快速求解，降低解题难度，也可通过角度关系的代数推导得出结果，掌握核心定义是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确余角、补角的定义：互为补角的两个角和为180°，互为余角的两个角和为90°。本题是选择题，有两种清晰的解题思路：一是特殊值法，代入满足条件的角度数值计算∠1的余角，再验证各选项即可快速得出答案；二是推导法，利用补角的关系把90°用∠1和∠2表示，再化简得到∠1余角的表达式。
【解析】
方法一（特殊值法）：
因为∠1与∠2互为补角，且∠1＜∠2，不妨设∠1=80°，∠2=100°，满足∠1+∠2=180°。
∠1的余角为：$90°-80°=10°$。
逐一验证选项：
A选项：$∠1=80°≠10°$，错误；
B选项：$∠1+∠2=180°≠10°$，错误；
C选项：$\frac{1}{2}(∠1+∠2)=\frac{1}{2}×180°=90°≠10°$，错误；
D选项：$\frac{1}{2}(∠2-∠1)=\frac{1}{2}×(100°-80°)=10°$，正确。
方法二（推导法）：
由∠1与∠2互为补角，得$∠1+∠2=180°$，因此$\frac{1}{2}(∠1+∠2)=90°$。
∠1的余角为$90°-∠1$，代入上式化简得：
$90°-∠1=\frac{1}{2}(∠1+∠2)-∠1=\frac{1}{2}∠2-\frac{1}{2}∠1=\frac{1}{2}(∠2-∠1)$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义，补角的定义
【点评】
本题考查余角、补角的基础性质，选择题可采用特殊值法快速求解，降低解题难度，也可通过角度关系的代数推导得出结果，掌握核心定义是解题的关键。
【难度系数】
0.8
