登录
1. 在一个直角三角形中,有一个锐角等于$40°$,则另一个锐角的度数是 (
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
B
)A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
B
解析
【分析】
解题时先回忆相关性质：首先三角形内角和为180°，直角三角形有一个内角是90°，因此直角三角形中两个锐角的和为90°（即两锐角互余）。已知其中一个锐角的度数，用90°减去已知锐角的度数，就能求出另一个锐角的度数。
【解析】
解：
∵ 该三角形为直角三角形
∴ 三角形内有一个角为90°
又
∵ 三角形内角和为180°
∴ 直角三角形中两个锐角的和为 $180° - 90° = 90°$
已知一个锐角为 $40°$
∴ 另一个锐角的度数为 $90° - 40° = 50°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，主要考查直角三角形的基本性质，熟练掌握直角三角形的角度特点就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆相关性质：首先三角形内角和为180°，直角三角形有一个内角是90°，因此直角三角形中两个锐角的和为90°（即两锐角互余）。已知其中一个锐角的度数，用90°减去已知锐角的度数，就能求出另一个锐角的度数。
【解析】
解：
∵ 该三角形为直角三角形
∴ 三角形内有一个角为90°
又
∵ 三角形内角和为180°
∴ 直角三角形中两个锐角的和为 $180° - 90° = 90°$
已知一个锐角为 $40°$
∴ 另一个锐角的度数为 $90° - 40° = 50°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，主要考查直角三角形的基本性质，熟练掌握直角三角形的角度特点就能快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 在平面直角坐标系中,点$A(-3,2)$到原点的距离是 (
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{11}$
D.$2$
B
)A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{11}$
D.$2$
答案
B
解析
【分析】
要求平面直角坐标系中点A到原点的距离，可结合勾股定理思考：过点A向x轴作垂线，原点、垂足、点A三点可构成直角三角形，点A到原点的连线是该直角三角形的斜边，两条直角边的长度分别是点A横坐标的绝对值（水平距离）和纵坐标的绝对值（竖直距离），代入勾股公式计算斜边长度即可。
【解析】
解：平面直角坐标系中原点坐标为(0,0)。
点A(-3,2)到x轴的竖直距离为|2|=2，原点到点A在x轴上垂足的水平距离为|-3|=3，二者为直角三角形的两条直角边，点A到原点的距离为斜边。
根据勾股定理可得，距离为：
$\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；点到原点的距离计算
【点评】
本题是基础题型，主要考查勾股定理在平面直角坐标系中的简单应用，掌握坐标与点到坐标轴距离的对应关系，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要求平面直角坐标系中点A到原点的距离，可结合勾股定理思考：过点A向x轴作垂线，原点、垂足、点A三点可构成直角三角形，点A到原点的连线是该直角三角形的斜边，两条直角边的长度分别是点A横坐标的绝对值（水平距离）和纵坐标的绝对值（竖直距离），代入勾股公式计算斜边长度即可。
【解析】
解：平面直角坐标系中原点坐标为(0,0)。
点A(-3,2)到x轴的竖直距离为|2|=2，原点到点A在x轴上垂足的水平距离为|-3|=3，二者为直角三角形的两条直角边，点A到原点的距离为斜边。
根据勾股定理可得，距离为：
$\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；点到原点的距离计算
【点评】
本题是基础题型，主要考查勾股定理在平面直角坐标系中的简单应用，掌握坐标与点到坐标轴距离的对应关系，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3. 在下列条件中不能判断两个直角三角形全等的是 （
A.已知两个锐角
B.已知一条直角边和一个锐角
C.已知两条直角边
D.已知一条直角边和斜边
A
）A.已知两个锐角
B.已知一条直角边和一个锐角
C.已知两条直角边
D.已知一条直角边和斜边
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确全等三角形的判定核心是必须有对应边相等，同时牢记直角三角形的全等判定方法：除了普通三角形的SSS、SAS、ASA、AAS判定定理外，还有专属的HL（斜边直角边）定理，且直角三角形本身隐含“两个直角相等”的条件，接下来逐一分析每个选项是否满足全等判定的要求即可。
【解析】
首先明确：两个直角三角形已经有一组直角对应相等，据此分析各选项：
A. 已知两个锐角对应相等：此时两个三角形三组角都对应相等，但没有任何一组边相等的条件，只能说明两个三角形形状相同，大小不一定相等，只能判定相似，无法判定全等，符合题意；
B. 已知一条直角边和一个锐角对应相等：加上相等的直角，可通过AAS或ASA判定两个直角三角形全等，不符合题意；
C. 已知两条直角边对应相等：直角是两条直角边的夹角，可通过SAS判定两个直角三角形全等，不符合题意；
D. 已知一条直角边和斜边对应相等：可通过直角三角形专属的HL判定定理证明全等，不符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直角三角形全等判定
2. 全等三角形判定条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题时要注意直角三角形隐含的直角相等的条件，同时要区分全等和相似的判定差异：仅有角对应相等只能判定相似，必须至少有一组边对应相等才能判定全等。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确全等三角形的判定核心是必须有对应边相等，同时牢记直角三角形的全等判定方法：除了普通三角形的SSS、SAS、ASA、AAS判定定理外，还有专属的HL（斜边直角边）定理，且直角三角形本身隐含“两个直角相等”的条件，接下来逐一分析每个选项是否满足全等判定的要求即可。
【解析】
首先明确：两个直角三角形已经有一组直角对应相等，据此分析各选项：
A. 已知两个锐角对应相等：此时两个三角形三组角都对应相等，但没有任何一组边相等的条件，只能说明两个三角形形状相同，大小不一定相等，只能判定相似，无法判定全等，符合题意；
B. 已知一条直角边和一个锐角对应相等：加上相等的直角，可通过AAS或ASA判定两个直角三角形全等，不符合题意；
C. 已知两条直角边对应相等：直角是两条直角边的夹角，可通过SAS判定两个直角三角形全等，不符合题意；
D. 已知一条直角边和斜边对应相等：可通过直角三角形专属的HL判定定理证明全等，不符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直角三角形全等判定
2. 全等三角形判定条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题时要注意直角三角形隐含的直角相等的条件，同时要区分全等和相似的判定差异：仅有角对应相等只能判定相似，必须至少有一组边对应相等才能判定全等。
【难度系数】
0.8
4. 在$△ ABC$中，$∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别为$a,b,c$，下列结论中错误的是（
A.如果$a^2 = b^2 - c^2$，那么$△ ABC$是直角三角形且$∠ A=90°$
B.如果$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，那么$△ ABC$是直角三角形
C.如果$a^2:b^2:c^2=9:16:25$，那么$△ ABC$是直角三角形
D.如果$∠ A - ∠ B = ∠ C$，那么$△ ABC$是直角三角形
A
）A.如果$a^2 = b^2 - c^2$，那么$△ ABC$是直角三角形且$∠ A=90°$
B.如果$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，那么$△ ABC$是直角三角形
C.如果$a^2:b^2:c^2=9:16:25$，那么$△ ABC$是直角三角形
D.如果$∠ A - ∠ B = ∠ C$，那么$△ ABC$是直角三角形
答案
A
解析
【分析】
本题考查直角三角形的判定，解题可从两个方向入手：①从角的角度：利用三角形内角和为180°，推导是否存在内角为90°；②从边的角度：利用勾股定理的逆定理，若两条短边的平方和等于最长边的平方，则三角形是直角三角形，且最长边所对的角为直角。解题时逐一验证每个选项的结论是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：由$a^2 = b^2 - c^2$移项可得$a^2 + c^2 = b^2$，根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形，且最长边$b$对应的角$∠B=90°$，不是$∠A=90°$，故该选项结论错误。
选项B：已知$∠A:∠B:∠C=1:2:3$，设$∠A=x$，$∠B=2x$，$∠C=3x$，根据三角形内角和为180°，可得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则最大角$∠C=3×30°=90°$，所以△ABC是直角三角形，该选项结论正确。
选项C：已知$a^2:b^2:c^2=9:16:25$，设$a^2=9k$，$b^2=16k$，$c^2=25k$（$k＞0$），可得$9k+16k=25k$，即$a^2 + b^2 = c^2$，符合勾股定理的逆定理，所以△ABC是直角三角形，该选项结论正确。
选项D：已知$∠A - ∠B = ∠C$，变形可得$∠A = ∠B + ∠C$，结合三角形内角和$∠A + ∠B + ∠C=180°$，代入得$∠A + ∠A=180°$，解得$∠A=90°$，所以△ABC是直角三角形，该选项结论正确。
综上，错误的结论是选项A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的判定；勾股定理的逆定理；三角形内角和定理
【点评】
本题属于直角三角形判定的基础题型，核心考查角、边两个维度的判定方法，解题时要注意勾股定理逆定理中“最长边对应直角”的对应关系，避免因混淆边和角的对应关系出错。
【难度系数】
0.7
本题考查直角三角形的判定，解题可从两个方向入手：①从角的角度：利用三角形内角和为180°，推导是否存在内角为90°；②从边的角度：利用勾股定理的逆定理，若两条短边的平方和等于最长边的平方，则三角形是直角三角形，且最长边所对的角为直角。解题时逐一验证每个选项的结论是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：由$a^2 = b^2 - c^2$移项可得$a^2 + c^2 = b^2$，根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形，且最长边$b$对应的角$∠B=90°$，不是$∠A=90°$，故该选项结论错误。
选项B：已知$∠A:∠B:∠C=1:2:3$，设$∠A=x$，$∠B=2x$，$∠C=3x$，根据三角形内角和为180°，可得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则最大角$∠C=3×30°=90°$，所以△ABC是直角三角形，该选项结论正确。
选项C：已知$a^2:b^2:c^2=9:16:25$，设$a^2=9k$，$b^2=16k$，$c^2=25k$（$k＞0$），可得$9k+16k=25k$，即$a^2 + b^2 = c^2$，符合勾股定理的逆定理，所以△ABC是直角三角形，该选项结论正确。
选项D：已知$∠A - ∠B = ∠C$，变形可得$∠A = ∠B + ∠C$，结合三角形内角和$∠A + ∠B + ∠C=180°$，代入得$∠A + ∠A=180°$，解得$∠A=90°$，所以△ABC是直角三角形，该选项结论正确。
综上，错误的结论是选项A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的判定；勾股定理的逆定理；三角形内角和定理
【点评】
本题属于直角三角形判定的基础题型，核心考查角、边两个维度的判定方法，解题时要注意勾股定理逆定理中“最长边对应直角”的对应关系，避免因混淆边和角的对应关系出错。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,过点D作AB的垂线交BC于点E,且ED=EC,则∠DEB的度数为 (
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
C
)A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
答案
C
解析
【分析】
解题时首先添加辅助线连接AE，第一步：已知∠C=90°即EC⊥AC，ED⊥AB且ED=EC，根据角平分线的判定定理可推出AE平分∠CAB，得到∠CAE=∠DAE；第二步：由D是AB中点且ED⊥AB，可知ED是AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质得AE=BE，进而推出∠B=∠DAE；第三步：结合直角三角形两锐角互余的性质，可得三个相等的角∠CAE、∠DAE、∠B之和为90°，求出∠B的度数后，再在Rt△EDB中利用两锐角互余即可求出∠DEB的度数。
【解析】
连接AE，
1. 证明AE平分∠CAB：
∵∠C=90°，
∴EC⊥AC，
又
∵ED⊥AB，ED=EC，
∴点E在∠CAB的角平分线上，即AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠DAE。
2. 证明∠B=∠DAE：
∵D是AB的中点，且ED⊥AB，
∴ED是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠B=∠DAE。
3. 求∠B的度数：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，即∠CAE+∠DAE+∠B=90°，
又
∵∠CAE=∠DAE=∠B，
∴3∠B=90°，解得∠B=30°。
4. 求∠DEB的度数：
在Rt△EDB中，∠EDB=90°，
∴∠DEB=90°-∠B=90°-30°=60°。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定；线段垂直平分线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是通过连接辅助线AE，将已知条件转化为角相等的关系，再结合直角三角形的内角性质求解。需要熟练掌握角平分线判定、垂直平分线性质等基础定理，学会根据已知条件合理添加辅助线。
【难度系数】
0.7
解题时首先添加辅助线连接AE，第一步：已知∠C=90°即EC⊥AC，ED⊥AB且ED=EC，根据角平分线的判定定理可推出AE平分∠CAB，得到∠CAE=∠DAE；第二步：由D是AB中点且ED⊥AB，可知ED是AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质得AE=BE，进而推出∠B=∠DAE；第三步：结合直角三角形两锐角互余的性质，可得三个相等的角∠CAE、∠DAE、∠B之和为90°，求出∠B的度数后，再在Rt△EDB中利用两锐角互余即可求出∠DEB的度数。
【解析】
连接AE，
1. 证明AE平分∠CAB：
∵∠C=90°，
∴EC⊥AC，
又
∵ED⊥AB，ED=EC，
∴点E在∠CAB的角平分线上，即AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠DAE。
2. 证明∠B=∠DAE：
∵D是AB的中点，且ED⊥AB，
∴ED是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠B=∠DAE。
3. 求∠B的度数：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，即∠CAE+∠DAE+∠B=90°，
又
∵∠CAE=∠DAE=∠B，
∴3∠B=90°，解得∠B=30°。
4. 求∠DEB的度数：
在Rt△EDB中，∠EDB=90°，
∴∠DEB=90°-∠B=90°-30°=60°。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定；线段垂直平分线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是通过连接辅助线AE，将已知条件转化为角相等的关系，再结合直角三角形的内角性质求解。需要熟练掌握角平分线判定、垂直平分线性质等基础定理，学会根据已知条件合理添加辅助线。
【难度系数】
0.7
6. 在如图所示的网格中,小正方形的边长均为1,A,B,C三点均在正方形格点上,则下列结论错误的是 (
A.$S_{△ ABC}=10$
B.$∠ BAC=90°$
C.$AB=2\sqrt{5}$
D.点A到直线BC的距离是2
A
)A.$S_{△ ABC}=10$
B.$∠ BAC=90°$
C.$AB=2\sqrt{5}$
D.点A到直线BC的距离是2
答案
A
解析
【分析】
本题为网格中三角形性质的正误判断题，解题思路为逐一验证各选项：首先利用勾股定理计算三角形三边长，通过勾股定理逆定理判断是否为直角三角形，再分别计算三角形面积、线段长度、点到直线的距离，对比选项得出错误结论。
【解析】
设小正方形边长为1：
1. 计算各边长度：
$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{4^2+3^2}=5$，故C选项结论正确，不符合题意。
2. 判断是否为直角三角形：
$AC^2+AB^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5+20=25=BC^2$，根据勾股定理逆定理可得$∠ BAC=90°$，故B选项结论正确，不符合题意。
3. 计算$△ ABC$的面积：
因$△ ABC$是直角三角形，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× AB=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$，故A选项结论错误，符合题意。
4. 计算点A到直线BC的距离：
设距离为$d$，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× d$，代入得$5=\frac{1}{2}×5× d$，解得$d=2$，故D选项结论正确，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理及逆定理，三角形面积计算，点到直线的距离
【点评】
本题结合网格考查直角三角形的相关性质，解题核心是利用格点准确计算线段长度，灵活运用面积法求解点到直线的距离，属于基础类题型，易错点为计算面积时误用边长乘积忘记乘二分之一。
【难度系数】
0.7
本题为网格中三角形性质的正误判断题，解题思路为逐一验证各选项：首先利用勾股定理计算三角形三边长，通过勾股定理逆定理判断是否为直角三角形，再分别计算三角形面积、线段长度、点到直线的距离，对比选项得出错误结论。
【解析】
设小正方形边长为1：
1. 计算各边长度：
$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{4^2+3^2}=5$，故C选项结论正确，不符合题意。
2. 判断是否为直角三角形：
$AC^2+AB^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5+20=25=BC^2$，根据勾股定理逆定理可得$∠ BAC=90°$，故B选项结论正确，不符合题意。
3. 计算$△ ABC$的面积：
因$△ ABC$是直角三角形，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× AB=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$，故A选项结论错误，符合题意。
4. 计算点A到直线BC的距离：
设距离为$d$，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× d$，代入得$5=\frac{1}{2}×5× d$，解得$d=2$，故D选项结论正确，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理及逆定理，三角形面积计算，点到直线的距离
【点评】
本题结合网格考查直角三角形的相关性质，解题核心是利用格点准确计算线段长度，灵活运用面积法求解点到直线的距离，属于基础类题型，易错点为计算面积时误用边长乘积忘记乘二分之一。
【难度系数】
0.7
7. 命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是
如果三角形有两个锐角互余,那么这个三角形是直角三角形
，它是真
命题(填“真”或“假”).答案
如果三角形有两个锐角互余,那么这个三角形是直角三角形 真
解析
【分析】
要解决这道题，首先要回忆逆命题的改写规则：逆命题是将原命题的题设（条件）和结论互换位置得到的命题。第一步我们需要把原命题拆成“如果…那么…”的形式，明确条件和结论，互换后就能得到逆命题。接下来判断逆命题的真假，结合三角形内角和定理，两个锐角互余说明它们的和是90°，就能推出第三个角是90°，进而判断命题的真假。
【解析】
1. 拆分原命题：将原命题“直角三角形的两个锐角互余”改写为“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余”，可得原命题的题设为“一个三角形是直角三角形”，结论为“它的两个锐角互余”。
2. 改写逆命题：将题设和结论互换，得到逆命题为“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”。
3. 判断真假：根据三角形内角和为180°，若两个锐角互余，即两个锐角的和为90°，则第三个内角的度数为180°-90°=90°，因此这个三角形是直角三角形，所以该逆命题是真命题。
【答案】
如果三角形有两个锐角互余,那么这个三角形是直角三角形 真
【知识点】
逆命题的改写，直角三角形判定，命题真假判断
【点评】
本题属于基础题型，核心考查命题相关的基础概念，解题关键是准确拆分原命题的条件和结论，结合三角形内角和定理即可快速判断命题真假，主要检验学生对基础知识的掌握程度。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要回忆逆命题的改写规则：逆命题是将原命题的题设（条件）和结论互换位置得到的命题。第一步我们需要把原命题拆成“如果…那么…”的形式，明确条件和结论，互换后就能得到逆命题。接下来判断逆命题的真假，结合三角形内角和定理，两个锐角互余说明它们的和是90°，就能推出第三个角是90°，进而判断命题的真假。
【解析】
1. 拆分原命题：将原命题“直角三角形的两个锐角互余”改写为“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余”，可得原命题的题设为“一个三角形是直角三角形”，结论为“它的两个锐角互余”。
2. 改写逆命题：将题设和结论互换，得到逆命题为“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”。
3. 判断真假：根据三角形内角和为180°，若两个锐角互余，即两个锐角的和为90°，则第三个内角的度数为180°-90°=90°，因此这个三角形是直角三角形，所以该逆命题是真命题。
【答案】
如果三角形有两个锐角互余,那么这个三角形是直角三角形 真
【知识点】
逆命题的改写，直角三角形判定，命题真假判断
【点评】
本题属于基础题型，核心考查命题相关的基础概念，解题关键是准确拆分原命题的条件和结论，结合三角形内角和定理即可快速判断命题真假，主要检验学生对基础知识的掌握程度。
【难度系数】
0.8
8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A=30°$,$BC=4$,则$AC$的长为
$4\sqrt{3}$
.答案
$4\sqrt{3}$
解析
【分析】
这道题是含30°角的直角三角形边长计算问题，解题思路分为两步：第一步先利用30°直角三角形的特殊性质求出斜边长度，第二步再用勾股定理计算未知直角边AC的长度。首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°，BC是30°角对应的直角边，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可先求出斜边AB的长，再结合勾股定理，代入已知数值就能算出AC的长度。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4
∴ 30°角所对的直角边BC等于斜边AB的一半，即$AB=2BC=2×4=8$
根据勾股定理：$AC^2 + BC^2 = AB^2$
∴ $AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{8^2 - 4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
30°直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，主要考查直角三角形基础性质的应用，解题关键是熟练掌握30°直角三角形的边长关系和勾股定理的用法，计算时注意二次根式的化简即可。
【难度系数】
0.8
这道题是含30°角的直角三角形边长计算问题，解题思路分为两步：第一步先利用30°直角三角形的特殊性质求出斜边长度，第二步再用勾股定理计算未知直角边AC的长度。首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°，BC是30°角对应的直角边，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可先求出斜边AB的长，再结合勾股定理，代入已知数值就能算出AC的长度。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4
∴ 30°角所对的直角边BC等于斜边AB的一半，即$AB=2BC=2×4=8$
根据勾股定理：$AC^2 + BC^2 = AB^2$
∴ $AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{8^2 - 4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
30°直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，主要考查直角三角形基础性质的应用，解题关键是熟练掌握30°直角三角形的边长关系和勾股定理的用法，计算时注意二次根式的化简即可。
【难度系数】
0.8
9. 如图，$BE ⊥ AC$，$CF ⊥ AB$，若$BE=CF$，$∠ EBC=20°$，则$∠ A$的度数为
$40°$
。答案
$40°$
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：已知两条边上的高BE、CF相等，首先利用斜边直角边定理（HL）证明Rt△BCE和Rt△CBF全等，得到对应角相等，再结合直角三角形两锐角互余求出△ABC的两个底角的度数，最后利用三角形内角和定理计算∠A的度数。
【解析】
∵ BE⊥AC，CF⊥AB，
∴ ∠BEC=∠CFB=90°。
在Rt△BCE和Rt△CBF中，
$\{\begin{array}{l}BC=CB\\BE=CF\end{array} $
∴ Rt△BCE≌Rt△CBF（HL），
∴ ∠FCB=∠EBC=20°。
在Rt△BCE中，∠ACB=90°-∠EBC=90°-20°=70°，
在Rt△CBF中，∠ABC=90°-∠FCB=90°-20°=70°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°。
【答案】
$40°$
【知识点】
直角三角形全等的判定；直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是先证明两个直角三角形全等得到角的等量关系，再结合直角三角形和三角形内角和的性质逐步推导，考查了基础的几何推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：已知两条边上的高BE、CF相等，首先利用斜边直角边定理（HL）证明Rt△BCE和Rt△CBF全等，得到对应角相等，再结合直角三角形两锐角互余求出△ABC的两个底角的度数，最后利用三角形内角和定理计算∠A的度数。
【解析】
∵ BE⊥AC，CF⊥AB，
∴ ∠BEC=∠CFB=90°。
在Rt△BCE和Rt△CBF中，
$\{\begin{array}{l}BC=CB\\BE=CF\end{array} $
∴ Rt△BCE≌Rt△CBF（HL），
∴ ∠FCB=∠EBC=20°。
在Rt△BCE中，∠ACB=90°-∠EBC=90°-20°=70°，
在Rt△CBF中，∠ABC=90°-∠FCB=90°-20°=70°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°。
【答案】
$40°$
【知识点】
直角三角形全等的判定；直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是先证明两个直角三角形全等得到角的等量关系，再结合直角三角形和三角形内角和的性质逐步推导，考查了基础的几何推理能力。
【难度系数】
0.7
