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6. [2025无锡锡山区期中]超市销售某种儿童玩具，该玩具的进价为100元/件，市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过进价的60%。现在超市的销售单价为140元，每天可售出50件，根据市场调查发现，如果销售单价每上涨2元，每天销售量会减少1件。设上涨后的销售单价为x元，每天售出y件。
(1)请写出y与x之间的函数表达式并写出x的取值范围；
(2)当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利2250元？
(1)请写出y与x之间的函数表达式并写出x的取值范围；
(2)当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利2250元？
答案
解:(1)根据题意,得$y = 50 - \frac{1}{2}(x - 140) = -\frac{1}{2}x + 120$.
∵该种玩具每件利润不能超过进价的60%,
∴$x ≤ 100 × (1 + 60\% ) = 160$,
∴y与x之间的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x + 120(140 ＜ x ≤ 160)$.
(2)根据题意,得$(x - 100)(-\frac{1}{2}x + 120) = 2\ 250$,
解得$x_1 = 150$,$x_2 = 190$.
∵$140 ＜ x ≤ 160$,
∴$x = 150$.
答:当x为150时,超市每天销售这种玩具可获利2 250元.
∵该种玩具每件利润不能超过进价的60%,
∴$x ≤ 100 × (1 + 60\% ) = 160$,
∴y与x之间的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x + 120(140 ＜ x ≤ 160)$.
(2)根据题意,得$(x - 100)(-\frac{1}{2}x + 120) = 2\ 250$,
解得$x_1 = 150$,$x_2 = 190$.
∵$140 ＜ x ≤ 160$,
∴$x = 150$.
答:当x为150时,超市每天销售这种玩具可获利2 250元.
7. [2025南通海安期末]某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间满足一次函数关系，其图像如图所示。设该商场销售这种商品每天获利w元。
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)求w与x之间的函数表达式；
(3)该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)求w与x之间的函数表达式；
(3)该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
答案
解:(1)设y与x之间的函数表达式为$y = kx + b(k ≠ 0)$.
由题意及函数图象表达,得$\begin{cases}25k + b = 70,\\35k + b = 50,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -2,\\b = 120,\end{cases}$
∴y与x之间的函数表达式为$y = -2x + 120$.
(2)
∵$y = -2x + 120$,
∴$w = (x - 20)y = (x - 20)(-2x + 120) = -2x^2 + 160x - 2\ 400$,
∴w与x之间的函数表达式为$w = -2x^2 + 160x - 2\ 400$.
(3)根据题意,得$600 = -2x^2 + 160x - 2\ 400$,
解得$x_1 = 30$,$x_2 = 50$.
∵该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元,
∴$20 ≤ x ≤ 38$,
∴$x = 30$.
答:每件商品的售价应定为30元.
由题意及函数图象表达,得$\begin{cases}25k + b = 70,\\35k + b = 50,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -2,\\b = 120,\end{cases}$
∴y与x之间的函数表达式为$y = -2x + 120$.
(2)
∵$y = -2x + 120$,
∴$w = (x - 20)y = (x - 20)(-2x + 120) = -2x^2 + 160x - 2\ 400$,
∴w与x之间的函数表达式为$w = -2x^2 + 160x - 2\ 400$.
(3)根据题意,得$600 = -2x^2 + 160x - 2\ 400$,
解得$x_1 = 30$,$x_2 = 50$.
∵该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元,
∴$20 ≤ x ≤ 38$,
∴$x = 30$.
答:每件商品的售价应定为30元.
8. 应用意识 根据以下素材，探索完成任务.
＜红框内内容＞
如何估算游客人数和门票收入
素材1 据统计,游玩某景区的游客人数1月份为4万人,3月份为5.76万人.
素材2 若该景区仅有A,B两个景点,售票处出示的三种购票方式如右所示.据预测,5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别为2万、3万和2万,并且当甲、乙两种门票价格不变时,丙种门票价格每下降1元,将有原计划购买甲种门票的游客600人和原计划购买乙种门票的游客400人改为购买丙种门票.
购票方式 甲 乙 丙
可游玩景点 A B A和B
门票价格 100元/人 80元/人 160元/人
问题解决
任务1 确定增长率 求2月和3月这两个月中,该景区游客人数平均每月增长百分之几.
任务2 预计门票收入 若丙种门票价格下降10元,求景区5月份的门票总收入.
任务3 拟定价格方案 将丙种门票价格下降多少元时,景区5月份的门票总收入为816万元?
＜红框结束＞
【回顾与思考】请结合生活实际,提出一个与一元二次方程有关的问题,并加以解决.
＜红框内内容＞
如何估算游客人数和门票收入
素材1 据统计,游玩某景区的游客人数1月份为4万人,3月份为5.76万人.
素材2 若该景区仅有A,B两个景点,售票处出示的三种购票方式如右所示.据预测,5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别为2万、3万和2万,并且当甲、乙两种门票价格不变时,丙种门票价格每下降1元,将有原计划购买甲种门票的游客600人和原计划购买乙种门票的游客400人改为购买丙种门票.
购票方式 甲 乙 丙
可游玩景点 A B A和B
门票价格 100元/人 80元/人 160元/人
问题解决
任务1 确定增长率 求2月和3月这两个月中,该景区游客人数平均每月增长百分之几.
任务2 预计门票收入 若丙种门票价格下降10元,求景区5月份的门票总收入.
任务3 拟定价格方案 将丙种门票价格下降多少元时,景区5月份的门票总收入为816万元?
＜红框结束＞
【回顾与思考】请结合生活实际,提出一个与一元二次方程有关的问题,并加以解决.
答案
解:任务1 设2月和3月这两个月中,该景区游客人数平均每月增长率为x.
根据题意,得$4(1 + x)^2 = 5.76$,
解得$x_1 = 0.2 = 20\%$,$x_2 = -2.2$(舍去).
答:2月和3月这两个月中,该景区游客人数平均每月增长20%.
任务2 根据题意,得$100 × (20\ 000 - 600 × 10) + 80 × (30\ 000 - 400 × 10) + (160 - 10) × (20\ 000 + 600 × 10 + 400 × 10) = 100 × (20\ 000 - 6\ 000) + 80 × (30\ 000 - 4\ 000) + 150 × (20\ 000 + 6\ 000 + 4\ 000) = 100 × 14\ 000 + 80 × 26\ 000 + 150 × 30\ 000 = 1\ 400\ 000 + 2\ 080\ 000 + 4\ 500\ 000 = 7\ 980\ 000$(元),7 980 000 元 = 798 万元.
答:景区5月份的门票总收入为798万元.
任务3 设丙种门票价格下降y元时,景区5月份的门票总收入为816万元.
根据题意,得$100 × (20\ 000 - 600y) + 80 × (30\ 000 - 400y) + (160 - y) × (20\ 000 + 600y + 400y) = 8\ 160\ 000$,
整理,得$y^2 - 48y + 560 = 0$,解得$y_1 = 20$,$y_2 = 28$.
答:丙种门票价格下降20元或28元时,景区5月份的门票总收入为816万元.
根据题意,得$4(1 + x)^2 = 5.76$,
解得$x_1 = 0.2 = 20\%$,$x_2 = -2.2$(舍去).
答:2月和3月这两个月中,该景区游客人数平均每月增长20%.
任务2 根据题意,得$100 × (20\ 000 - 600 × 10) + 80 × (30\ 000 - 400 × 10) + (160 - 10) × (20\ 000 + 600 × 10 + 400 × 10) = 100 × (20\ 000 - 6\ 000) + 80 × (30\ 000 - 4\ 000) + 150 × (20\ 000 + 6\ 000 + 4\ 000) = 100 × 14\ 000 + 80 × 26\ 000 + 150 × 30\ 000 = 1\ 400\ 000 + 2\ 080\ 000 + 4\ 500\ 000 = 7\ 980\ 000$(元),7 980 000 元 = 798 万元.
答:景区5月份的门票总收入为798万元.
任务3 设丙种门票价格下降y元时,景区5月份的门票总收入为816万元.
根据题意,得$100 × (20\ 000 - 600y) + 80 × (30\ 000 - 400y) + (160 - y) × (20\ 000 + 600y + 400y) = 8\ 160\ 000$,
整理,得$y^2 - 48y + 560 = 0$,解得$y_1 = 20$,$y_2 = 28$.
答:丙种门票价格下降20元或28元时,景区5月份的门票总收入为816万元.
