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21.【定义】把一组数据从小到大排序，用m表示中位数，则m把这组数据分为两部分，依次记为S和T.用a和b分别表示S和T的中位数，则所有数据中小于或等于a的占25%，小于或等于b的占75%.这样a,m,b把所有数据分成个数相等的四部分，称为四分位数.
【应用】甲、乙两组的测试成绩如下：
甲:91,96,70,89,60,70,100,80,92,98；
乙:92,93,70,88,82,75,96,80,92,95.
(1) 求甲组数据的四分位数a,m,b；
(2) 根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图.
【理解】根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法.
【应用】甲、乙两组的测试成绩如下：
甲:91,96,70,89,60,70,100,80,92,98；
乙:92,93,70,88,82,75,96,80,92,95.
(1) 求甲组数据的四分位数a,m,b；
(2) 根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图.
【理解】根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法.
答案
21.【应用】(1) 把甲的成绩从小到大排列为:60,70,70,80,89,91,92,96,98,100,故 $m=\frac{89+91}{2}=90,a=70,b=96$；
(2) 绘制的甲组箱线图为
。【理解】根据箱线图和对四分位数,可知甲组成绩比较分散,乙成绩比较集中.(答案不唯一).
解析
【分析】
解决本题首先要准确理解题目给出的四分位数定义：先将数据从小到大排序，先求整组数据的中位数m，再分别求前半部分数据的中位数a、后半部分数据的中位数b。第(1)问只需按定义对甲组数据排序后分步计算即可；第(2)问先确定甲组的最小值、a、m、b、最大值五个关键值，参考乙组箱线图的结构绘制即可；最后分析两组成绩时可从数据的集中程度、稳定性等角度入手。
【解析】
(1) 第一步：将甲组的10个成绩从小到大排列：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100。
第二步：求整组数据的中位数m：数据共10个（偶数个），中位数为排序后第5个和第6个数据的平均数，即$m=\frac{89+91}{2}=90$。
第三步：求前半部分S的中位数a：排序后前5个数据为S：60，70，70，80，89，共5个数据，其中位数为第3个数据，得$a=70$。
第四步：求后半部分T的中位数b：排序后后5个数据为T：91，92，96，98，100，共5个数据，其中位数为第3个数据，得$b=96$。
(2) 确定甲组的关键数值：最小值60，a=70，m=90，b=96，最大值100，对照乙组箱线图的样式，对应绘制出甲组的箱线图即可。
(3) 分析两组成绩：观察箱线图可发现，甲组的最低分比乙组低，最高分比乙组高，数据的波动范围更大，因此甲组成绩更分散，乙组成绩更集中。
【答案】
(1) $a=70$，$m=90$，$b=96$；
(2)；
【理解】甲组成绩比较分散，乙成绩比较集中（答案不唯一，合理即可）。
【知识点】
中位数计算，统计图表绘制，数据离散程度分析
【点评】
本题属于新定义类的统计题型，核心是读懂四分位数的定义，按步骤计算对应数值，再结合箱线图分析数据特征，能很好地考查学生的信息提取能力和统计知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要准确理解题目给出的四分位数定义：先将数据从小到大排序，先求整组数据的中位数m，再分别求前半部分数据的中位数a、后半部分数据的中位数b。第(1)问只需按定义对甲组数据排序后分步计算即可；第(2)问先确定甲组的最小值、a、m、b、最大值五个关键值，参考乙组箱线图的结构绘制即可；最后分析两组成绩时可从数据的集中程度、稳定性等角度入手。
【解析】
(1) 第一步：将甲组的10个成绩从小到大排列：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100。
第二步：求整组数据的中位数m：数据共10个（偶数个），中位数为排序后第5个和第6个数据的平均数，即$m=\frac{89+91}{2}=90$。
第三步：求前半部分S的中位数a：排序后前5个数据为S：60，70，70，80，89，共5个数据，其中位数为第3个数据，得$a=70$。
第四步：求后半部分T的中位数b：排序后后5个数据为T：91，92，96，98，100，共5个数据，其中位数为第3个数据，得$b=96$。
(2) 确定甲组的关键数值：最小值60，a=70，m=90，b=96，最大值100，对照乙组箱线图的样式，对应绘制出甲组的箱线图即可。
(3) 分析两组成绩：观察箱线图可发现，甲组的最低分比乙组低，最高分比乙组高，数据的波动范围更大，因此甲组成绩更分散，乙组成绩更集中。
【答案】
(1) $a=70$，$m=90$，$b=96$；
(2)
；【理解】甲组成绩比较分散，乙成绩比较集中（答案不唯一，合理即可）。
【知识点】
中位数计算，统计图表绘制，数据离散程度分析
【点评】
本题属于新定义类的统计题型，核心是读懂四分位数的定义，按步骤计算对应数值，再结合箱线图分析数据特征，能很好地考查学生的信息提取能力和统计知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
22. (2025·广州)为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛. 评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计. 进入决赛的前两名选手需要确定名次(不能并列)，他们的单项成绩如表所示：
| 选手 | 内容 | 能力 | 效果 |
| --- | --- | --- | --- |
| 甲 | 98
| 84 | 88 |
| 乙 | 88 | 85 | 97 |
(1) 分别计算甲、乙两名选手的平均成绩(百分制)，能否以此确定两人的名次？
(2) 如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照4:3:3的比确定，以此计算两名选手的平均成绩(百分制)，并确定两人的名次；
(3) 如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由。
| 选手 | 内容 | 能力 | 效果 |
| --- | --- | --- | --- |
| 甲 | 98
| 84 | 88 || 乙 | 88 | 85 | 97 |
(1) 分别计算甲、乙两名选手的平均成绩(百分制)，能否以此确定两人的名次？
(2) 如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照4:3:3的比确定，以此计算两名选手的平均成绩(百分制)，并确定两人的名次；
(3) 如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由。
答案
22. (1) 甲的平均成绩为:$\frac{98+84+88}{3}=90$(分),乙甲的平均成绩为:$\frac{88+85+97}{3}=90$(分),所以不能以此确定两人的名次；
(2) 甲的平均成绩为:$\frac{98×4+84×3+88×3}{4+3+3}=90.8$(分),乙的平均成绩为:$\frac{88×4+85×3+97×3}{4+3+3}=89.8$(分),
∵ 90.8＞89.8,
∴ 甲排第一,乙排第二；
(3) 将内容、能力和效果三项得分按3:4:3的比例确定各人的测试成绩,确定录用者,因为能力比内容更重要(答案不唯一).
(2) 甲的平均成绩为:$\frac{98×4+84×3+88×3}{4+3+3}=90.8$(分),乙的平均成绩为:$\frac{88×4+85×3+97×3}{4+3+3}=89.8$(分),
∵ 90.8＞89.8,
∴ 甲排第一,乙排第二；
(3) 将内容、能力和效果三项得分按3:4:3的比例确定各人的测试成绩,确定录用者,因为能力比内容更重要(答案不唯一).
解析
【分析】
(1) 第一问需计算两人的算术平均数，算术平均数计算方法为所有数据之和除以数据个数，算出两人得分后若分数相同则无法确定名次，不同即可排序。
(2) 第二问是加权平均数计算，需将各项成绩乘以对应权重，求和后除以权重总和得到最终成绩，再比较两人成绩大小确定名次。
(3) 第三问为开放题，结合演讲比赛的考察侧重点合理设置三项成绩的权重，说明对应理由即可，答案不唯一，合理即可。
【解析】
(1) 计算算术平均成绩：
甲的平均成绩：$\frac{98+84+88}{3}=90$（分）
乙的平均成绩：$\frac{88+85+97}{3}=90$（分）
两人平均成绩相等，因此不能以此确定两人的名次。
(2) 按4:3:3的权重计算加权平均成绩：
甲的平均成绩：$\frac{98×4 + 84×3 + 88×3}{4+3+3}=\frac{392+252+264}{10}=90.8$（分）
乙的平均成绩：$\frac{88×4 + 85×3 + 97×3}{4+3+3}=\frac{352+255+291}{10}=89.8$（分）
$\because 90.8＞89.8$，因此甲的成绩更高，甲排第一，乙排第二。
(3) 示例：可将内容、能力、效果三项成绩按照3:4:3的比确定最终成绩。设计理由：演讲比赛中选手的临场表达能力是影响呈现效果的核心因素，因此可以适当提高能力项的权重。（答案不唯一，权重设置合理、理由对应即可）
【答案】
(1) 甲的平均成绩为90分，乙的平均成绩为90分，不能以此确定两人名次；
(2) 甲的平均成绩为90.8分，乙的平均成绩为89.8分，甲排第一，乙排第二；
(3) 示例：按3:4:3的比确定，理由：演讲的临场表达能力更为重要（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
算术平均数、加权平均数、权重应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查平均数的计算与应用，既检验了学生对两类平均数计算方法的掌握，也通过开放题引导学生体会权重对最终结果的影响，贴近生活，基础性和实践性兼备。
【难度系数】
0.85
(1) 第一问需计算两人的算术平均数，算术平均数计算方法为所有数据之和除以数据个数，算出两人得分后若分数相同则无法确定名次，不同即可排序。
(2) 第二问是加权平均数计算，需将各项成绩乘以对应权重，求和后除以权重总和得到最终成绩，再比较两人成绩大小确定名次。
(3) 第三问为开放题，结合演讲比赛的考察侧重点合理设置三项成绩的权重，说明对应理由即可，答案不唯一，合理即可。
【解析】
(1) 计算算术平均成绩：
甲的平均成绩：$\frac{98+84+88}{3}=90$（分）
乙的平均成绩：$\frac{88+85+97}{3}=90$（分）
两人平均成绩相等，因此不能以此确定两人的名次。
(2) 按4:3:3的权重计算加权平均成绩：
甲的平均成绩：$\frac{98×4 + 84×3 + 88×3}{4+3+3}=\frac{392+252+264}{10}=90.8$（分）
乙的平均成绩：$\frac{88×4 + 85×3 + 97×3}{4+3+3}=\frac{352+255+291}{10}=89.8$（分）
$\because 90.8＞89.8$，因此甲的成绩更高，甲排第一，乙排第二。
(3) 示例：可将内容、能力、效果三项成绩按照3:4:3的比确定最终成绩。设计理由：演讲比赛中选手的临场表达能力是影响呈现效果的核心因素，因此可以适当提高能力项的权重。（答案不唯一，权重设置合理、理由对应即可）
【答案】
(1) 甲的平均成绩为90分，乙的平均成绩为90分，不能以此确定两人名次；
(2) 甲的平均成绩为90.8分，乙的平均成绩为89.8分，甲排第一，乙排第二；
(3) 示例：按3:4:3的比确定，理由：演讲的临场表达能力更为重要（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
算术平均数、加权平均数、权重应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查平均数的计算与应用，既检验了学生对两类平均数计算方法的掌握，也通过开放题引导学生体会权重对最终结果的影响，贴近生活，基础性和实践性兼备。
【难度系数】
0.85
