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23. 某校组织七、八年级学生开展劳动技能知识比赛.为了解活动效果,从两个年级随机抽取部分学生成绩,进行如下统计分析:
收集数据：七年级共400人,八年级共500人,每个年级分别随机抽取20名学生的比赛成绩(满分100分,成绩均为整数).
整理数据：将抽取的学生比赛成绩分别进行整理,分成A,B,C,D四组(用$x$表示成绩)A组:$60≤ x≤69$,B组:$70≤ x≤79$,C组:$80≤ x≤89$,D组:$90≤ x≤100$.其中七年级20名学生的比赛成绩众数出现在B组,B组的数据为:72,73,74,74,74,74,74,76,78;八年级20名学生的比赛成绩中C组的数据为:87,88,88,88,89,89,89,89.
描述数据：根据统计数据,绘制成如下统计图:
七年级抽取的学生比赛成绩的扇形统计图
八年级抽取的学生比赛成绩的条形图
分析数据：
| 年级 | 平均数/分 | 中位数/分 | 众数/分 | 方差 |
|--------|-----------|-----------|---------|-------|
| 七年级 | 84.9 | 83 | $a$ | 140.2 |
| 八年级 | 84.5 | $b$ | 89 | 105.7 |
(1) $a=$
(2) 你认为哪个年级劳动技能比赛的总体成绩较好,说明理由.
(3) ① 该校授予劳动技能比赛成绩不低于80分的学生“劳动小能手”称号,估计七、八年级共
② 七(1)班“乐学”小组五位组员在本次比赛中均未达到80分,成绩分别为:65,69,70,74,78.他们决定分成两人组或三人组合作学习,如表.
| 分法 | 分组情况 | 组内离差平方和 |
|--------|-----------------------------------|----------------|
| 第一种 | 第一组2人$\{65,69\}$,第二组$\{70,74,78\}$ | $n$ |
| 第二种 | 第一组3人$\{65,69,70\}$,第二组2人$\{74,78\}$ | 22 |
为了达到“组内离差平方和最小”,请你计算并做出选择.$n=$
收集数据：七年级共400人,八年级共500人,每个年级分别随机抽取20名学生的比赛成绩(满分100分,成绩均为整数).
整理数据：将抽取的学生比赛成绩分别进行整理,分成A,B,C,D四组(用$x$表示成绩)A组:$60≤ x≤69$,B组:$70≤ x≤79$,C组:$80≤ x≤89$,D组:$90≤ x≤100$.其中七年级20名学生的比赛成绩众数出现在B组,B组的数据为:72,73,74,74,74,74,74,76,78;八年级20名学生的比赛成绩中C组的数据为:87,88,88,88,89,89,89,89.
描述数据：根据统计数据,绘制成如下统计图:
七年级抽取的学生比赛成绩的扇形统计图
八年级抽取的学生比赛成绩的条形图分析数据：
| 年级 | 平均数/分 | 中位数/分 | 众数/分 | 方差 |
|--------|-----------|-----------|---------|-------|
| 七年级 | 84.9 | 83 | $a$ | 140.2 |
| 八年级 | 84.5 | $b$ | 89 | 105.7 |
(1) $a=$
74
, $b=$88.5
, $m=$10
.(2) 你认为哪个年级劳动技能比赛的总体成绩较好,说明理由.
(3) ① 该校授予劳动技能比赛成绩不低于80分的学生“劳动小能手”称号,估计七、八年级共
550
名学生获此称号.② 七(1)班“乐学”小组五位组员在本次比赛中均未达到80分,成绩分别为:65,69,70,74,78.他们决定分成两人组或三人组合作学习,如表.
| 分法 | 分组情况 | 组内离差平方和 |
|--------|-----------------------------------|----------------|
| 第一种 | 第一组2人$\{65,69\}$,第二组$\{70,74,78\}$ | $n$ |
| 第二种 | 第一组3人$\{65,69,70\}$,第二组2人$\{74,78\}$ | 22 |
为了达到“组内离差平方和最小”,请你计算并做出选择.$n=$
40
,选第二
种分法.答案
23. (1) 74;88.5;10
(2) 八年级的比赛成绩总体较好,理由如下:
虽然在平均分上八年级的比赛成绩略低于七年级,但八年级的中位数大幅高于七年级,说明八年级有一半成绩在88.5分以上,而七年级低分段的学生较多.八年级的众数也远高于七年级,反映八年级大多数学生成绩集中在较高水平.另外八年级的方差更小,成绩更稳定,综合来看,八年级的成绩总体好于七年级(言之有理即可)；
(3) ① 550； ② 40；二.
(2) 八年级的比赛成绩总体较好,理由如下:
虽然在平均分上八年级的比赛成绩略低于七年级,但八年级的中位数大幅高于七年级,说明八年级有一半成绩在88.5分以上,而七年级低分段的学生较多.八年级的众数也远高于七年级,反映八年级大多数学生成绩集中在较高水平.另外八年级的方差更小,成绩更稳定,综合来看,八年级的成绩总体好于七年级(言之有理即可)；
(3) ① 550； ② 40；二.
解析
【分析】
（1）求$a$：众数是一组数据中出现次数最多的数，题目明确七年级众数在B组，统计B组数据中各数出现次数，次数最多的数即为$a$；求$b$：八年级共抽取20名学生，中位数是成绩从小到大排序后第10、11名成绩的平均数，结合八年级C组数据与众数信息，找到对应成绩计算平均即可；求$m$：计算七年级A组人数占抽取总人数的百分比即可得到$m$。
（2）比较两个年级总体成绩，可结合平均数、中位数、众数、方差的统计意义综合分析，判断即可。
（3）①先分别计算七、八年级抽取样本中成绩不低于80分的占比，再用各年级总人数乘对应占比，求和即可得到总获奖人数；②离差平方和是组内每个数据与组平均数的差的平方和，分别计算第一种分法两组的离差平方和相加得$n$，再和第二种分法的离差平方和比较，选择更小的即可。
【解析】
(1) ①七年级B组数据中74共出现5次，出现次数最多，且题目说明众数在B组，因此$a=74$；
②八年级抽取20名学生，成绩从小到大排序后，中位数为第10、11个成绩的平均数，已知C组数据为87,88,88,88,89,89,89,89，结合众数为89，可得第10个成绩为88，第11个成绩为89，因此$b=\frac{88+89}{2}=88.5$；
③七年级抽取20名学生，结合中位数为83可推算A组人数为2，因此A组占比为$\frac{2}{20}×100\%=10\%$，即$m=10$。
(2) 八年级总体成绩较好，理由：虽然八年级平均分略低于七年级，但八年级中位数88.5远高于七年级的83，说明八年级一半以上学生成绩不低于88.5分，七年级低分段人数更多；八年级众数89也高于七年级的74，说明八年级多数学生成绩集中在更高分段；且八年级方差更小，成绩更稳定，因此八年级总体成绩更好。
(3) ①七年级抽取的20人中，成绩不低于80分的人数为$20-2-9=9$，占比为$\frac{9}{20}$，七年级总人数400，因此七年级获奖人数为$400×\frac{9}{20}=180$人；八年级抽取的20人中，成绩不低于80分的占比为$\frac{370}{500}$，八年级总人数500，因此八年级获奖人数为370人，两个年级总获奖人数为$180+370=550$人。
②第一种分法：第一组$\{65,69\}$的平均数为$\frac{65+69}{2}=67$，离差平方和为$(65-67)^2+(69-67)^2=4+4=8$；第二组$\{70,74,78\}$的平均数为$\frac{70+74+78}{3}=74$，离差平方和为$(70-74)^2+(74-74)^2+(78-74)^2=16+0+16=32$，因此$n=8+32=40$；因为$40＞22$，所以选择第二种分法。
【答案】
(1) $74$；$88.5$；$10$
(2) 八年级的比赛成绩总体较好,理由如下:虽然在平均分上八年级的比赛成绩略低于七年级,但八年级的中位数大幅高于七年级,说明八年级有一半成绩在88.5分以上,而七年级低分段的学生较多.八年级的众数也远高于七年级,反映八年级大多数学生成绩集中在较高水平.另外八年级的方差更小,成绩更稳定,综合来看,八年级的成绩总体好于七年级(言之有理即可)
(3) ① $550$；② $40$；二
【知识点】
统计量的应用，用样本估计总体，方差计算
【点评】
本题综合考查统计相关知识，需要熟练掌握众数、中位数、方差等统计量的实际意义，能灵活用样本特征估计总体特征，同时考查数据计算能力和利用统计知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
（1）求$a$：众数是一组数据中出现次数最多的数，题目明确七年级众数在B组，统计B组数据中各数出现次数，次数最多的数即为$a$；求$b$：八年级共抽取20名学生，中位数是成绩从小到大排序后第10、11名成绩的平均数，结合八年级C组数据与众数信息，找到对应成绩计算平均即可；求$m$：计算七年级A组人数占抽取总人数的百分比即可得到$m$。
（2）比较两个年级总体成绩，可结合平均数、中位数、众数、方差的统计意义综合分析，判断即可。
（3）①先分别计算七、八年级抽取样本中成绩不低于80分的占比，再用各年级总人数乘对应占比，求和即可得到总获奖人数；②离差平方和是组内每个数据与组平均数的差的平方和，分别计算第一种分法两组的离差平方和相加得$n$，再和第二种分法的离差平方和比较，选择更小的即可。
【解析】
(1) ①七年级B组数据中74共出现5次，出现次数最多，且题目说明众数在B组，因此$a=74$；
②八年级抽取20名学生，成绩从小到大排序后，中位数为第10、11个成绩的平均数，已知C组数据为87,88,88,88,89,89,89,89，结合众数为89，可得第10个成绩为88，第11个成绩为89，因此$b=\frac{88+89}{2}=88.5$；
③七年级抽取20名学生，结合中位数为83可推算A组人数为2，因此A组占比为$\frac{2}{20}×100\%=10\%$，即$m=10$。
(2) 八年级总体成绩较好，理由：虽然八年级平均分略低于七年级，但八年级中位数88.5远高于七年级的83，说明八年级一半以上学生成绩不低于88.5分，七年级低分段人数更多；八年级众数89也高于七年级的74，说明八年级多数学生成绩集中在更高分段；且八年级方差更小，成绩更稳定，因此八年级总体成绩更好。
(3) ①七年级抽取的20人中，成绩不低于80分的人数为$20-2-9=9$，占比为$\frac{9}{20}$，七年级总人数400，因此七年级获奖人数为$400×\frac{9}{20}=180$人；八年级抽取的20人中，成绩不低于80分的占比为$\frac{370}{500}$，八年级总人数500，因此八年级获奖人数为370人，两个年级总获奖人数为$180+370=550$人。
②第一种分法：第一组$\{65,69\}$的平均数为$\frac{65+69}{2}=67$，离差平方和为$(65-67)^2+(69-67)^2=4+4=8$；第二组$\{70,74,78\}$的平均数为$\frac{70+74+78}{3}=74$，离差平方和为$(70-74)^2+(74-74)^2+(78-74)^2=16+0+16=32$，因此$n=8+32=40$；因为$40＞22$，所以选择第二种分法。
【答案】
(1) $74$；$88.5$；$10$
(2) 八年级的比赛成绩总体较好,理由如下:虽然在平均分上八年级的比赛成绩略低于七年级,但八年级的中位数大幅高于七年级,说明八年级有一半成绩在88.5分以上,而七年级低分段的学生较多.八年级的众数也远高于七年级,反映八年级大多数学生成绩集中在较高水平.另外八年级的方差更小,成绩更稳定,综合来看,八年级的成绩总体好于七年级(言之有理即可)
(3) ① $550$；② $40$；二
【知识点】
统计量的应用，用样本估计总体，方差计算
【点评】
本题综合考查统计相关知识，需要熟练掌握众数、中位数、方差等统计量的实际意义，能灵活用样本特征估计总体特征，同时考查数据计算能力和利用统计知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
