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① 解方程：
(1) $\frac{1-x}{2-x} - 3 = \frac{1}{x-2}$；
(2) $\frac{4-x}{x-3} = \frac{1}{3-x} - 2$。
(1) $\frac{1-x}{2-x} - 3 = \frac{1}{x-2}$；
(2) $\frac{4-x}{x-3} = \frac{1}{3-x} - 2$。
答案
1.(1)原方程无解
(2)x=1
(2)x=1
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考路径如下：①先观察分母特征，遇到互为相反数的分母可变形统一，确定最简公分母，同时明确分母不为0的取值限制；②方程两边同乘最简公分母，注意每一项都要乘，不要漏乘常数项，去掉分母后得到整式方程；③解整式方程；④必须进行验根：将求得的解代入最简公分母，若公分母为0，则该解是增根，原方程无解；若公分母不为0，才是原方程的解。本题两道小题的分母都存在互为相反数的情况，第一步要先统一分母形式再去分母。
【解析】
(1) 解方程$\frac{1-x}{2-x} - 3 = \frac{1}{x-2}$
要使分式有意义，则$x-2≠0$，即$x≠2$。
将分母变形为统一形式，方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$，得：
$-(1-x) - 3(x-2) = 1$
展开计算：
$-1 + x - 3x + 6 = 1$
合并同类项：
$-2x + 5 = 1$
移项化简得：
$-2x = -4$，解得$x=2$
检验：当$x=2$时，最简公分母$x-2=0$，因此$x=2$是增根，原方程无解。
(2) 解方程$\frac{4-x}{x-3} = \frac{1}{3-x} - 2$
要使分式有意义，则$x-3≠0$，即$x≠3$。
将分母变形为统一形式，方程两边同时乘以最简公分母$(x-3)$，得：
$4-x = -1 - 2(x-3)$
展开计算：
$4-x = -1 -2x +6$
合并右边同类项：
$4-x = 5 - 2x$
移项化简得：
$x = 1$
检验：当$x=1$时，最简公分母$x-3=1-3=-2≠0$，因此$x=1$是原方程的解。
【答案】
(1) 原方程无解；(2) $x=1$
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验，一元一次方程的解法
【点评】
这两道题是分式方程求解的常规题型，易错点在于去分母时漏乘常数项、忽略分母互为相反数的符号变形，要牢记分式方程解完必须检验，增根需舍去，不能作为原方程的解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考路径如下：①先观察分母特征，遇到互为相反数的分母可变形统一，确定最简公分母，同时明确分母不为0的取值限制；②方程两边同乘最简公分母，注意每一项都要乘，不要漏乘常数项，去掉分母后得到整式方程；③解整式方程；④必须进行验根：将求得的解代入最简公分母，若公分母为0，则该解是增根，原方程无解；若公分母不为0，才是原方程的解。本题两道小题的分母都存在互为相反数的情况，第一步要先统一分母形式再去分母。
【解析】
(1) 解方程$\frac{1-x}{2-x} - 3 = \frac{1}{x-2}$
要使分式有意义，则$x-2≠0$，即$x≠2$。
将分母变形为统一形式，方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$，得：
$-(1-x) - 3(x-2) = 1$
展开计算：
$-1 + x - 3x + 6 = 1$
合并同类项：
$-2x + 5 = 1$
移项化简得：
$-2x = -4$，解得$x=2$
检验：当$x=2$时，最简公分母$x-2=0$，因此$x=2$是增根，原方程无解。
(2) 解方程$\frac{4-x}{x-3} = \frac{1}{3-x} - 2$
要使分式有意义，则$x-3≠0$，即$x≠3$。
将分母变形为统一形式，方程两边同时乘以最简公分母$(x-3)$，得：
$4-x = -1 - 2(x-3)$
展开计算：
$4-x = -1 -2x +6$
合并右边同类项：
$4-x = 5 - 2x$
移项化简得：
$x = 1$
检验：当$x=1$时，最简公分母$x-3=1-3=-2≠0$，因此$x=1$是原方程的解。
【答案】
(1) 原方程无解；(2) $x=1$
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验，一元一次方程的解法
【点评】
这两道题是分式方程求解的常规题型，易错点在于去分母时漏乘常数项、忽略分母互为相反数的符号变形，要牢记分式方程解完必须检验，增根需舍去，不能作为原方程的解。
【难度系数】
0.7
②到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（
A. 三个内角角平分线的交点
B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条中线的交点
D. 三条高的交点
③一个正多边形的内角和等于外角和的5倍，则这个正多边形的边数为（
A. 8
B. 10
C. 11
D. 12
④若二次三项式$x^2 -kx +9$是一个完全平方式，则k的值是
$y=x+b$
B
）A. 三个内角角平分线的交点
B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条中线的交点
D. 三条高的交点
③一个正多边形的内角和等于外角和的5倍，则这个正多边形的边数为（
D
）A. 8
B. 10
C. 11
D. 12
④若二次三项式$x^2 -kx +9$是一个完全平方式，则k的值是
±6
。$y=x+b$
答案
2.B
3.D
4.±6
3.D
4.±6
解析
【分析】
第②题：解题时需回忆三角形不同特殊交点的性质，结合线段垂直平分线的性质逐一匹配选项：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此到三个顶点距离都相等的点，必然在三条边的垂直平分线上，再排除其他不符合性质的选项即可得出答案。
第③题：解题需牢记多边形内角和公式与外角和的固定值，任意多边形外角和均为360°，正多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数），根据"内角和是外角和的5倍"列方程求解即可得到边数。
第④题：解题需掌握完全平方式的结构特征，完全平方式有$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$两种形式，将给定的二次三项式与完全平方式结构对应，匹配出对应项后即可求出$k$的取值。
【解析】
第②题：
A. 三个内角角平分线的交点是三角形的内心，性质是到三角形三边的距离相等，不符合题意；
B. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，根据线段垂直平分线的性质，外心到三角形三个顶点的距离相等，符合题意；
C. 三条中线的交点是三角形的重心，性质是到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不符合题意；
D. 三条高的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，不符合题意。
因此选B。
第③题：
设该正多边形的边数为$n$，
由任意多边形外角和为$360°$，正多边形内角和为$(n-2)×180°$，结合题意列方程：
$\begin{aligned}(n-2)×180°&=5×360°\\n-2&=10\\n&=12\end{aligned}$
因此这个正多边形的边数为12，选D。
第④题：
已知$x^2 -kx +9$是完全平方式，其中$x^2$对应完全平方式的$a^2$，$9=3^2$对应$b^2$，即$a=x$，$b=3$，
因此中间项为$\pm 2ab=\pm 2× x× 3=\pm 6x$，
即$-kx=\pm 6x$，因此$-k=\pm 6$，解得$k=\pm 6$。
【答案】
②B；③D；④$\pm 6$
【知识点】
三角形外心的性质；多边形内角和与外角和；完全平方式的特征
【点评】
这几道题都属于基础题型，核心考查基础概念、公式的掌握程度，学习时要注意区分易混淆的概念，牢记常用公式，即可快速准确解题。
【难度系数】
0.85
第②题：解题时需回忆三角形不同特殊交点的性质，结合线段垂直平分线的性质逐一匹配选项：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此到三个顶点距离都相等的点，必然在三条边的垂直平分线上，再排除其他不符合性质的选项即可得出答案。
第③题：解题需牢记多边形内角和公式与外角和的固定值，任意多边形外角和均为360°，正多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数），根据"内角和是外角和的5倍"列方程求解即可得到边数。
第④题：解题需掌握完全平方式的结构特征，完全平方式有$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$两种形式，将给定的二次三项式与完全平方式结构对应，匹配出对应项后即可求出$k$的取值。
【解析】
第②题：
A. 三个内角角平分线的交点是三角形的内心，性质是到三角形三边的距离相等，不符合题意；
B. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，根据线段垂直平分线的性质，外心到三角形三个顶点的距离相等，符合题意；
C. 三条中线的交点是三角形的重心，性质是到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不符合题意；
D. 三条高的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，不符合题意。
因此选B。
第③题：
设该正多边形的边数为$n$，
由任意多边形外角和为$360°$，正多边形内角和为$(n-2)×180°$，结合题意列方程：
$\begin{aligned}(n-2)×180°&=5×360°\\n-2&=10\\n&=12\end{aligned}$
因此这个正多边形的边数为12，选D。
第④题：
已知$x^2 -kx +9$是完全平方式，其中$x^2$对应完全平方式的$a^2$，$9=3^2$对应$b^2$，即$a=x$，$b=3$，
因此中间项为$\pm 2ab=\pm 2× x× 3=\pm 6x$，
即$-kx=\pm 6x$，因此$-k=\pm 6$，解得$k=\pm 6$。
【答案】
②B；③D；④$\pm 6$
【知识点】
三角形外心的性质；多边形内角和与外角和；完全平方式的特征
【点评】
这几道题都属于基础题型，核心考查基础概念、公式的掌握程度，学习时要注意区分易混淆的概念，牢记常用公式，即可快速准确解题。
【难度系数】
0.85
⑤ 如图，已知函数 $ y=x+b $ 和 $ y=ax+3 $ 的图象交点为 $ P $，则不等式 $ x+b ＞ ax+3 $ 的解集为
x＞1
。答案
5.x＞1
解析
【分析】
要解不等式$x+b＞ax+3$，首先明确一元一次不等式与一次函数图象的对应关系：不等式表示的是$y=x+b$的函数值大于$y=ax+3$的函数值，反映在图象上就是$y=x+b$的图象位于$y=ax+3$图象上方时对应的$x$的取值范围。首先找到两个函数图象的交点，交点处两个函数值相等，再观察交点左右两侧的图象上下位置，就能确定满足条件的$x$范围。
【解析】
1. 不等式$x+b＞ax+3$的几何意义是：一次函数$y=x+b$的图象在$y=ax+3$图象上方时，对应的自变量$x$的取值范围。
2. 由图象可得，两个函数交点$P$的横坐标为$x=1$，此时两个函数值相等。
3. 观察图象可知：当$x＞1$时，$y=x+b$的图象位于$y=ax+3$图象的上方，满足$x+b＞ax+3$。
因此不等式$x+b＞ax+3$的解集为$x＞1$。
【答案】
$x＞1$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，数形结合思想
【点评】
本题属于一次函数与不等式结合的基础题型，解题关键是理解不等式对应的图象位置关系，无需复杂计算，通过观察图象即可快速得到结果，体现了数形结合思想在解题中的便捷性。
【难度系数】
0.8
要解不等式$x+b＞ax+3$，首先明确一元一次不等式与一次函数图象的对应关系：不等式表示的是$y=x+b$的函数值大于$y=ax+3$的函数值，反映在图象上就是$y=x+b$的图象位于$y=ax+3$图象上方时对应的$x$的取值范围。首先找到两个函数图象的交点，交点处两个函数值相等，再观察交点左右两侧的图象上下位置，就能确定满足条件的$x$范围。
【解析】
1. 不等式$x+b＞ax+3$的几何意义是：一次函数$y=x+b$的图象在$y=ax+3$图象上方时，对应的自变量$x$的取值范围。
2. 由图象可得，两个函数交点$P$的横坐标为$x=1$，此时两个函数值相等。
3. 观察图象可知：当$x＞1$时，$y=x+b$的图象位于$y=ax+3$图象的上方，满足$x+b＞ax+3$。
因此不等式$x+b＞ax+3$的解集为$x＞1$。
【答案】
$x＞1$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，数形结合思想
【点评】
本题属于一次函数与不等式结合的基础题型，解题关键是理解不等式对应的图象位置关系，无需复杂计算，通过观察图象即可快速得到结果，体现了数形结合思想在解题中的便捷性。
【难度系数】
0.8
①中医院配制的外用药液(含苦参、黄柏等成分),按医嘱要求以$1:50$的质量比稀释(1份中药浓缩液加50份温水),降低药液刺激性并调节浓度.
(1)中药药剂师如果需要配制51 kg的外用药液,求药物和水的质量.
(2)中药药剂师如果需要配制$(3x+5)$kg的外用药液,求药物和水的质量(用含x的代数式表示).
(1)中药药剂师如果需要配制51 kg的外用药液,求药物和水的质量.
(2)中药药剂师如果需要配制$(3x+5)$kg的外用药液,求药物和水的质量(用含x的代数式表示).
答案
1.(1)药物1kg；水50kg.
(2)药物$(\frac{3}{51}x+\frac{5}{51})$kg；水$(\frac{150}{51}x+\frac{250}{51})$kg.
(2)药物$(\frac{3}{51}x+\frac{5}{51})$kg；水$(\frac{150}{51}x+\frac{250}{51})$kg.
解析
【分析】
本题属于按比例分配的实际应用问题，解题思路如下：首先根据浓缩液和水的质量比1:50，确定总份数为1+50=51份，由此可得药物质量占总药液质量的$\frac{1}{51}$，水的质量占总药液质量的$\frac{50}{51}$。第一问已知总药液质量，直接用总质量乘对应占比即可求出药物和水的质量；第二问总药液质量为含x的代数式，同样用总质量乘各部分占比，展开后得到含x的代数式即可。
【解析】
(1) 先计算总份数：$1+50=51$（份）
药物质量占总药液的$\frac{1}{51}$，因此药物质量为：$51 × \frac{1}{51}=1$（kg）
水的质量占总药液的$\frac{50}{51}$，因此水的质量为：$51 × \frac{50}{51}=50$（kg）
(2) 总药液质量为$(3x+5)$kg，同理：
药物质量为：$(3x+5) × \frac{1}{51} = (\frac{3}{51}x + \frac{5}{51})$kg
水的质量为：$(3x+5) × \frac{50}{51} = (\frac{150}{51}x + \frac{250}{51})$kg
【答案】
(1) 药物1kg，水50kg；
(2) 药物$(\frac{3}{51}x+\frac{5}{51})$kg，水$(\frac{150}{51}x+\frac{250}{51})$kg。
【知识点】
按比例分配，列代数式，分数乘法运算
【点评】
本题结合生活实际考查比例的应用，解题核心是先明确各部分占总质量的比例，再结合总质量计算对应部分的质量，第二问需要注意代数式展开时的运算规则，书写要规范，整体考查内容比较基础，容易掌握。
【难度系数】
0.8
本题属于按比例分配的实际应用问题，解题思路如下：首先根据浓缩液和水的质量比1:50，确定总份数为1+50=51份，由此可得药物质量占总药液质量的$\frac{1}{51}$，水的质量占总药液质量的$\frac{50}{51}$。第一问已知总药液质量，直接用总质量乘对应占比即可求出药物和水的质量；第二问总药液质量为含x的代数式，同样用总质量乘各部分占比，展开后得到含x的代数式即可。
【解析】
(1) 先计算总份数：$1+50=51$（份）
药物质量占总药液的$\frac{1}{51}$，因此药物质量为：$51 × \frac{1}{51}=1$（kg）
水的质量占总药液的$\frac{50}{51}$，因此水的质量为：$51 × \frac{50}{51}=50$（kg）
(2) 总药液质量为$(3x+5)$kg，同理：
药物质量为：$(3x+5) × \frac{1}{51} = (\frac{3}{51}x + \frac{5}{51})$kg
水的质量为：$(3x+5) × \frac{50}{51} = (\frac{150}{51}x + \frac{250}{51})$kg
【答案】
(1) 药物1kg，水50kg；
(2) 药物$(\frac{3}{51}x+\frac{5}{51})$kg，水$(\frac{150}{51}x+\frac{250}{51})$kg。
【知识点】
按比例分配，列代数式，分数乘法运算
【点评】
本题结合生活实际考查比例的应用，解题核心是先明确各部分占总质量的比例，再结合总质量计算对应部分的质量，第二问需要注意代数式展开时的运算规则，书写要规范，整体考查内容比较基础，容易掌握。
【难度系数】
0.8
