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17. 在从小到大排列的五个数$x,3,6,8,12$中再加入一个数,若这六个数的中位数、平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等,则$x$的值为
1
.答案
17. 1
解析
【分析】
解题时先从两个核心条件入手：①原来五个数的中位数和加入一个数后六个数的中位数相等；②两组数的平均数相等。首先确定原五个数的中位数为6，据此推出六个数的中位数也为6，即六个数中第3、4位的和为12；再利用平均数相等的关系，推导出新加入的数等于原五个数的平均数；最后结合中位数的要求确定新加入数的取值，代入计算即可得到x的值。
【解析】
1. 求原五个数的中位数：
已知五个数从小到大排列为$x,3,6,8,12$，共5个数，中位数是第3个数，即$\boxed{6}$。
2. 分析新数组的中位数要求：
加入一个数后共6个数，中位数是第3个数和第4个数的平均数，由题意得新中位数也为6，因此$\frac{a_3+a_4}{2}=6$，即$a_3+a_4=12$。
3. 利用平均数相等推导新加入的数：
设原五个数的平均数为$\overline{x}$，则$\overline{x}=\frac{x+3+6+8+12}{5}=\frac{x+29}{5}$。
设新加入的数为$y$，六个数的平均数与原平均数相等，因此六个数总和为$6\overline{x}$，可得：
$x+29 + y = 6×\frac{x+29}{5}$
解得$y=\frac{x+29}{5}$，即新加入的数等于原五个数的平均数。
4. 结合中位数要求确定$y$的取值：
原数组中比6小的数有$x$和3（$x≤3$）共2个：
若$y＜6$，则比6小的数变为3个，排序后6位于第4位，$a_3＜6$，$a_3+a_4＜12$，中位数小于6，不符合要求；
若$y＞6$，则排序后6位于第3位，$a_4＞6$，$a_3+a_4＞12$，中位数大于6，不符合要求；
因此$y$只能等于6。
5. 计算$x$的值：
将$y=6$代入$y=\frac{x+29}{5}$，得$\frac{x+29}{5}=6$，解得$x=1$，符合$x≤3$的前提。
【答案】
1
【知识点】
中位数的定义，平均数的计算
【点评】
本题同时考查中位数和平均数的概念应用，解题的关键是先通过中位数相等的限制确定新加入数的取值，再结合平均数关系列方程求解，需要注意题目中原数组已按从小到大排列的隐藏条件。
【难度系数】
0.65
解题时先从两个核心条件入手：①原来五个数的中位数和加入一个数后六个数的中位数相等；②两组数的平均数相等。首先确定原五个数的中位数为6，据此推出六个数的中位数也为6，即六个数中第3、4位的和为12；再利用平均数相等的关系，推导出新加入的数等于原五个数的平均数；最后结合中位数的要求确定新加入数的取值，代入计算即可得到x的值。
【解析】
1. 求原五个数的中位数：
已知五个数从小到大排列为$x,3,6,8,12$，共5个数，中位数是第3个数，即$\boxed{6}$。
2. 分析新数组的中位数要求：
加入一个数后共6个数，中位数是第3个数和第4个数的平均数，由题意得新中位数也为6，因此$\frac{a_3+a_4}{2}=6$，即$a_3+a_4=12$。
3. 利用平均数相等推导新加入的数：
设原五个数的平均数为$\overline{x}$，则$\overline{x}=\frac{x+3+6+8+12}{5}=\frac{x+29}{5}$。
设新加入的数为$y$，六个数的平均数与原平均数相等，因此六个数总和为$6\overline{x}$，可得：
$x+29 + y = 6×\frac{x+29}{5}$
解得$y=\frac{x+29}{5}$，即新加入的数等于原五个数的平均数。
4. 结合中位数要求确定$y$的取值：
原数组中比6小的数有$x$和3（$x≤3$）共2个：
若$y＜6$，则比6小的数变为3个，排序后6位于第4位，$a_3＜6$，$a_3+a_4＜12$，中位数小于6，不符合要求；
若$y＞6$，则排序后6位于第3位，$a_4＞6$，$a_3+a_4＞12$，中位数大于6，不符合要求；
因此$y$只能等于6。
5. 计算$x$的值：
将$y=6$代入$y=\frac{x+29}{5}$，得$\frac{x+29}{5}=6$，解得$x=1$，符合$x≤3$的前提。
【答案】
1
【知识点】
中位数的定义，平均数的计算
【点评】
本题同时考查中位数和平均数的概念应用，解题的关键是先通过中位数相等的限制确定新加入数的取值，再结合平均数关系列方程求解，需要注意题目中原数组已按从小到大排列的隐藏条件。
【难度系数】
0.65
18. (2024·常州)小丽进行投掷标枪训练,总共投掷10次,前9次标枪的落点如图所示,记录成绩(单位:m),此时这组成绩的平均数是20 m,方差是$s_1^2 m^2$.若第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上,且投掷结束后这组成绩的方差是$s_2^2 m^2$,则$s_1^2$
＞
$s_2^2$(填“＞”“=”或“＜”).答案
18. ＞
解析
【分析】
要比较$s_1^2$和$s_2^2$的大小，可按照以下思路思考：
1. 先判断加入第10次成绩后，10次成绩的平均数是否变化：已知前9次平均数为20m，第10次成绩为20m，可计算出10次成绩的平均数仍为20m；
2. 结合方差的计算公式分析：方差是各数据与平均数差的平方的平均数，新增的第10个数据等于平均数，因此差的平方为0，平方和总和不变，但数据总个数从9增加到10，由此可判断方差的变化。
【解析】
解：①先计算10次成绩的平均数：
前9次成绩的总和为 $9×20=180$（m），
第10次成绩为20m，因此10次成绩的总和为 $180+20=200$（m），
10次成绩的平均数为 $200÷10=20$（m），即平均数仍为20m。
②根据方差公式 $s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$ 分析：
设前9次成绩与平均数20m的差的平方和为$M$，则 $s_1^2=\frac{M}{9}$；
加入第10次成绩后，差的平方和新增了$(20-20)^2=0$，因此总平方和仍为$M$，数据个数变为10，因此 $s_2^2=\frac{M}{10}$。
因为$M＞0$，所以$\frac{M}{9}＞\frac{M}{10}$，即$s_1^2＞s_2^2$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 方差的计算
2. 平均数的计算
3. 方差的意义
【点评】
本题考查方差的变化规律，解题关键是明确当新增的数据等于原数据的平均数时，新数据组的方差会小于原方差，题目侧重对基础概念的应用，难度较低。
【难度系数】
0.8
要比较$s_1^2$和$s_2^2$的大小，可按照以下思路思考：
1. 先判断加入第10次成绩后，10次成绩的平均数是否变化：已知前9次平均数为20m，第10次成绩为20m，可计算出10次成绩的平均数仍为20m；
2. 结合方差的计算公式分析：方差是各数据与平均数差的平方的平均数，新增的第10个数据等于平均数，因此差的平方为0，平方和总和不变，但数据总个数从9增加到10，由此可判断方差的变化。
【解析】
解：①先计算10次成绩的平均数：
前9次成绩的总和为 $9×20=180$（m），
第10次成绩为20m，因此10次成绩的总和为 $180+20=200$（m），
10次成绩的平均数为 $200÷10=20$（m），即平均数仍为20m。
②根据方差公式 $s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$ 分析：
设前9次成绩与平均数20m的差的平方和为$M$，则 $s_1^2=\frac{M}{9}$；
加入第10次成绩后，差的平方和新增了$(20-20)^2=0$，因此总平方和仍为$M$，数据个数变为10，因此 $s_2^2=\frac{M}{10}$。
因为$M＞0$，所以$\frac{M}{9}＞\frac{M}{10}$，即$s_1^2＞s_2^2$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 方差的计算
2. 平均数的计算
3. 方差的意义
【点评】
本题考查方差的变化规律，解题关键是明确当新增的数据等于原数据的平均数时，新数据组的方差会小于原方差，题目侧重对基础概念的应用，难度较低。
【难度系数】
0.8
三、解答题
19. 跳绳是某校体育活动的特色项目.体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况,随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试(单位:次),数据如下:
100 110 114 114 120 122 122 131 144 148
152 155 156 165 165 165 165 174 188 190
对这组数据进行整理和分析,结果如下:
请根据以上信息解答下列问题:
(1)填空:$a=$
(2)学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀,请你估计七年级240名学生中,约有多少名学生能达到优秀?
(3)某同学1分钟跳绳152次,请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生?说明理由.
19. 跳绳是某校体育活动的特色项目.体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况,随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试(单位:次),数据如下:
100 110 114 114 120 122 122 131 144 148
152 155 156 165 165 165 165 174 188 190
对这组数据进行整理和分析,结果如下:
请根据以上信息解答下列问题:
(1)填空:$a=$
165
,$b=$150
;(2)学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀,请你估计七年级240名学生中,约有多少名学生能达到优秀?
(3)某同学1分钟跳绳152次,请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生?说明理由.
答案
19. (1) 165 150
(2) $240×\frac{7}{20}=84$(名),答:估计七年级240名学生中,约有84名学生能达到优秀；
(3) 超过年级一半的学生,理由如下:
∵ 152＞150,
∴ 推测该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生.
(2) $240×\frac{7}{20}=84$(名),答:估计七年级240名学生中,约有84名学生能达到优秀；
(3) 超过年级一半的学生,理由如下:
∵ 152＞150,
∴ 推测该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生.
解析
【分析】
针对问题(1)：先回忆众数和中位数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，只需统计所给20个数据中出现频次最高的数即可得到a；中位数是将数据从小到大排序后，偶数个数据取中间两个数的平均数，20是偶数，取排序后第10、11个数据求平均就能得到b。
针对问题(2)：运用用样本估计总体的思想，先算抽取的20人中跳绳165次及以上的人数占比，再乘七年级总人数240即可得到优秀人数的估计值。
针对问题(3)：根据中位数的意义，中位数代表一组数据的中等水平，有一半的数据小于等于中位数，将152和中位数b比较大小即可判断。
【解析】
(1) 观察给出的20个数据，165共出现4次，是出现次数最多的数，因此众数$a=165$；
将数据从小到大排列后，第10个数据是148，第11个数据是152，因此中位数$b=\frac{148+152}{2}=150$。
(2) 统计样本中1分钟跳绳165次及以上的人数共有7人，占样本的比例为$\frac{7}{20}$，
则估计七年级优秀人数为：$240×\frac{7}{20}=84$（名）。
(3) 该同学的跳绳次数超过年级一半的学生，理由如下：
这组数据的中位数是150，说明年级有一半学生的1分钟跳绳次数不超过150次，该同学跳绳次数为152次，$152＞150$，因此超过年级一半的学生。
【答案】
(1) $165$，$150$
(2) 估计约有84名学生能达到优秀
(3) 超过年级一半的学生，理由：因为$152＞150$，所以该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生
【知识点】
众数；中位数；用样本估计总体
【点评】
本题结合实际生活场景考查统计基础知识点，注重对概念理解和基础应用能力的考查，掌握相关定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
针对问题(1)：先回忆众数和中位数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，只需统计所给20个数据中出现频次最高的数即可得到a；中位数是将数据从小到大排序后，偶数个数据取中间两个数的平均数，20是偶数，取排序后第10、11个数据求平均就能得到b。
针对问题(2)：运用用样本估计总体的思想，先算抽取的20人中跳绳165次及以上的人数占比，再乘七年级总人数240即可得到优秀人数的估计值。
针对问题(3)：根据中位数的意义，中位数代表一组数据的中等水平，有一半的数据小于等于中位数，将152和中位数b比较大小即可判断。
【解析】
(1) 观察给出的20个数据，165共出现4次，是出现次数最多的数，因此众数$a=165$；
将数据从小到大排列后，第10个数据是148，第11个数据是152，因此中位数$b=\frac{148+152}{2}=150$。
(2) 统计样本中1分钟跳绳165次及以上的人数共有7人，占样本的比例为$\frac{7}{20}$，
则估计七年级优秀人数为：$240×\frac{7}{20}=84$（名）。
(3) 该同学的跳绳次数超过年级一半的学生，理由如下：
这组数据的中位数是150，说明年级有一半学生的1分钟跳绳次数不超过150次，该同学跳绳次数为152次，$152＞150$，因此超过年级一半的学生。
【答案】
(1) $165$，$150$
(2) 估计约有84名学生能达到优秀
(3) 超过年级一半的学生，理由：因为$152＞150$，所以该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生
【知识点】
众数；中位数；用样本估计总体
【点评】
本题结合实际生活场景考查统计基础知识点，注重对概念理解和基础应用能力的考查，掌握相关定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
20. 甲、乙两名射击运动员中进行射击比赛，两人在相同条件下各射击10次，射击的成绩如图所示.
根据图中信息，回答下列问题：
（1）甲的平均数是
（2）分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果来分析，你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？
根据图中信息，回答下列问题：
（1）甲的平均数是
8
，乙的中位数是7.5
；（2）分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果来分析，你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？
答案
20. (1) 8,7.5
(2) $\overline x_乙=\frac{1}{10}(7+10+\dots+7)=8;s_甲^2=\frac{1}{10}[(6-8)^2+(10-8)^2+\dots+(7-8)^2]=1.6,s_乙^2=\frac{1}{10}[(7-8)^2+(10-8)^2+\dots+(7-8)^2]=1.2,∵ s_乙^2＜s_甲^2,∴$ 乙运动员的射击成绩更稳定.
(2) $\overline x_乙=\frac{1}{10}(7+10+\dots+7)=8;s_甲^2=\frac{1}{10}[(6-8)^2+(10-8)^2+\dots+(7-8)^2]=1.6,s_乙^2=\frac{1}{10}[(7-8)^2+(10-8)^2+\dots+(7-8)^2]=1.2,∵ s_乙^2＜s_甲^2,∴$ 乙运动员的射击成绩更稳定.
解析
【分析】
首先从折线统计图中分别提取甲、乙10次射击的成绩：①计算甲的平均数，将甲10次成绩求和后除以总次数10即可；②求乙的中位数，先把乙的10次成绩按从小到大的顺序排列，偶数个数据的中位数是排序后第5、第6个数据的平均数。第二问根据方差公式，先计算乙的平均数，再分别代入甲、乙的成绩计算两者的方差，方差越小代表成绩波动越小、越稳定，比较方差大小即可判断谁的成绩更稳定。
【解析】
（1）先列出甲10次射击的成绩：6，10，8，9，8，7，8，10，7，7。
甲的平均数：$\overline{x}_甲=\frac{1}{10}×(6+10+8+9+8+7+8+10+7+7)=\frac{80}{10}=8$。
再列出乙10次射击的成绩：7，10，7，7，9，8，7，9，9，7，按从小到大排序为：7，7，7，7，7，8，9，9，9，10。
共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$\frac{7+8}{2}=7.5$。
（2）先计算乙的平均数：$\overline{x}_乙=\frac{1}{10}×(7+10+7+7+9+8+7+9+9+7)=\frac{80}{10}=8$。
计算甲的方差：
$s_甲^2=\frac{1}{10}×[(6-8)^2+(10-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(8-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2+(7-8)^2+(7-8)^2]$
$=\frac{1}{10}×(4+4+0+1+0+1+0+4+1+1)=\frac{16}{10}=1.6$。
计算乙的方差：
$s_乙^2=\frac{1}{10}×[(7-8)^2×5+(8-8)^2+(9-8)^2×3+(10-8)^2]$
$=\frac{1}{10}×(5×1+0+3×1+4)=\frac{12}{10}=1.2$。
因为$s_乙^2＜s_甲^2$，说明乙的成绩波动更小，所以乙运动员的射击成绩更稳定。
【答案】
（1）$\boxed{8}$，$\boxed{7.5}$；
（2）$s_甲^2=1.6$，$s_乙^2=1.2$，乙运动员的射击成绩更稳定。
【知识点】
平均数的计算；中位数的计算；方差的计算与应用
【点评】
本题结合折线统计图考查统计特征量的相关知识，解题的核心是准确从图表中提取有效数据，熟练掌握平均数、中位数、方差的计算方法，理解方差代表数据波动程度的意义。
【难度系数】
0.7
首先从折线统计图中分别提取甲、乙10次射击的成绩：①计算甲的平均数，将甲10次成绩求和后除以总次数10即可；②求乙的中位数，先把乙的10次成绩按从小到大的顺序排列，偶数个数据的中位数是排序后第5、第6个数据的平均数。第二问根据方差公式，先计算乙的平均数，再分别代入甲、乙的成绩计算两者的方差，方差越小代表成绩波动越小、越稳定，比较方差大小即可判断谁的成绩更稳定。
【解析】
（1）先列出甲10次射击的成绩：6，10，8，9，8，7，8，10，7，7。
甲的平均数：$\overline{x}_甲=\frac{1}{10}×(6+10+8+9+8+7+8+10+7+7)=\frac{80}{10}=8$。
再列出乙10次射击的成绩：7，10，7，7，9，8，7，9，9，7，按从小到大排序为：7，7，7，7，7，8，9，9，9，10。
共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$\frac{7+8}{2}=7.5$。
（2）先计算乙的平均数：$\overline{x}_乙=\frac{1}{10}×(7+10+7+7+9+8+7+9+9+7)=\frac{80}{10}=8$。
计算甲的方差：
$s_甲^2=\frac{1}{10}×[(6-8)^2+(10-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(8-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2+(7-8)^2+(7-8)^2]$
$=\frac{1}{10}×(4+4+0+1+0+1+0+4+1+1)=\frac{16}{10}=1.6$。
计算乙的方差：
$s_乙^2=\frac{1}{10}×[(7-8)^2×5+(8-8)^2+(9-8)^2×3+(10-8)^2]$
$=\frac{1}{10}×(5×1+0+3×1+4)=\frac{12}{10}=1.2$。
因为$s_乙^2＜s_甲^2$，说明乙的成绩波动更小，所以乙运动员的射击成绩更稳定。
【答案】
（1）$\boxed{8}$，$\boxed{7.5}$；
（2）$s_甲^2=1.6$，$s_乙^2=1.2$，乙运动员的射击成绩更稳定。
【知识点】
平均数的计算；中位数的计算；方差的计算与应用
【点评】
本题结合折线统计图考查统计特征量的相关知识，解题的核心是准确从图表中提取有效数据，熟练掌握平均数、中位数、方差的计算方法，理解方差代表数据波动程度的意义。
【难度系数】
0.7
