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1.（甘肃中考）如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，连接BD，若$∠ ABC=70°$，则$∠ BDC$的度数为（
A.$20°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$70°$
C
）A.$20°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$70°$
答案
1.C
解析
【分析】
解题可分为两步思考：第一步，根据已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，结合等弧对等弦的性质，可得AB=BC，即△ABC为等腰三角形，已知顶角∠ABC的度数，即可求出底角∠BAC的度数；第二步，观察发现∠BAC和∠BDC都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等的性质，即可得到∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴AB=BC（等弧对等弦），△ABC为等腰三角形。
∵∠ABC=70°，
∴$∠ BAC=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$。
∵∠BAC与∠BDC均为$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴∠BDC=∠BAC=55°（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
C
【知识点】
等弧的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是找到等弧对应的等腰三角形，再结合圆周角定理建立已知角和未知角的联系，整体计算量小，思路较直接。
【难度系数】
0.7
解题可分为两步思考：第一步，根据已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，结合等弧对等弦的性质，可得AB=BC，即△ABC为等腰三角形，已知顶角∠ABC的度数，即可求出底角∠BAC的度数；第二步，观察发现∠BAC和∠BDC都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等的性质，即可得到∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴AB=BC（等弧对等弦），△ABC为等腰三角形。
∵∠ABC=70°，
∴$∠ BAC=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$。
∵∠BAC与∠BDC均为$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴∠BDC=∠BAC=55°（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
C
【知识点】
等弧的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是找到等弧对应的等腰三角形，再结合圆周角定理建立已知角和未知角的联系，整体计算量小，思路较直接。
【难度系数】
0.7
2. 已知圆内接四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C=9:8:3，则∠D的度数为 （
A.$15°$
B.$120°$
C.$30°$
D.$60°$
D
）A.$15°$
B.$120°$
C.$30°$
D.$60°$
答案
2.D
解析
【分析】
解决本题首先要回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补。已知三个角的比例关系，我们可以通过设每份角度为未知数，先利用∠A和∠C互补的关系求出未知数的值，再通过∠B和∠D互补求出∠D的度数，具体思路：①设每份角度为x，用含x的式子表示三个已知角；②根据∠A+∠C=180°列方程求x；③求出∠B的度数；④根据∠B+∠D=180°计算∠D。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°（圆内接四边形对角互补）。
已知∠A:∠B:∠C=9:8:3，设∠A=9x，∠B=8x，∠C=3x，
则9x+3x=180°，
解得x=15°，
∴∠B=8x=8×15°=120°，
∴∠D=180°-∠B=180°-120°=60°。
【答案】
D
【知识点】
1.圆内接四边形的性质
2.比例角度计算
【点评】
本题是基础类考题，核心考查圆内接四边形对角互补的性质，解题的关键是结合已知的角度比例设未知数，通过对角互补的关系建立方程求解，掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补。已知三个角的比例关系，我们可以通过设每份角度为未知数，先利用∠A和∠C互补的关系求出未知数的值，再通过∠B和∠D互补求出∠D的度数，具体思路：①设每份角度为x，用含x的式子表示三个已知角；②根据∠A+∠C=180°列方程求x；③求出∠B的度数；④根据∠B+∠D=180°计算∠D。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°（圆内接四边形对角互补）。
已知∠A:∠B:∠C=9:8:3，设∠A=9x，∠B=8x，∠C=3x，
则9x+3x=180°，
解得x=15°，
∴∠B=8x=8×15°=120°，
∴∠D=180°-∠B=180°-120°=60°。
【答案】
D
【知识点】
1.圆内接四边形的性质
2.比例角度计算
【点评】
本题是基础类考题，核心考查圆内接四边形对角互补的性质，解题的关键是结合已知的角度比例设未知数，通过对角互补的关系建立方程求解，掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3. 如图，点A，B，C在$\odot O$上，若$∠ C=110°$，则$∠ AOB$等于 （
A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$140°$
D
）A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$140°$
答案
3.D
解析
【分析】
要解决本题，首先明确已知角和待求角分别对应的弧：∠C是圆周角，对应优弧AB；待求的∠AOB是圆心角，对应劣弧AB。首先根据圆周角定理求出优弧AB对应的圆心角度数，再结合周角为360°，即可求出劣弧AB对应的∠AOB的度数。
【解析】
∵ ∠ACB是⊙O中优弧AB所对的圆周角
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
∴ 优弧AB所对的圆心角 = 2×∠ACB = 2×110° = 220°
又
∵ 周角为360°
∴ 劣弧AB所对的圆心角∠AOB = 360° - 220° = 140°
故选D
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；周角的概念
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确判断圆周角所对的弧是优弧还是劣弧，避免直接将已知圆周角的2倍当成所求圆心角，注意概念的准确应用。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确已知角和待求角分别对应的弧：∠C是圆周角，对应优弧AB；待求的∠AOB是圆心角，对应劣弧AB。首先根据圆周角定理求出优弧AB对应的圆心角度数，再结合周角为360°，即可求出劣弧AB对应的∠AOB的度数。
【解析】
∵ ∠ACB是⊙O中优弧AB所对的圆周角
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
∴ 优弧AB所对的圆心角 = 2×∠ACB = 2×110° = 220°
又
∵ 周角为360°
∴ 劣弧AB所对的圆心角∠AOB = 360° - 220° = 140°
故选D
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；周角的概念
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确判断圆周角所对的弧是优弧还是劣弧，避免直接将已知圆周角的2倍当成所求圆心角，注意概念的准确应用。
【难度系数】
0.7
4.如图，AB是半圆O的直径，∠ABD=35°，点C是$\overset{\frown}{BD}$上的一点，则∠C=
125
°。答案
4. 125
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得到Rt△ABD；结合已知∠ABD=35°，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数；再根据圆内接四边形的对角互补，∠BAD与∠C是圆内接四边形的一组对角，即可求出∠C的度数。
【解析】
∵ AB是半圆O的直径
∴ ∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）
在Rt△ABD中，∠ABD=35°
∴ ∠BAD=90°-∠ABD=90°-35°=55°
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形
∴ ∠BAD + ∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）
∴ ∠BCD=180°-55°=125°，即∠C=125°
【答案】
125
【知识点】
直径所对圆周角的性质，圆内接四边形对角互补，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，解题的关键是熟练掌握直径对应的圆周角为直角、圆内接四边形对角互补的性质，通过两步角度计算即可得到结果，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征，AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得到Rt△ABD；结合已知∠ABD=35°，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数；再根据圆内接四边形的对角互补，∠BAD与∠C是圆内接四边形的一组对角，即可求出∠C的度数。
【解析】
∵ AB是半圆O的直径
∴ ∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）
在Rt△ABD中，∠ABD=35°
∴ ∠BAD=90°-∠ABD=90°-35°=55°
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形
∴ ∠BAD + ∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）
∴ ∠BCD=180°-55°=125°，即∠C=125°
【答案】
125
【知识点】
直径所对圆周角的性质，圆内接四边形对角互补，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，解题的关键是熟练掌握直径对应的圆周角为直角、圆内接四边形对角互补的性质，通过两步角度计算即可得到结果，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
5. 在圆内接四边形ABCD中，两内角∠A与∠C的度数比是1:3，则∠C=
135
°。答案
5. 135
解析
【分析】
解题时首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，也就是∠A与∠C作为一组对角，度数和为180°。结合题目给出的∠A和∠C的度数比1:3，我们可以通过设未知数列方程的方式求解：把∠A的度数设为x，∠C的度数就是3x，代入两者和为180°的关系，算出x后就能得到∠C的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质可得：
$∠ A + ∠ C = 180°$
∵$∠ A:∠ C=1:3$，设$∠ A=x$，则$∠ C=3x$，代入上式得：
$x+3x=180°$
解得$x=45°$
∴$∠ C=3x=3×45°=135°$
【答案】
135
【知识点】
圆内接四边形的性质；比例计算
【点评】
本题是基础角度计算题，核心考查圆内接四边形对角互补的性质，结合比例关系即可快速求解，熟练掌握基础几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，也就是∠A与∠C作为一组对角，度数和为180°。结合题目给出的∠A和∠C的度数比1:3，我们可以通过设未知数列方程的方式求解：把∠A的度数设为x，∠C的度数就是3x，代入两者和为180°的关系，算出x后就能得到∠C的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质可得：
$∠ A + ∠ C = 180°$
∵$∠ A:∠ C=1:3$，设$∠ A=x$，则$∠ C=3x$，代入上式得：
$x+3x=180°$
解得$x=45°$
∴$∠ C=3x=3×45°=135°$
【答案】
135
【知识点】
圆内接四边形的性质；比例计算
【点评】
本题是基础角度计算题，核心考查圆内接四边形对角互补的性质，结合比例关系即可快速求解，熟练掌握基础几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
6. 如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线.
（1）求证：$∠ DAB = ∠ DCE$；
（2）若$∠ DAB = 60°$，$∠ ACB = 70°$，求$∠ ABD$的度数.
（1）求证：$∠ DAB = ∠ DCE$；
（2）若$∠ DAB = 60°$，$∠ ACB = 70°$，求$∠ ABD$的度数.
答案
6.（1）证明:
∵ 四边形ABCD内接于圆,
∴ ∠DAB+∠DCB=180°.
∵ ∠DCE+∠DCB=180°,
∴ ∠DAB=∠DCE；
（2）解:
∵ ∠ACB=70°,
∴ ∠ADB=∠ACB=70°.
∴ ∠ABD=180°−60°−70°=50°.
∵ 四边形ABCD内接于圆,
∴ ∠DAB+∠DCB=180°.
∵ ∠DCE+∠DCB=180°,
∴ ∠DAB=∠DCE；
（2）解:
∵ ∠ACB=70°,
∴ ∠ADB=∠ACB=70°.
∴ ∠ABD=180°−60°−70°=50°.
解析
【分析】
（1）要证明∠DAB=∠DCE，首先利用圆内接四边形的性质得到∠DAB与∠DCB互补，再结合∠DCE与∠DCB是邻补角也互补，根据同角的补角相等即可完成证明；
（2）求∠ABD的度数时，先根据同弧所对的圆周角相等，得到∠ADB和∠ACB相等，再在△ABD中利用三角形内角和为180°，减去已知的两个角的度数即可求出结果。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ ∠DAB + ∠DCB = 180°。
∵ ∠DCE + ∠DCB = 180°，
∴ ∠DAB = ∠DCE。
（2）解：
∵ ∠ADB和∠ACB都是弧AB所对的圆周角，
∴ ∠ADB = ∠ACB = 70°。
在△ABD中，根据三角形内角和定理：
∠ABD = 180° − ∠DAB − ∠ADB = 180°−60°−70°=50°。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\boxed{50°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆相关的基础几何题，解题的核心是熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，结合三角形内角和定理即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
（1）要证明∠DAB=∠DCE，首先利用圆内接四边形的性质得到∠DAB与∠DCB互补，再结合∠DCE与∠DCB是邻补角也互补，根据同角的补角相等即可完成证明；
（2）求∠ABD的度数时，先根据同弧所对的圆周角相等，得到∠ADB和∠ACB相等，再在△ABD中利用三角形内角和为180°，减去已知的两个角的度数即可求出结果。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ ∠DAB + ∠DCB = 180°。
∵ ∠DCE + ∠DCB = 180°，
∴ ∠DAB = ∠DCE。
（2）解：
∵ ∠ADB和∠ACB都是弧AB所对的圆周角，
∴ ∠ADB = ∠ACB = 70°。
在△ABD中，根据三角形内角和定理：
∠ABD = 180° − ∠DAB − ∠ADB = 180°−60°−70°=50°。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\boxed{50°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆相关的基础几何题，解题的核心是熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，结合三角形内角和定理即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
7. (泸州中考)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,BD为$\odot O$的直径.若$AB=AC$,$∠ ACB=70°$,则$∠ CBD=$ (
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
第7题 第8题
B
)A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
第7题 第8题
答案
7.B
解析
【分析】
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，先求出∠BAC的度数；再利用同弧所对的圆周角相等，得到∠BDC的度数；最后结合BD是直径的条件，利用直径所对圆周角为直角，在直角三角形中利用两锐角互余即可求出∠CBD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠ACB=70°，
∴∠ABC=∠ACB=70°（等腰三角形等边对等角），
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°。
∵∠BAC和∠BDC都是弧BC所对的圆周角，
∴∠BDC=∠BAC=40°（同弧所对的圆周角相等）。
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△BCD中，∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠CBD=90°-∠BDC=90°-40°=50°。
故选B。
【答案】B
【知识点】
等腰三角形的性质；圆周角定理；直径的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，核心是通过圆周角相关性质实现角度的转化，只要掌握相关基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，先求出∠BAC的度数；再利用同弧所对的圆周角相等，得到∠BDC的度数；最后结合BD是直径的条件，利用直径所对圆周角为直角，在直角三角形中利用两锐角互余即可求出∠CBD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠ACB=70°，
∴∠ABC=∠ACB=70°（等腰三角形等边对等角），
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°。
∵∠BAC和∠BDC都是弧BC所对的圆周角，
∴∠BDC=∠BAC=40°（同弧所对的圆周角相等）。
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△BCD中，∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠CBD=90°-∠BDC=90°-40°=50°。
故选B。
【答案】B
【知识点】
等腰三角形的性质；圆周角定理；直径的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，核心是通过圆周角相关性质实现角度的转化，只要掌握相关基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图，$\odot C$经过原点$O$，且与两坐标轴分别交于点$A$，$B$，若点$A$的坐标为$(0,3)$，$M$是第三象限内$\overset{\frown}{OB}$上一点，$∠ BMO=120°$，则$\odot C$的半径为 （
A.$6$
B.$5$
C.$3$
D.$3\sqrt{2}$
C
）A.$6$
B.$5$
C.$3$
D.$3\sqrt{2}$
答案
8.C
解析
【分析】
解题时首先观察到坐标轴夹角为直角，∠AOB=90°，根据圆周角定理的推论可判断AB是⊙C的直径；再利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠BMO=120°求出∠BAO的度数；最后在Rt△ABO中，利用直角三角形30°角的性质求出直径AB的长度，除以2即可得到圆的半径。
【解析】
1. 确定直径：
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOB=90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可得AB是⊙C的直径。
2. 求∠BAO的度数：
∵四边形ABMO是⊙C的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，得∠BMO + ∠BAO = 180°。
已知∠BMO=120°，
∴∠BAO=180°-120°=60°。
3. 求直径长度：在Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠BAO=60°，
∴∠ABO=30°。
∵点A坐标为(0,3)，
∴OA=3。
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得OA=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=2OA=2×3=6。
4. 求半径：⊙C的半径为AB÷2=6÷2=3。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理推论；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是先判断出直径，再结合圆内接四边形的性质推导角的度数，进而利用直角三角形的性质求出直径，整体思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到坐标轴夹角为直角，∠AOB=90°，根据圆周角定理的推论可判断AB是⊙C的直径；再利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠BMO=120°求出∠BAO的度数；最后在Rt△ABO中，利用直角三角形30°角的性质求出直径AB的长度，除以2即可得到圆的半径。
【解析】
1. 确定直径：
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOB=90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可得AB是⊙C的直径。
2. 求∠BAO的度数：
∵四边形ABMO是⊙C的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，得∠BMO + ∠BAO = 180°。
已知∠BMO=120°，
∴∠BAO=180°-120°=60°。
3. 求直径长度：在Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠BAO=60°，
∴∠ABO=30°。
∵点A坐标为(0,3)，
∴OA=3。
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得OA=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=2OA=2×3=6。
4. 求半径：⊙C的半径为AB÷2=6÷2=3。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理推论；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是先判断出直径，再结合圆内接四边形的性质推导角的度数，进而利用直角三角形的性质求出直径，整体思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
