登录
7 下列说法正确的是 （
A.平角就是一条直线
B.周角就是一条射线
C.平角的两条边在同一条直线上
D.周角的终边与始边重合，所以周角的度数是$0°$
C
）A.平角就是一条直线
B.周角就是一条射线
C.平角的两条边在同一条直线上
D.周角的终边与始边重合，所以周角的度数是$0°$
答案
7.C
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确角的基本构成要素，以及平角、周角的定义和特征，再逐一判断每个选项的正误：首先角是由有公共端点的两条射线组成的图形，必须具备顶点和两条边两个核心要素，和直线、射线有本质区别；其次要明确平角、周角的度数和边的特征，结合这两点逐一排查选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：平角有顶点和两条边，属于角的范畴，而直线没有端点、没有顶点，二者本质完全不同，因此A错误。
B选项：周角有顶点和两条重合的边，属于角的范畴，而射线只有一个端点，不存在角的两条边要素，二者本质完全不同，因此B错误。
C选项：平角的度数为180°，它的两条边互为反向延长线，刚好在同一条直线上，因此C正确。
D选项：周角是射线绕端点旋转一周形成的角，度数为360°，0°角是射线未发生旋转形成的角，二者并不相同，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
角的定义；平角的特征；周角的特征
【点评】
这道题是基础概念辨析题，主要考查对平角、周角概念的准确理解，易错点是容易混淆角与直线、射线的区别，或者误认为终边始边重合的周角就是0°角，只要牢固掌握角的构成要素和平角、周角的特征就能快速得出正确结论。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先明确角的基本构成要素，以及平角、周角的定义和特征，再逐一判断每个选项的正误：首先角是由有公共端点的两条射线组成的图形，必须具备顶点和两条边两个核心要素，和直线、射线有本质区别；其次要明确平角、周角的度数和边的特征，结合这两点逐一排查选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：平角有顶点和两条边，属于角的范畴，而直线没有端点、没有顶点，二者本质完全不同，因此A错误。
B选项：周角有顶点和两条重合的边，属于角的范畴，而射线只有一个端点，不存在角的两条边要素，二者本质完全不同，因此B错误。
C选项：平角的度数为180°，它的两条边互为反向延长线，刚好在同一条直线上，因此C正确。
D选项：周角是射线绕端点旋转一周形成的角，度数为360°，0°角是射线未发生旋转形成的角，二者并不相同，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
角的定义；平角的特征；周角的特征
【点评】
这道题是基础概念辨析题，主要考查对平角、周角概念的准确理解，易错点是容易混淆角与直线、射线的区别，或者误认为终边始边重合的周角就是0°角，只要牢固掌握角的构成要素和平角、周角的特征就能快速得出正确结论。
【难度系数】
0.8
8（易错题）已知$∠ AOB=3∠ BOC$，$∠ BOC=30°$，则$∠ AOC$的度数为 （
A.$120°$
B.$120°$或$60°$
C.$30°$
D.$30°$或$90°$
B
）A.$120°$
B.$120°$或$60°$
C.$30°$
D.$30°$或$90°$
答案
8.B
易错分析
8. 审题不细,容易漏解,需要分“射线OC在$∠ AOB$的内部”和“射线OC在$∠ AOB$的外部”两种情况讨论.
易错分析
8. 审题不细,容易漏解,需要分“射线OC在$∠ AOB$的内部”和“射线OC在$∠ AOB$的外部”两种情况讨论.
解析
【分析】
解题时首先根据已知的∠BOC的度数和∠AOB与∠BOC的数量关系，先求出∠AOB的度数。由于题目没有明确给出射线OC与∠AOB的位置关系，因此需要分两种情况讨论：一是射线OC在∠AOB的内部，二是射线OC在∠AOB的外部，分别结合角的和差关系计算∠AOC的度数，避免漏解。
【解析】
解：已知∠BOC=30°，∠AOB=3∠BOC，
∴∠AOB=3×30°=90°。
分两种情况讨论：
①当射线OC在∠AOB的内部时：
∠AOC=∠AOB - ∠BOC=90° - 30°=60°；
②当射线OC在∠AOB的外部时：
∠AOC=∠AOB + ∠BOC=90° + 30°=120°。
综上，∠AOC的度数为120°或60°，故选B。
【答案】
B
【知识点】
角的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题的关键点是注意角度计算中位置不明确时需分类讨论，很多学生容易默认OC的位置只计算其中一种情况，导致漏解丢分。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据已知的∠BOC的度数和∠AOB与∠BOC的数量关系，先求出∠AOB的度数。由于题目没有明确给出射线OC与∠AOB的位置关系，因此需要分两种情况讨论：一是射线OC在∠AOB的内部，二是射线OC在∠AOB的外部，分别结合角的和差关系计算∠AOC的度数，避免漏解。
【解析】
解：已知∠BOC=30°，∠AOB=3∠BOC，
∴∠AOB=3×30°=90°。
分两种情况讨论：
①当射线OC在∠AOB的内部时：
∠AOC=∠AOB - ∠BOC=90° - 30°=60°；
②当射线OC在∠AOB的外部时：
∠AOC=∠AOB + ∠BOC=90° + 30°=120°。
综上，∠AOC的度数为120°或60°，故选B。
【答案】
B
【知识点】
角的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题的关键点是注意角度计算中位置不明确时需分类讨论，很多学生容易默认OC的位置只计算其中一种情况，导致漏解丢分。
【难度系数】
0.6
9 教材 P164 练习 T1 变式 请你仔细观察钟表并进行探究(填小于平角的角的度数).
(1) 8时30分时,钟表上时针与分针的夹角的度数为
(2) [2024 沭阳段考]钟面上的时间走到 4 时 45 分,此时时针与分针的夹角的度数为
(1) 8时30分时,钟表上时针与分针的夹角的度数为
75°
;(2) [2024 沭阳段考]钟面上的时间走到 4 时 45 分,此时时针与分针的夹角的度数为
127.5°
.答案
9. (1) $75°$ (2) $127.5°$
解析
【分析】
要计算钟表上时针与分针的夹角，首先要明确钟面的基本规律：钟面一周为360°，共分为12个大格，每个大格对应30°（$360°÷12=30°$）；分针每分钟转动6°（$360°÷60=6°$），时针每分钟转动0.5°（$30°÷60=0.5°$）。解题时先分别算出某一时刻时针、分针对应的角度，再求两者的差值，最终取小于180°的结果即可。
（1）计算8时30分的夹角：先确定分针指向6，时针在8和9之间，计算出时针偏移8的角度，再结合两针间隔的大格数计算夹角；
（2）计算4时45分的夹角：先确定分针指向9，时针在4和5之间，计算出时针偏移4的角度，再算两针的角度差即可。
【解析】
首先明确钟面基本规律：
钟面一周是360°，共12个大格，每个大格角度：$360°÷12=30°$；
分针每分钟转动角度：$360°÷60=6°$；
时针每分钟转动角度：$30°÷60=0.5°$。
(1) 计算8时30分的夹角：
分针30分钟转动的角度：$30×6°=180°$，对应指向数字6的位置；
时针8小时转动的角度：$8×30°=240°$，30分钟额外转动的角度：$30×0.5°=15°$，所以时针总角度为$240°+15°=255°$；
两针夹角：$255°-180°=75°$，75°小于180°，符合要求。
(2) 计算4时45分的夹角：
分针45分钟转动的角度：$45×6°=270°$，对应指向数字9的位置；
时针4小时转动的角度：$4×30°=120°$，45分钟额外转动的角度：$45×0.5°=22.5°$，所以时针总角度为$120°+22.5°=142.5°$；
两针夹角：$270°-142.5°=127.5°$，127.5°小于180°，符合要求。
【答案】
(1) $75°$ (2) $127.5°$
【知识点】
钟面角计算、角的度量
【点评】
本题考查钟表时针与分针夹角的计算，解题的核心是牢记时针、分针的转动速度，注意计算时针位置时不要忽略其随分钟推移产生的偏移量，最终结果需保证是小于平角的度数。
【难度系数】
0.7
要计算钟表上时针与分针的夹角，首先要明确钟面的基本规律：钟面一周为360°，共分为12个大格，每个大格对应30°（$360°÷12=30°$）；分针每分钟转动6°（$360°÷60=6°$），时针每分钟转动0.5°（$30°÷60=0.5°$）。解题时先分别算出某一时刻时针、分针对应的角度，再求两者的差值，最终取小于180°的结果即可。
（1）计算8时30分的夹角：先确定分针指向6，时针在8和9之间，计算出时针偏移8的角度，再结合两针间隔的大格数计算夹角；
（2）计算4时45分的夹角：先确定分针指向9，时针在4和5之间，计算出时针偏移4的角度，再算两针的角度差即可。
【解析】
首先明确钟面基本规律：
钟面一周是360°，共12个大格，每个大格角度：$360°÷12=30°$；
分针每分钟转动角度：$360°÷60=6°$；
时针每分钟转动角度：$30°÷60=0.5°$。
(1) 计算8时30分的夹角：
分针30分钟转动的角度：$30×6°=180°$，对应指向数字6的位置；
时针8小时转动的角度：$8×30°=240°$，30分钟额外转动的角度：$30×0.5°=15°$，所以时针总角度为$240°+15°=255°$；
两针夹角：$255°-180°=75°$，75°小于180°，符合要求。
(2) 计算4时45分的夹角：
分针45分钟转动的角度：$45×6°=270°$，对应指向数字9的位置；
时针4小时转动的角度：$4×30°=120°$，45分钟额外转动的角度：$45×0.5°=22.5°$，所以时针总角度为$120°+22.5°=142.5°$；
两针夹角：$270°-142.5°=127.5°$，127.5°小于180°，符合要求。
【答案】
(1) $75°$ (2) $127.5°$
【知识点】
钟面角计算、角的度量
【点评】
本题考查钟表时针与分针夹角的计算，解题的核心是牢记时针、分针的转动速度，注意计算时针位置时不要忽略其随分钟推移产生的偏移量，最终结果需保证是小于平角的度数。
【难度系数】
0.7
10（1）如图，OA是表示北偏东$36°$方向的一条射线，射线OB表示
（2）请在图中画出表示南偏西$40°$方向的射线OC、东南方向的射线OD。
（第10题）
北
偏西
$45°$方向（也称为西北方向）的一条射线；（2）请在图中画出表示南偏西$40°$方向的射线OC、东南方向的射线OD。
（第10题）答案
10. (1) 北 西 (2) 如图所示
解析
【分析】
（1）解决方位角识别问题，首先明确方位角的命名规则：先表述南北方向，再表述东西方向。观察射线OB的位置，它位于正北方向的西侧，与正北方向夹角为45°，即可得出对应的方位描述。
（2）画方位角射线时，首先确定基准方向：画南偏西40°的射线OC，以正南方向为始边，向西（左侧）旋转40°画出射线即可；东南方向是指南偏东45°，画射线OD时以正南方向为始边，向东（右侧）旋转45°画出射线即可。
【解析】
（1）根据方位角“先南北、后东西”的命名规则，射线OB在正北方向西侧，和正北方向夹角为45°，因此表示北偏西45°方向。
（2）①画射线OC：以点O为顶点，正南方向的射线为始边，向西作40°的角，终边即为射线OC；
②画射线OD：东南方向即南偏东45°，以点O为顶点，正南方向的射线为始边，向东作45°的角，终边即为射线OD。
【答案】
(1) 北 西
(2) 如图所示
【知识点】
方位角的识别，方位角作图
【点评】
本题考查方位角的基础应用，只要掌握方位角的命名规则，作图时找准基准方向、确认偏转角度即可正确解答，是方位角相关的基础题型。
【难度系数】
0.9
（1）解决方位角识别问题，首先明确方位角的命名规则：先表述南北方向，再表述东西方向。观察射线OB的位置，它位于正北方向的西侧，与正北方向夹角为45°，即可得出对应的方位描述。
（2）画方位角射线时，首先确定基准方向：画南偏西40°的射线OC，以正南方向为始边，向西（左侧）旋转40°画出射线即可；东南方向是指南偏东45°，画射线OD时以正南方向为始边，向东（右侧）旋转45°画出射线即可。
【解析】
（1）根据方位角“先南北、后东西”的命名规则，射线OB在正北方向西侧，和正北方向夹角为45°，因此表示北偏西45°方向。
（2）①画射线OC：以点O为顶点，正南方向的射线为始边，向西作40°的角，终边即为射线OC；
②画射线OD：东南方向即南偏东45°，以点O为顶点，正南方向的射线为始边，向东作45°的角，终边即为射线OD。
【答案】
(1) 北 西
(2) 如图所示
【知识点】
方位角的识别，方位角作图
【点评】
本题考查方位角的基础应用，只要掌握方位角的命名规则，作图时找准基准方向、确认偏转角度即可正确解答，是方位角相关的基础题型。
【难度系数】
0.9
11 分类讨论思想 已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB=80°,∠BOC=30°.求∠AOC的度数.
答案
11. 如图①,当射线OC在$∠ AOB$的内部时,$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=80°-30°=50°$.如图②,当射线OC在$∠ AOB$的外部时,$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=80°+30°=110°$.所以$∠ AOC$的度数为$50°$或$110°$
解析
【分析】
题目未明确射线OC与∠AOB的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①射线OC在∠AOB内部；②射线OC在∠AOB外部，再结合角的和差关系分别计算∠AOC的度数即可。
【解析】
解：分两种情况计算：
1. 当射线OC在∠AOB的内部时（对应图①）：
根据角的差的关系，$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC$，
将$∠ AOB=80°$，$∠ BOC=30°$代入得：
$∠ AOC=80°-30°=50°$。
2. 当射线OC在∠AOB的外部时（对应图②）：
根据角的和的关系，$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC$，
将角度代入得：
$∠ AOC=80°+30°=110°$。
综上，$∠ AOC$的度数为$50°$或$110°$。
【答案】
$∠ AOC$的度数为$50°$或$110°$
【知识点】
角的和差运算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略射线OC的两种位置情况，造成漏解，解题时只要结合图形分情况讨论，再利用角的和差关系代入数值计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.6
题目未明确射线OC与∠AOB的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①射线OC在∠AOB内部；②射线OC在∠AOB外部，再结合角的和差关系分别计算∠AOC的度数即可。
【解析】
解：分两种情况计算：
1. 当射线OC在∠AOB的内部时（对应图①）：
根据角的差的关系，$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC$，
将$∠ AOB=80°$，$∠ BOC=30°$代入得：
$∠ AOC=80°-30°=50°$。
2. 当射线OC在∠AOB的外部时（对应图②）：
根据角的和的关系，$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC$，
将角度代入得：
$∠ AOC=80°+30°=110°$。
综上，$∠ AOC$的度数为$50°$或$110°$。
【答案】
$∠ AOC$的度数为$50°$或$110°$
【知识点】
角的和差运算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略射线OC的两种位置情况，造成漏解，解题时只要结合图形分情况讨论，再利用角的和差关系代入数值计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.6
12（1）如图①，将一副直角三角尺的直角顶点重合在点O处.
① ∠AOD与∠BOC之间的数量关系是
② ∠AOC与∠BOD之间的数量关系是
（2）若将这副直角三角尺按如图②所示的方式摆放，使三角尺的直角顶点重合在点O处.∠AOD与∠BOC之间有什么数量关系？∠AOC与∠BOD之间又有什么数量关系？请分别说明理由.
① ∠AOD与∠BOC之间的数量关系是
∠AOD=∠BOC
；② ∠AOC与∠BOD之间的数量关系是
∠AOC+∠BOD=180°
.（2）若将这副直角三角尺按如图②所示的方式摆放，使三角尺的直角顶点重合在点O处.∠AOD与∠BOC之间有什么数量关系？∠AOC与∠BOD之间又有什么数量关系？请分别说明理由.
答案
12. (1) ① $∠ AOD=∠ BOC$ ② $∠ AOC+∠ BOD=180°$
(2) $∠ AOD=∠ BOC$ 理由:因为$∠ AOB=∠ DOC=90°$,所以$∠ AOB-∠ BOD=∠ DOC-∠ BOD$,即$∠ AOD=∠ BOC$.
$∠ AOC+∠ BOD=180°$ 理由:因为$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC$,$∠ BOD=∠ DOC-∠ BOC$,所以$∠ AOC+∠ BOD=∠ AOB+∠ BOC+(∠ DOC-∠ BOC)=∠ AOB+∠ BOC+∠ DOC-∠ BOC=∠ AOB+∠ DOC=90°+90°=180°$.
(2) $∠ AOD=∠ BOC$ 理由:因为$∠ AOB=∠ DOC=90°$,所以$∠ AOB-∠ BOD=∠ DOC-∠ BOD$,即$∠ AOD=∠ BOC$.
$∠ AOC+∠ BOD=180°$ 理由:因为$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC$,$∠ BOD=∠ DOC-∠ BOC$,所以$∠ AOC+∠ BOD=∠ AOB+∠ BOC+(∠ DOC-∠ BOC)=∠ AOB+∠ BOC+∠ DOC-∠ BOC=∠ AOB+∠ DOC=90°+90°=180°$.
解析
【分析】
解决这道题的核心是先明确两个直角三角尺的直角均为90°，即∠AOB=∠COD=90°，再结合角的和差关系推导所求角的数量关系：
1. 解决（1）的问题时，①观察∠AOD和∠BOC的组成，两个角都包含公共部分∠BOD，剩余部分都是90°的直角，即可判断两者关系；②观察四个角∠AOB、∠BOD、∠DOC、∠AOC的和为周角360°，减去两个90°的直角，即可得到∠AOC和∠BOD的数量关系。
2. 解决（2）的问题时，①先找到两个直角的公共部分∠BOD，两个90°的角同时减去公共角，剩余的角大小相等；②将∠AOC拆分为直角∠AOB加∠BOC，∠BOD拆分为直角∠DOC减∠BOC，两者相加后抵消公共的∠BOC，即可得到两角之和为两个直角的和。
【解析】
(1) ① 由题意得∠AOB=∠COD=90°，
∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 90°+∠BOD，
∠BOC = ∠COD + ∠BOD = 90°+∠BOD，
因此∠AOD=∠BOC。
② 因为∠AOB+∠BOD+∠COD+∠AOC=360°，代入∠AOB=∠COD=90°，
得90°+∠BOD+90°+∠AOC=360°，
整理得∠AOC+∠BOD=180°。
(2) ∠AOD=∠BOC，理由如下：
因为∠AOB=∠DOC=90°，
所以∠AOB - ∠BOD = ∠DOC - ∠BOD，
即∠AOD=∠BOC。
∠AOC+∠BOD=180°，理由如下：
因为∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠BOD=∠DOC - ∠BOC，
所以∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠BOC + (∠DOC - ∠BOC) = ∠AOB+∠DOC = 90°+90°=180°。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{∠AOD=∠BOC}$；② $\boldsymbol{∠AOC+∠BOD=180°}$
(2) $\boldsymbol{∠AOD=∠BOC}$，$\boldsymbol{∠AOC+∠BOD=180°}$，理由见解析。
【知识点】
角的和差计算、直角的定义、等量代换
【点评】
本题是三角尺相关的角的关系探究题，解题关键是抓住三角尺直角为90°的固定条件，结合角的和差关系、等量代换推导结论，两类摆放方式下两组角的关系不变，体现了几何中“变中不变”的规律，有助于提升角的运算和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是先明确两个直角三角尺的直角均为90°，即∠AOB=∠COD=90°，再结合角的和差关系推导所求角的数量关系：
1. 解决（1）的问题时，①观察∠AOD和∠BOC的组成，两个角都包含公共部分∠BOD，剩余部分都是90°的直角，即可判断两者关系；②观察四个角∠AOB、∠BOD、∠DOC、∠AOC的和为周角360°，减去两个90°的直角，即可得到∠AOC和∠BOD的数量关系。
2. 解决（2）的问题时，①先找到两个直角的公共部分∠BOD，两个90°的角同时减去公共角，剩余的角大小相等；②将∠AOC拆分为直角∠AOB加∠BOC，∠BOD拆分为直角∠DOC减∠BOC，两者相加后抵消公共的∠BOC，即可得到两角之和为两个直角的和。
【解析】
(1) ① 由题意得∠AOB=∠COD=90°，
∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 90°+∠BOD，
∠BOC = ∠COD + ∠BOD = 90°+∠BOD，
因此∠AOD=∠BOC。
② 因为∠AOB+∠BOD+∠COD+∠AOC=360°，代入∠AOB=∠COD=90°，
得90°+∠BOD+90°+∠AOC=360°，
整理得∠AOC+∠BOD=180°。
(2) ∠AOD=∠BOC，理由如下：
因为∠AOB=∠DOC=90°，
所以∠AOB - ∠BOD = ∠DOC - ∠BOD，
即∠AOD=∠BOC。
∠AOC+∠BOD=180°，理由如下：
因为∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠BOD=∠DOC - ∠BOC，
所以∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠BOC + (∠DOC - ∠BOC) = ∠AOB+∠DOC = 90°+90°=180°。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{∠AOD=∠BOC}$；② $\boldsymbol{∠AOC+∠BOD=180°}$
(2) $\boldsymbol{∠AOD=∠BOC}$，$\boldsymbol{∠AOC+∠BOD=180°}$，理由见解析。
【知识点】
角的和差计算、直角的定义、等量代换
【点评】
本题是三角尺相关的角的关系探究题，解题关键是抓住三角尺直角为90°的固定条件，结合角的和差关系、等量代换推导结论，两类摆放方式下两组角的关系不变，体现了几何中“变中不变”的规律，有助于提升角的运算和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
