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10 如图，点O在直线AB上，$∠ AOC = 53° 17' 28''$，则$∠ BOC =$
126
°42
′32
″.答案
10. 126 42 32
解析
【分析】
首先观察图形，点O在直线AB上，说明∠AOB是平角，度数为180°，∠AOC与∠BOC共同组成平角，因此二者之和为180°，要求∠BOC只需用180°减去已知的∠AOC的度数即可。计算时要注意度分秒为60进制，减法不够减时需要向前一位借1当60。
【解析】
解：
∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，即∠AOC + ∠BOC=180°，
∴∠BOC=180° - ∠AOC。
将180°转化为179°59′60″（符合度分秒60进制借位规则：1°=60′，1′=60″），代入∠AOC=53°17′28″计算：
179°59′60″ - 53°17′28″ = (179-53)° + (59-17)′ + (60-28)″ = 126°42′32″。
【答案】
126；42；32
【知识点】
平角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题是基础运算题，解题核心是掌握平角的度数特征，熟悉度分秒的60进制换算规则，计算时注意借位规则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，点O在直线AB上，说明∠AOB是平角，度数为180°，∠AOC与∠BOC共同组成平角，因此二者之和为180°，要求∠BOC只需用180°减去已知的∠AOC的度数即可。计算时要注意度分秒为60进制，减法不够减时需要向前一位借1当60。
【解析】
解：
∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，即∠AOC + ∠BOC=180°，
∴∠BOC=180° - ∠AOC。
将180°转化为179°59′60″（符合度分秒60进制借位规则：1°=60′，1′=60″），代入∠AOC=53°17′28″计算：
179°59′60″ - 53°17′28″ = (179-53)° + (59-17)′ + (60-28)″ = 126°42′32″。
【答案】
126；42；32
【知识点】
平角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题是基础运算题，解题核心是掌握平角的度数特征，熟悉度分秒的60进制换算规则，计算时注意借位规则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
11 方程思想 已知∠1与∠2互余，∠1=(6x+8)°，∠2=(4x−8)°，则∠1的度数为
62°
，∠2的度数为28°
。答案
11. $62°$ $28°$
解析
【分析】
本题考查余角定义与方程思想的结合应用。解题思路如下：首先回忆互余的概念：若两个角互余，则它们的度数之和为90°；接下来将∠1、∠2含x的表达式代入两角和为90°的等量关系中，得到关于x的一元一次方程；解方程求出x的值后，再分别代入∠1、∠2的表达式，即可算出两个角的度数。
【解析】
解：
∵∠1与∠2互余，根据互余的定义可得：
∠1 + ∠2 = 90°
将∠1=(6x+8)°，∠2=(4x−8)°代入上式：
(6x + 8) + (4x - 8) = 90
合并同类项得：10x = 90
解得：x = 9
将x=9代入∠1的表达式：∠1 = 6×9 + 8 = 62°
将x=9代入∠2的表达式：∠2 = 4×9 - 8 = 28°
【答案】
62°；28°
【知识点】
余角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是方程思想在几何计算中的基础应用，解题的核心是准确掌握互余两角的数量关系，通过建立方程求解未知量，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查余角定义与方程思想的结合应用。解题思路如下：首先回忆互余的概念：若两个角互余，则它们的度数之和为90°；接下来将∠1、∠2含x的表达式代入两角和为90°的等量关系中，得到关于x的一元一次方程；解方程求出x的值后，再分别代入∠1、∠2的表达式，即可算出两个角的度数。
【解析】
解：
∵∠1与∠2互余，根据互余的定义可得：
∠1 + ∠2 = 90°
将∠1=(6x+8)°，∠2=(4x−8)°代入上式：
(6x + 8) + (4x - 8) = 90
合并同类项得：10x = 90
解得：x = 9
将x=9代入∠1的表达式：∠1 = 6×9 + 8 = 62°
将x=9代入∠2的表达式：∠2 = 4×9 - 8 = 28°
【答案】
62°；28°
【知识点】
余角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是方程思想在几何计算中的基础应用，解题的核心是准确掌握互余两角的数量关系，通过建立方程求解未知量，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
12 如图，$∠ ACB=∠ CDB=90°$，则$∠ ACD$的余角共有
2
个，它们是∠BCD,∠A
。答案
12. 2 $∠BCD,∠A$
解析
【分析】
解题时首先回忆余角的定义：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角。接下来我们要找所有和∠ACD相加等于90°的角：第一步先看已知的直角∠ACB，它是由∠ACD和∠BCD组成的，所以这两个角的和就是90°，能找到第一个余角；第二步看∠CDB=90°，所以它的邻补角∠ADC也是90°，在包含∠ACD的直角△ADC中，两个锐角的和是90°，就能找到第二个余角，最后统计数量即可。
【解析】
根据余角的定义：和为90°的两个角互为余角。
1. 已知∠ACB=90°，由角的和差关系可得：
$∠ ACD + ∠ BCD = ∠ ACB = 90°$，因此$∠ BCD$是$∠ ACD$的余角。
2. 已知$∠ CDB=90°$，因为点A、D、B在同一直线上，平角为$180°$，所以$∠ ADC=180° - ∠ CDB=90°$。
在$△ ADC$中，内角和为$180°$，因此$∠ A + ∠ ACD + ∠ ADC=180°$，代入$∠ ADC=90°$得：
$∠ A + ∠ ACD=90°$，因此$∠ A$也是$∠ ACD$的余角。
综上，$∠ ACD$的余角共有2个，为$∠ BCD$和$∠ A$。
【答案】
2；$∠ BCD、∠ A$
【知识点】
余角的定义；角的和差计算；直角的性质
【点评】
本题是基础的余角识别题，解题核心是紧扣余角的定义，结合图形中直角的特征，从角的拆分和直角三角形锐角关系两个维度寻找符合条件的角，注意不要遗漏任意一种情况。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆余角的定义：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角。接下来我们要找所有和∠ACD相加等于90°的角：第一步先看已知的直角∠ACB，它是由∠ACD和∠BCD组成的，所以这两个角的和就是90°，能找到第一个余角；第二步看∠CDB=90°，所以它的邻补角∠ADC也是90°，在包含∠ACD的直角△ADC中，两个锐角的和是90°，就能找到第二个余角，最后统计数量即可。
【解析】
根据余角的定义：和为90°的两个角互为余角。
1. 已知∠ACB=90°，由角的和差关系可得：
$∠ ACD + ∠ BCD = ∠ ACB = 90°$，因此$∠ BCD$是$∠ ACD$的余角。
2. 已知$∠ CDB=90°$，因为点A、D、B在同一直线上，平角为$180°$，所以$∠ ADC=180° - ∠ CDB=90°$。
在$△ ADC$中，内角和为$180°$，因此$∠ A + ∠ ACD + ∠ ADC=180°$，代入$∠ ADC=90°$得：
$∠ A + ∠ ACD=90°$，因此$∠ A$也是$∠ ACD$的余角。
综上，$∠ ACD$的余角共有2个，为$∠ BCD$和$∠ A$。
【答案】
2；$∠ BCD、∠ A$
【知识点】
余角的定义；角的和差计算；直角的性质
【点评】
本题是基础的余角识别题，解题核心是紧扣余角的定义，结合图形中直角的特征，从角的拆分和直角三角形锐角关系两个维度寻找符合条件的角，注意不要遗漏任意一种情况。
【难度系数】
0.8
13 新考向 探究题 如图，将一张长方形纸片先沿CP折叠，使点A落在点E处，再将纸片的另一角沿PD折叠，使点B落在点F处，且PE与PF在同一条直线上.
（1）∠APC与∠FPD互余吗？为什么？
（2）∠CPF与∠CPB互补吗？为什么？
（1）∠APC与∠FPD互余吗？为什么？
（2）∠CPF与∠CPB互补吗？为什么？
答案
13. （1）$∠APC$与$∠FPD$互余 由折叠可知,$∠APC=∠CPE=\frac{1}{2}∠APE,∠BPD=∠FPD=\frac{1}{2}∠BPF$,所以$∠APC+∠FPD=\frac{1}{2}∠APE + \frac{1}{2}∠BPF =\frac{1}{2}(∠APE +∠BPF)=\frac{1}{2}∠APB$. 又因为$∠APB=180°$,所以$∠APC +∠FPD=\frac{1}{2} × 180° = 90°$,即$∠APC$ 与$∠FPD$ 互余
（2）$∠CPF$与$∠CPB$互补 由折叠可知,$∠CPF=∠CPA$,所以$∠CPF+∠CPB=∠CPA +∠CPB=∠APB=180°$,即$∠CPF$与$∠CPB$互补
（2）$∠CPF$与$∠CPB$互补 由折叠可知,$∠CPF=∠CPA$,所以$∠CPF+∠CPB=∠CPA +∠CPB=∠APB=180°$,即$∠CPF$与$∠CPB$互补
解析
【分析】
解决本题首先要明确余角、补角的定义：若两个角的和为90°，则两角互余；若两个角的和为180°，则两角互补，再结合折叠的性质和平角的定义推导即可。
（1）要判断∠APC与∠FPD是否互余，只需推导两角之和是否为90°。根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，可得∠APC=∠CPE，∠FPD=∠BPD；又因为点P在AB上，∠APB是平角为180°，即四个角∠APC、∠CPE、∠FPD、∠BPD的和为180°，代入等量关系即可求出∠APC+∠FPD的度数，判断是否互余。
（2）要判断∠CPF与∠CPB是否互补，只需推导两角之和是否为180°。根据折叠的性质可得∠CPF=∠CPA，而∠CPA与∠CPB是邻补角，和为180°，等量代换即可得到结论。
【解析】
（1）∠APC与∠FPD互余，理由如下：
由折叠的性质可知：$∠ APC=∠ CPE=\frac{1}{2}∠ APE$，$∠ BPD=∠ FPD=\frac{1}{2}∠ BPF$，
因此$∠ APC+∠ FPD=\frac{1}{2}∠ APE+\frac{1}{2}∠ BPF=\frac{1}{2}(∠ APE+∠ BPF)$。
因为点A、P、B在同一直线上，$∠ APB=180°$，即$∠ APE+∠ BPF=∠ APB=180°$，
所以$∠ APC+∠ FPD=\frac{1}{2}×180°=90°$，故$∠ APC$与$∠ FPD$互余。
（2）$∠ CPF$与$∠ CPB$互补，理由如下：
由折叠的性质可知：$∠ CPF=∠ CPA$，
因为$∠ CPA+∠ CPB=∠ APB=180°$，
所以$∠ CPF+∠ CPB=∠ CPA+∠ CPB=180°$，故$∠ CPF$与$∠ CPB$互补。
【答案】
（1）$∠ APC$与$∠ FPD$互余；（2）$∠ CPF$与$∠ CPB$互补，理由详见上述解析。
【知识点】
折叠的性质；余角的定义；补角的定义
【点评】
本题结合折叠操作考查余角、补角的判定，解题的关键是利用折叠的性质得到相等的角，再结合平角的性质进行角度运算，属于基础探究类题目，侧重对基础概念和性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确余角、补角的定义：若两个角的和为90°，则两角互余；若两个角的和为180°，则两角互补，再结合折叠的性质和平角的定义推导即可。
（1）要判断∠APC与∠FPD是否互余，只需推导两角之和是否为90°。根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，可得∠APC=∠CPE，∠FPD=∠BPD；又因为点P在AB上，∠APB是平角为180°，即四个角∠APC、∠CPE、∠FPD、∠BPD的和为180°，代入等量关系即可求出∠APC+∠FPD的度数，判断是否互余。
（2）要判断∠CPF与∠CPB是否互补，只需推导两角之和是否为180°。根据折叠的性质可得∠CPF=∠CPA，而∠CPA与∠CPB是邻补角，和为180°，等量代换即可得到结论。
【解析】
（1）∠APC与∠FPD互余，理由如下：
由折叠的性质可知：$∠ APC=∠ CPE=\frac{1}{2}∠ APE$，$∠ BPD=∠ FPD=\frac{1}{2}∠ BPF$，
因此$∠ APC+∠ FPD=\frac{1}{2}∠ APE+\frac{1}{2}∠ BPF=\frac{1}{2}(∠ APE+∠ BPF)$。
因为点A、P、B在同一直线上，$∠ APB=180°$，即$∠ APE+∠ BPF=∠ APB=180°$，
所以$∠ APC+∠ FPD=\frac{1}{2}×180°=90°$，故$∠ APC$与$∠ FPD$互余。
（2）$∠ CPF$与$∠ CPB$互补，理由如下：
由折叠的性质可知：$∠ CPF=∠ CPA$，
因为$∠ CPA+∠ CPB=∠ APB=180°$，
所以$∠ CPF+∠ CPB=∠ CPA+∠ CPB=180°$，故$∠ CPF$与$∠ CPB$互补。
【答案】
（1）$∠ APC$与$∠ FPD$互余；（2）$∠ CPF$与$∠ CPB$互补，理由详见上述解析。
【知识点】
折叠的性质；余角的定义；补角的定义
【点评】
本题结合折叠操作考查余角、补角的判定，解题的关键是利用折叠的性质得到相等的角，再结合平角的性质进行角度运算，属于基础探究类题目，侧重对基础概念和性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
14 新考向 探究题 [2025 扬州期末]数学活动：
（1）如图①，将两块透明直角三角尺的直角顶点 C 重合在一起，$∠ ACB=∠ DCH=90°$.
① 若$∠ ACH=25°$，则$∠ BCD=$
② 猜想$∠ ACH$与$∠ BCD$之间的数量关系，并说明理由.
（2）如图②，将两块相同的透明直角三角尺的$60°$角的顶点 A 重合在一起，$∠ CAB=∠ EAF=60°$，直接写出$∠ CAF$与$∠ EAB$之间的数量关系：
（3）如图③，将两张相同的透明直角三角形卡纸的相等的锐角顶点 A 重合在一起，$∠ CAB=∠ EAF=n°$，直接写出$∠ CAF$与$∠ EAB$之间的数量关系：
（1）如图①，将两块透明直角三角尺的直角顶点 C 重合在一起，$∠ ACB=∠ DCH=90°$.
① 若$∠ ACH=25°$，则$∠ BCD=$
155°
；② 猜想$∠ ACH$与$∠ BCD$之间的数量关系，并说明理由.
（2）如图②，将两块相同的透明直角三角尺的$60°$角的顶点 A 重合在一起，$∠ CAB=∠ EAF=60°$，直接写出$∠ CAF$与$∠ EAB$之间的数量关系：
∠CAF + ∠EAB = 120°
.（3）如图③，将两张相同的透明直角三角形卡纸的相等的锐角顶点 A 重合在一起，$∠ CAB=∠ EAF=n°$，直接写出$∠ CAF$与$∠ EAB$之间的数量关系：
∠CAF + ∠EAB = 2n°
.答案
14. （1）① $155°$ ② $∠ACH + ∠BCD = 180°$ 理由:因为$∠ACB = ∠DCH = 90°$,所以$∠ACH + ∠BCD = ∠ACH +∠BCH + ∠DCH = ∠ACB + ∠DCH =90°+90°=180°$.
（2）$∠CAF + ∠EAB = 120°$
（3）$∠CAF + ∠EAB = 2n°$ 【解析】因为$∠CAF = ∠CAE +∠EAF$,所以$∠CAF + ∠EAB = ∠CAE + ∠EAF + ∠EAB =∠EAF + ∠CAB =n°+n°=2n°$.所以$∠CAF$ 与$∠EAB$ 之间的数量关系为$∠CAF + ∠EAB = 2n°$.
（2）$∠CAF + ∠EAB = 120°$
（3）$∠CAF + ∠EAB = 2n°$ 【解析】因为$∠CAF = ∠CAE +∠EAF$,所以$∠CAF + ∠EAB = ∠CAE + ∠EAF + ∠EAB =∠EAF + ∠CAB =n°+n°=2n°$.所以$∠CAF$ 与$∠EAB$ 之间的数量关系为$∠CAF + ∠EAB = 2n°$.
解析
【分析】
（1）① 解题思路：已知∠ACB和∠DCH均为90°，观察角的组成可知，∠BCD由∠DCH和∠BCH组成，而∠BCH=∠ACB-∠ACH，代入已知度数即可计算结果。
② 思路：从①的计算结果可猜想∠ACH与∠BCD的和为180°，证明时将∠BCD拆分为∠BCH+∠DCH，把∠ACH+∠BCH替换为∠ACB，结合两个直角的度数即可推导得出数量关系。
（2）思路：类比（1）的推导方法，将∠CAF拆分为∠CAE+∠EAF，那么∠CAF+∠EAB可转化为∠CAE+∠EAF+∠EAB，其中∠CAE+∠EAB=∠CAB，结合∠CAB和∠EAF均为60°即可得出数量关系。
（3）思路：将（2）中的60°替换为n°，用相同的角的和差拆分方法，即可推导出一般规律。
【解析】
（1）① 因为$∠ ACB=∠ DCH=90°$，$∠ ACH=25°$，所以$∠ BCH=∠ ACB-∠ ACH=90°-25°=65°$，则$∠ BCD=∠ DCH+∠ BCH=90°+65°=155°$。
② 猜想$∠ ACH + ∠ BCD = 180°$，理由如下：
因为$∠ ACB = ∠ DCH = 90°$，
所以$∠ ACH + ∠ BCD = ∠ ACH +∠ BCH + ∠ DCH = ∠ ACB + ∠ DCH =90°+90°=180°$。
（2）因为$∠ CAB=∠ EAF=60°$，
所以$∠ CAF + ∠ EAB = (∠ CAE + ∠ EAF) + ∠ EAB = ∠ CAE + ∠ EAB + ∠ EAF = ∠ CAB + ∠ EAF = 60°+60°=120°$。
（3）因为$∠ CAB=∠ EAF=n°$，
所以$∠ CAF + ∠ EAB = (∠ CAE + ∠ EAF) + ∠ EAB = ∠ CAE + ∠ EAB + ∠ EAF = ∠ CAB + ∠ EAF =n°+n°=2n°$。
【答案】
（1）①$155°$；②$∠ ACH + ∠ BCD = 180°$，理由见解析；
（2）$∠ CAF + ∠ EAB = 120°$；
（3）$∠ CAF + ∠ EAB = 2n°$
【知识点】
角的和差运算；特殊角的性质；规律探究
【点评】
本题是典型的从特殊到一般的探究类题目，通过将不同度数的等角重叠设置问题，既考查了基础的角运算能力，也锻炼了归纳推理、举一反三的思维能力。
【难度系数】
0.7
（1）① 解题思路：已知∠ACB和∠DCH均为90°，观察角的组成可知，∠BCD由∠DCH和∠BCH组成，而∠BCH=∠ACB-∠ACH，代入已知度数即可计算结果。
② 思路：从①的计算结果可猜想∠ACH与∠BCD的和为180°，证明时将∠BCD拆分为∠BCH+∠DCH，把∠ACH+∠BCH替换为∠ACB，结合两个直角的度数即可推导得出数量关系。
（2）思路：类比（1）的推导方法，将∠CAF拆分为∠CAE+∠EAF，那么∠CAF+∠EAB可转化为∠CAE+∠EAF+∠EAB，其中∠CAE+∠EAB=∠CAB，结合∠CAB和∠EAF均为60°即可得出数量关系。
（3）思路：将（2）中的60°替换为n°，用相同的角的和差拆分方法，即可推导出一般规律。
【解析】
（1）① 因为$∠ ACB=∠ DCH=90°$，$∠ ACH=25°$，所以$∠ BCH=∠ ACB-∠ ACH=90°-25°=65°$，则$∠ BCD=∠ DCH+∠ BCH=90°+65°=155°$。
② 猜想$∠ ACH + ∠ BCD = 180°$，理由如下：
因为$∠ ACB = ∠ DCH = 90°$，
所以$∠ ACH + ∠ BCD = ∠ ACH +∠ BCH + ∠ DCH = ∠ ACB + ∠ DCH =90°+90°=180°$。
（2）因为$∠ CAB=∠ EAF=60°$，
所以$∠ CAF + ∠ EAB = (∠ CAE + ∠ EAF) + ∠ EAB = ∠ CAE + ∠ EAB + ∠ EAF = ∠ CAB + ∠ EAF = 60°+60°=120°$。
（3）因为$∠ CAB=∠ EAF=n°$，
所以$∠ CAF + ∠ EAB = (∠ CAE + ∠ EAF) + ∠ EAB = ∠ CAE + ∠ EAB + ∠ EAF = ∠ CAB + ∠ EAF =n°+n°=2n°$。
【答案】
（1）①$155°$；②$∠ ACH + ∠ BCD = 180°$，理由见解析；
（2）$∠ CAF + ∠ EAB = 120°$；
（3）$∠ CAF + ∠ EAB = 2n°$
【知识点】
角的和差运算；特殊角的性质；规律探究
【点评】
本题是典型的从特殊到一般的探究类题目，通过将不同度数的等角重叠设置问题，既考查了基础的角运算能力，也锻炼了归纳推理、举一反三的思维能力。
【难度系数】
0.7
