登录
10. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,BC=16,D 是 AC 上一点,CD=3,点 P 从 B 点出发沿射线 BC 方向以每秒 2 个单位长度的速度向右运动.设点 P 的运动时间为 t s,连接 AP.
(1)当 t=3 时,AP=
(2)过点 D 作 DE⊥AP 于点 E,在点 P 运动的过程中,当 t=
(1)当 t=3 时,AP=
$2\sqrt{41}$
;(2)过点 D 作 DE⊥AP 于点 E,在点 P 运动的过程中,当 t=
5或11
时,DE=CD.答案
(1)$2\sqrt{41}$ (2)5或11
解析
【分析】
(1) 求解t=3时的AP长度，先根据点P的运动速度算出BP的长度，再求出PC的长度，最后在Rt△ACP中利用勾股定理计算即可。
(2) 已知DE=CD=3，DE⊥AP，∠ACB=90°，可以通过△ADP面积的两种表示方法建立PC和AP的等量关系：△ADP的面积既等于△APC面积减去△DPC面积，也等于以AP为底、DE为高的三角形面积，联立等式求出PC长度后，分点P在点C左侧、右侧两种情况计算运动时间t即可。
【解析】
(1) 当t=3时，点P的运动路程$BP=2×3=6$，
∵ $BC=16$，
∴ $PC=BC-BP=16-6=10$，
在Rt△ACP中，∠ACB=90°，$AC=8$，$PC=10$，
由勾股定理得：$AP=\sqrt{AC^2+PC^2}=\sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$。
(2) 由题意得$CD=3$，则$DE=CD=3$，$AD=AC-CD=8-3=5$，设PC的长度为$x$：
△ADP的面积 = △APC的面积 - △DPC的面积，
即$S_{△ ADP}=\frac{1}{2}×PC×AC - \frac{1}{2}×PC×CD=\frac{1}{2}x×8 - \frac{1}{2}x×3=2.5x$，
又
∵ $DE⊥AP$，
∴ $S_{△ ADP}=\frac{1}{2}×AP×DE=\frac{1}{2}×AP×3=1.5AP$，
∴ $2.5x=1.5AP$，整理得$AP=\frac{5}{3}x$，
在Rt△ACP中，由勾股定理得$AP^2=AC^2+PC^2$，代入$AP=\frac{5}{3}x$、$AC=8$得：
$(\frac{5}{3}x)^2=8^2+x^2$，
化简得$16x^2=576$，解得$x=6$（长度为正，舍去负解），
分两种情况讨论：
① 点P在点C左侧时：$PC=6$，$BP=BC-PC=16-6=10$，$t=10÷2=5$；
② 点P在点C右侧时：$PC=6$，$BP=BC+PC=16+6=22$，$t=22÷2=11$。
综上，t的值为5或11。
【答案】
(1)$2\sqrt{41}$；(2)5或11
【知识点】
勾股定理，动点问题，三角形面积计算
【点评】
本题结合动点考查直角三角形的相关计算，解题时要注意点P沿射线运动，需分两种情况讨论，避免漏解，灵活运用三角形面积的不同表示方法可简化计算。
【难度系数】
0.6
(1) 求解t=3时的AP长度，先根据点P的运动速度算出BP的长度，再求出PC的长度，最后在Rt△ACP中利用勾股定理计算即可。
(2) 已知DE=CD=3，DE⊥AP，∠ACB=90°，可以通过△ADP面积的两种表示方法建立PC和AP的等量关系：△ADP的面积既等于△APC面积减去△DPC面积，也等于以AP为底、DE为高的三角形面积，联立等式求出PC长度后，分点P在点C左侧、右侧两种情况计算运动时间t即可。
【解析】
(1) 当t=3时，点P的运动路程$BP=2×3=6$，
∵ $BC=16$，
∴ $PC=BC-BP=16-6=10$，
在Rt△ACP中，∠ACB=90°，$AC=8$，$PC=10$，
由勾股定理得：$AP=\sqrt{AC^2+PC^2}=\sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$。
(2) 由题意得$CD=3$，则$DE=CD=3$，$AD=AC-CD=8-3=5$，设PC的长度为$x$：
△ADP的面积 = △APC的面积 - △DPC的面积，
即$S_{△ ADP}=\frac{1}{2}×PC×AC - \frac{1}{2}×PC×CD=\frac{1}{2}x×8 - \frac{1}{2}x×3=2.5x$，
又
∵ $DE⊥AP$，
∴ $S_{△ ADP}=\frac{1}{2}×AP×DE=\frac{1}{2}×AP×3=1.5AP$，
∴ $2.5x=1.5AP$，整理得$AP=\frac{5}{3}x$，
在Rt△ACP中，由勾股定理得$AP^2=AC^2+PC^2$，代入$AP=\frac{5}{3}x$、$AC=8$得：
$(\frac{5}{3}x)^2=8^2+x^2$，
化简得$16x^2=576$，解得$x=6$（长度为正，舍去负解），
分两种情况讨论：
① 点P在点C左侧时：$PC=6$，$BP=BC-PC=16-6=10$，$t=10÷2=5$；
② 点P在点C右侧时：$PC=6$，$BP=BC+PC=16+6=22$，$t=22÷2=11$。
综上，t的值为5或11。
【答案】
(1)$2\sqrt{41}$；(2)5或11
【知识点】
勾股定理，动点问题，三角形面积计算
【点评】
本题结合动点考查直角三角形的相关计算，解题时要注意点P沿射线运动，需分两种情况讨论，避免漏解，灵活运用三角形面积的不同表示方法可简化计算。
【难度系数】
0.6
11. 如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=62°,CE平分∠ACB.
(1)求∠ACE的度数；
(2)若CD⊥AB于点D,∠CDF=74°,求证:△CFD是直角三角形.
(1)求∠ACE的度数；
(2)若CD⊥AB于点D,∠CDF=74°,求证:△CFD是直角三角形.
答案
解:(1)在$△ ABC$中,$\because ∠ A=30°, ∠ B=62°, \therefore ∠ ACB=180°-(∠ A+∠ B)=180°-(30°+62°)=88°. \because CE$平分$∠ ACB$,
$\therefore ∠ ACE=∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ACB=44°$.
(2)证明:$\because CD ⊥ AB, \therefore ∠ CDB=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$∠ B=62°, \therefore ∠ BCD=90°-∠ B=90°-62°=28°$. 由(1)知,$∠ BCE=44°, \therefore ∠ DCF=∠ BCE-∠ BCD=44°-28°=16°$. 在$△ CFD$中,
$∠ CDF=74°, \therefore ∠ CFD=180°-(∠ DCF+∠ CDF)=180°-(16°+74°)=90°. \therefore △ CFD$是直角三角形.
$\therefore ∠ ACE=∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ACB=44°$.
(2)证明:$\because CD ⊥ AB, \therefore ∠ CDB=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$∠ B=62°, \therefore ∠ BCD=90°-∠ B=90°-62°=28°$. 由(1)知,$∠ BCE=44°, \therefore ∠ DCF=∠ BCE-∠ BCD=44°-28°=16°$. 在$△ CFD$中,
$∠ CDF=74°, \therefore ∠ CFD=180°-(∠ DCF+∠ CDF)=180°-(16°+74°)=90°. \therefore △ CFD$是直角三角形.
解析
【分析】
(1) 求∠ACE的度数时，首先利用三角形内角和为180°的性质，结合已知的∠A、∠B的度数，先算出∠ACB的总度数；再根据CE是∠ACB的角平分线，角平分线会将角分成两个相等的小角，因此∠ACE为∠ACB的一半，代入数值计算即可。
(2) 要证明△CFD是直角三角形，只需证明该三角形内有一个内角为90°即可。首先由CD⊥AB可得∠CDB=90°，在Rt△BCD中可算出∠BCD的度数；结合第一问求出的∠BCE的度数，作差得到∠DCF的度数；最后在△CFD中利用三角形内角和定理计算∠CFD的度数，判断其是否为90°即可完成证明。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，$\because ∠ A=30°, ∠ B=62°$,
$\therefore ∠ ACB=180°-(∠ A+∠ B)=180°-(30°+62°)=88°$.
$\because CE$平分$∠ ACB$,
$\therefore ∠ ACE=∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×88°=44°$.
(2) 证明:$\because CD ⊥ AB, \therefore ∠ CDB=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$∠ B=62°$,
$\therefore ∠ BCD=90°-∠ B=90°-62°=28°$.
由(1)知,$∠ BCE=44°$,
$\therefore ∠ DCF=∠ BCE-∠ BCD=44°-28°=16°$.
在$△ CFD$中,$∠ CDF=74°$,
$\therefore ∠ CFD=180°-(∠ DCF+∠ CDF)=180°-(16°+74°)=90°$.
$\therefore △ CFD$是直角三角形.
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ACE=44°}$；(2) 证明成立，$△ CFD$是直角三角形。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的判定
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题，核心是灵活运用三角形内角和、角平分线、垂直的性质逐步推导角度，计算过程中注意角度的加减运算准确性即可顺利解题。
【难度系数】
0.75
(1) 求∠ACE的度数时，首先利用三角形内角和为180°的性质，结合已知的∠A、∠B的度数，先算出∠ACB的总度数；再根据CE是∠ACB的角平分线，角平分线会将角分成两个相等的小角，因此∠ACE为∠ACB的一半，代入数值计算即可。
(2) 要证明△CFD是直角三角形，只需证明该三角形内有一个内角为90°即可。首先由CD⊥AB可得∠CDB=90°，在Rt△BCD中可算出∠BCD的度数；结合第一问求出的∠BCE的度数，作差得到∠DCF的度数；最后在△CFD中利用三角形内角和定理计算∠CFD的度数，判断其是否为90°即可完成证明。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，$\because ∠ A=30°, ∠ B=62°$,
$\therefore ∠ ACB=180°-(∠ A+∠ B)=180°-(30°+62°)=88°$.
$\because CE$平分$∠ ACB$,
$\therefore ∠ ACE=∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×88°=44°$.
(2) 证明:$\because CD ⊥ AB, \therefore ∠ CDB=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$∠ B=62°$,
$\therefore ∠ BCD=90°-∠ B=90°-62°=28°$.
由(1)知,$∠ BCE=44°$,
$\therefore ∠ DCF=∠ BCE-∠ BCD=44°-28°=16°$.
在$△ CFD$中,$∠ CDF=74°$,
$\therefore ∠ CFD=180°-(∠ DCF+∠ CDF)=180°-(16°+74°)=90°$.
$\therefore △ CFD$是直角三角形.
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ACE=44°}$；(2) 证明成立，$△ CFD$是直角三角形。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的判定
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题，核心是灵活运用三角形内角和、角平分线、垂直的性质逐步推导角度，计算过程中注意角度的加减运算准确性即可顺利解题。
【难度系数】
0.75
12. 某校开展劳动教育课程,并取得了丰硕成果. 如图, $△ BCD$ 是学校开垦的一块学生劳动实践基地,现计划对基地进行扩建,点A位于$△ BCD$上方,连接AB,AD,形成扩建区域(图中阴影部分),为方便灌溉,计划修建灌溉渠AH(灌溉渠宽度忽略不计),$AH ⊥ BD$于点H,经测量:$CD=6\ \mathrm{m}$,$BD=10\ \mathrm{m}$,$AB=AD=13\ \mathrm{m}$,$BC=8\ \mathrm{m}$.
(1)试说明:$∠ BCD=90°$;
(2)求扩建区域(阴影部分)的面积.
(1)试说明:$∠ BCD=90°$;
(2)求扩建区域(阴影部分)的面积.
答案
解:(1)$\because CD=6\ \mathrm{m}, BD=10\ \mathrm{m}, BC=8\ \mathrm{m}, 6^2+8^2=10^2, \therefore CD^2+BC^2=BD^2. \therefore △ BCD$是直角三角形,且$∠ BCD=90°$.
(2)$\because AH ⊥ BD, AB=AD=13\ \mathrm{m}, BD=10\ \mathrm{m}, \therefore ∠ AHB=90°$,
$BH=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{m}. \therefore AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12(\mathrm{m}). \therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABD}-S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BD· AH-\frac{1}{2}BC· CD=\frac{1}{2}×10×12-\frac{1}{2}×8×6=60-24=36(\mathrm{m}^2)$.
(2)$\because AH ⊥ BD, AB=AD=13\ \mathrm{m}, BD=10\ \mathrm{m}, \therefore ∠ AHB=90°$,
$BH=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{m}. \therefore AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12(\mathrm{m}). \therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABD}-S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BD· AH-\frac{1}{2}BC· CD=\frac{1}{2}×10×12-\frac{1}{2}×8×6=60-24=36(\mathrm{m}^2)$.
解析
【分析】
(1) 要证明∠BCD=90°，已知△BCD的三边长，可通过勾股定理的逆定理验证：若三角形两条短边的平方和等于长边的平方，则该三角形为直角三角形，长边对应的角就是直角。
(2) 阴影部分面积为△ABD与△BCD的面积差。首先△ABD是等腰三角形，AH⊥BD，根据等腰三角形三线合一可求出BH的长度，再用勾股定理算出AH的长度，就能求得△ABD的面积；△BCD是(1)中已证的直角三角形，直接用两条直角边计算其面积，二者作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
(1) 已知$CD=6\ \mathrm{m}$，$BC=8\ \mathrm{m}$，$BD=10\ \mathrm{m}$，
计算可得：$CD^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100$，$BD^2=10^2=100$，
∴$CD^2+BC^2=BD^2$，
根据勾股定理的逆定理，$△ BCD$是直角三角形，且最长边$BD$对应的角为$∠ BCD$，即$∠ BCD=90°$。
(2)
∵$AB=AD=13\ \mathrm{m}$，$AH⊥ BD$，
∴$△ ABD$为等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质可得，$H$是$BD$的中点，$∠ AHB=90°$，
∴$BH=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ AHB$中，由勾股定理得：
$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12\ \mathrm{m}$，
阴影部分面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABD}-S_{△ BCD}$
$=\frac{1}{2}× BD× AH-\frac{1}{2}× BC× CD$
$=\frac{1}{2}×10×12-\frac{1}{2}×8×6$
$=60-24=36\ \mathrm{m}^2$
【答案】
(1) 已证$∠ BCD=90°$；
(2) 扩建区域的面积为$\boxed{36\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查几何知识的应用，解题核心是熟练运用勾股定理及其逆定理、等腰三角形的性质，将所求面积转化为两个三角形的面积差求解，是几何基础应用类的典型题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠BCD=90°，已知△BCD的三边长，可通过勾股定理的逆定理验证：若三角形两条短边的平方和等于长边的平方，则该三角形为直角三角形，长边对应的角就是直角。
(2) 阴影部分面积为△ABD与△BCD的面积差。首先△ABD是等腰三角形，AH⊥BD，根据等腰三角形三线合一可求出BH的长度，再用勾股定理算出AH的长度，就能求得△ABD的面积；△BCD是(1)中已证的直角三角形，直接用两条直角边计算其面积，二者作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
(1) 已知$CD=6\ \mathrm{m}$，$BC=8\ \mathrm{m}$，$BD=10\ \mathrm{m}$，
计算可得：$CD^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100$，$BD^2=10^2=100$，
∴$CD^2+BC^2=BD^2$，
根据勾股定理的逆定理，$△ BCD$是直角三角形，且最长边$BD$对应的角为$∠ BCD$，即$∠ BCD=90°$。
(2)
∵$AB=AD=13\ \mathrm{m}$，$AH⊥ BD$，
∴$△ ABD$为等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质可得，$H$是$BD$的中点，$∠ AHB=90°$，
∴$BH=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ AHB$中，由勾股定理得：
$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12\ \mathrm{m}$，
阴影部分面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABD}-S_{△ BCD}$
$=\frac{1}{2}× BD× AH-\frac{1}{2}× BC× CD$
$=\frac{1}{2}×10×12-\frac{1}{2}×8×6$
$=60-24=36\ \mathrm{m}^2$
【答案】
(1) 已证$∠ BCD=90°$；
(2) 扩建区域的面积为$\boxed{36\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查几何知识的应用，解题核心是熟练运用勾股定理及其逆定理、等腰三角形的性质，将所求面积转化为两个三角形的面积差求解，是几何基础应用类的典型题。
【难度系数】
0.7
