13. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D,E,F$分别在$AB,BC,AC$上,且$BE=CF$,$AD+EC=AB$.
(1)求证:$△ DEF$是等腰三角形;
(2)用反证法证明:$△ DEF$不可能是直角三角形.

证明:(1)
∵ AD+EC = AB = AD+DB,
∴ EC = DB. 又
∵ AB = AC,
∴ ∠B = ∠C. 在△BED 与△CFE 中,$\begin{cases} BD=CE, \\ ∠B=∠C, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴ △BED≌
△CFE(SAS).
∴ DE=EF.
∴ △DEF 是等腰三角形.
(2)假设△DEF 是直角三角形,则∠DEF = 90°.
∴ ∠BED +
∠CEF = 90°. 由(1)得,△BED ≌△CFE,
∴ ∠BDE = ∠CEF.
∴ ∠BED+∠BDE=90°.
∴ ∠B=90°.
∴ ∠C=90.
∴ ∠A+∠B+
∠C＞180°.这与三角形的内角和定理矛盾,
∴ △DEF 不可能
是直角三角形.

【分析】
(1)要证$△ DEF$是等腰三角形，核心是证明两条边相等，目标推导$DE=EF$，可通过证明$△ BED$和$△ CFE$全等实现。首先利用$AB=AD+DB$，结合已知$AD+EC=AB$，可推出$BD=EC$；再由$AB=AC$得等腰三角形底角$∠ B=∠ C$，结合已知$BE=CF$，即可用SAS判定两三角形全等，得到$DE=EF$。
(2)反证法需先假设结论不成立，即假设$△ DEF$是直角三角形，结合(1)中$△ DEF$是等腰三角形，可知直角只能是顶角$∠ DEF=90°$；再利用全等三角形对应角相等，将角转化推导得出$∠ B=90°$，进而得$∠ C=90°$，此时$△ ABC$内角和超过$180°$，与三角形内角和定理矛盾，即可证明假设不成立，原结论正确。
【解析】
(1)证明：
$\because AD+EC = AB = AD+DB$，
$\therefore EC = DB$，
$\because AB = AC$，
$\therefore ∠ B = ∠ C$，
在$△ BED$与$△ CFE$中：
$\begin{cases} BD=CE, \\ ∠ B=∠ C, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore △ BED≌△ CFE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE=EF$，
$\therefore △ DEF$是等腰三角形。
(2)证明：
假设$△ DEF$是直角三角形，则$∠ DEF = 90°$，
$\therefore ∠ BED +∠ CEF = 90°$，
由(1)得$△ BED ≌△ CFE$，
$\therefore ∠ BDE = ∠ CEF$，
$\therefore ∠ BED+∠ BDE=90°$，
$\therefore ∠ B=180°-(∠ BED+∠ BDE)=90°$，
$\therefore ∠ C=∠ B=90°$，
$\therefore ∠ A+∠ B+∠ C＞180°$，这与三角形的内角和定理矛盾，
$\therefore$假设不成立，$△ DEF$不可能是直角三角形。
【答案】
(1)$△ DEF$是等腰三角形；(2)$△ DEF$不可能是直角三角形，证明过程见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，反证法
【点评】
本题是三角形部分的基础综合题，第一问侧重考查全等三角形的判定和等腰三角形的判定，解题关键是通过已知边的关系推导全等所需的对应边相等；第二问考查反证法的应用，需要掌握反证法“假设结论不成立-推导矛盾-原结论成立”的基本步骤，整体逻辑清晰，是巩固相关知识点的典型习题。
【难度系数】
0.7

14. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$在$△ ABC$内,$BD=BC$,$∠ DBC=60°$,点$E$在$△ ABC$外,$∠ BCE=150°$,$∠ ABE=60°$.
(1)求$∠ ADB$的度数；
(2)判断$△ ABE$的形状并加以证明.

解:(1)
∵ BD = BC,∠DBC = 60°,
∴ △DBC 是等边三角形.
∴ DB=DC,∠BDC= ∠DBC= ∠DCB=60°. 在△ADB 和△ADC
中,$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AD, \\ DB=DC, \end{cases}$
∴ △ADB ≌△ADC (SSS).
∴ ∠ADB = ∠ADC.
∴ ∠ADB=$\frac{1}{2}$×(360°-60°)=150°.
(2)△ABE 是等边三角形,理由如下:
∵ ∠ABE= ∠DBC=60°,
∴ ∠ABD=∠CBE. 在△ABD 和△EBC 中,$\begin{cases} ∠ADB=∠BCE=150°, \\ BD=BC, \\ ∠ABD=∠CBE, \end{cases}$
∴ △ABD ≌△EBC (ASA).
∴ AB = BE.
∵ ∠ABE= 60°,
∴ △ABE 是等边三角形.

【分析】
(1) 求解∠ADB的度数时，首先由已知BD=BC、∠DBC=60°，可先判定△DBC是等边三角形，得到DB=DC；再结合AB=AC、AD为公共边，可通过SSS证明△ADB≌△ADC，得到∠ADB=∠ADC，最后结合周角为360°，减去等边三角形的∠BDC=60°，平分剩余角度即可求得∠ADB。
(2) 判断△ABE的形状时，已知∠ABE=60°，只需证明AB=BE即可判定其为等边三角形：先通过角度转化得到∠ABD=∠CBE，再结合第一问得到的∠ADB=∠BCE=150°、BD=BC，通过ASA证明△ABD≌△EBC，即可得到AB=BE，进而判定三角形形状。
【解析】
(1)
∵ BD = BC，∠DBC = 60°，
∴ △DBC 是等边三角形，
∴ DB=DC，∠BDC= ∠DBC= ∠DCB=60°。
在△ADB 和△ADC中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AD, \\ DB=DC, \end{cases}$
∴ △ADB ≌△ADC (SSS)，
∴ ∠ADB = ∠ADC，
∴ ∠ADB=$\frac{1}{2}$×(360°-∠BDC)=$\frac{1}{2}$×(360°-60°)=150°。
(2) △ABE 是等边三角形，证明如下：
∵ ∠ABE= ∠DBC=60°，
∴ ∠ABE - ∠DBE = ∠DBC - ∠DBE，即∠ABD=∠CBE。
在△ABD 和△EBC 中，
$\begin{cases} ∠ADB=∠BCE=150°, \\ BD=BC, \\ ∠ABD=∠CBE, \end{cases}$
∴ △ABD ≌△EBC (ASA)，
∴ AB = BE，
又
∵ ∠ABE= 60°，
∴ △ABE 是等边三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{150°}$；(2) $\boldsymbol{△ ABE}$是等边三角形
【知识点】
等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形综合基础题，解题的核心是从已知的等线段、特殊角度出发，灵活转化条件推导全等关系，再结合特殊三角形的判定定理得出结论，能够有效锻炼几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7