1. 新情境 [2026 南京联合体期末] 如图是李丽与DeepSeek的对话，DeepSeek给出的这个数是（）


A.$1$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-1$
D.$1$或$-1$

设这个数为x. 由题意,得$x^2 - x + 1 = x$,整理,得$x^2 - 2x + 1 = 0$,解得$x_1 = x_2 = 1$,
∴这个数为1.

2. 有一个两位数，它的个位数字比十位数字大3，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大18，则这个两位数是.

设个位上的数字为x,则十位上的数字为x-3.
根据题意,得$x^2 + (x-3)^2 = 10(x-3) + x + 18$,
解得$x_1=7,x_2=1.5$(不合题意,舍去),
∴x-3=4,
∴10(x-3)+x=47.
∴这个两位数是47.

3.［2025无锡宜兴期中改编］在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手.有人统计了一下，大家一共握了45次手，则参加这次聚会的同学共有多少人？

解:设这次聚会的同学共有x人.
根据题意,得$\frac{1}{2}x(x-1)=45$,
解得$x_1=10,x_2=-9$(舍去).
答:参加这次聚会的同学共有10人.

4.［2025周口川汇区期中］在化学老师的辅导下，化学课代表学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课他教会了若干名同学，第二节课已经会做该实验的同学每个人也教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了.问每个人一节课教会多少名同学？
拍批+错题本

解:设每个人一节课教会x名同学,则第一节课教会x名同学,第二节课教会x(1+x)名同学.
根据题意,得$1 + x + x(1 + x) = 49$,
即$(1+x)^2=49$,
解得$x_1=6,x_2=-8$(不合题意,舍去).
答:每个人一节课教会6名同学.

5. 跨学科·物理 [2025镇江句容期中] 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位:m)为$10x -4.9x^2$，则物体经过s落回地面.(结果精确到0.1)

由题意,得$10x - 4.9x^2 = 0$,
∴$x_1=0$(舍去),$x_2=\frac{100}{49}≈2.0$,即物体约经过2.0 s落回地面.

6. 跨学科·生物[2025北京大兴区期中]某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的一个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支.若在一个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是31，则x等于.

依题意,得$1 + x + x^2 = 31$,整理,得$x^2 + x - 30 = 0$,解得$x_1=5,x_2=-6$(不合题意,舍去).

7.如图,每个正方形均由边长为1的小正方形组成.

(1)观察图形,请填写下列表格.

正方形边长 1 2 3 4 5 6 7 8 …
黑色小正方形个数 1 4 5 8 …
(2)在边长为$n(n≥1)$的正方形中,设黑色小正方形的个数为$P_1$,白色小正方形的个数为$P_2$,是否存在偶数$n$,使得$P_2=5P_1$?若存在,请写出$n$的值;若不存在,请说明理由.

解题思路:(1)应分两种情况分析:当n是奇数时,黑色小正方形的个数是奇数;当n是偶数时,黑色小正方形的个数是偶数.
(2)当n是偶数时,分别用含n的代数式表示$P_1$和$P_2$的值,然后列方程求解,进行分析.
解:(1)9 12 13 16
分n为奇数和偶数:
| 正方形边长 | 1 | 3 | 5 | 7 | … | n(奇数) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 黑色小正方形个数 | 1 | 5 | 9 | 13 | … | $2n-1$ |
| 正方形边长 | 2 | 4 | 6 | 8 | … | n(偶数) |
| 黑色小正方形个数 | 4 | 8 | 12 | 16 | … | $2n$ |
(2)存在.由(1)可知n为偶数时,$P_1=2n$,白色小正方形与黑色小正方形的总数为$n^2$,
∴$P_2=n^2-2n$.
根据题意,假设存在偶数n,使得$P_2=5P_1$,则$n^2 - 2n = 5×2n$,
整理,得$n^2 -12n=0$,
解得$n_1=12,n_2=0$(不合题意,舍去).
故存在偶数$n=12$,使得$P_2=5P_1$.