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9. 已知半径为5的$\odot O$中，弦$AB=5\sqrt{2}$，弦$AC=5$，则$∠ BAC$的度数是 （
A.$15°$
B.$210°$
C.$105°$或$15°$
D.$210°$或$30°$
C
）A.$15°$
B.$210°$
C.$105°$或$15°$
D.$210°$或$30°$
答案
9. C
解析
【分析】
解题时首先连接圆心与A、B、C三点，利用圆半径相等的性质构造三角形，先分别求出∠OAB和∠OAC的度数；由于弦AB、AC与圆心的位置关系不确定，存在同侧和异侧两种情况，需分类讨论计算∠BAC的度数，避免漏解。
【解析】
连接OA、OB、OC，
∵⊙O半径为5，
∴OA=OB=OC=5。
1. 在△OAC中，OA=OC=AC=5，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠OAC=60°。
2. 在△OAB中，OA=OB=5，AB=5√2，
计算得$OA^2+OB^2=5^2+5^2=50$，$AB^2=(5\sqrt{2})^2=50$，
∴$OA^2+OB^2=AB^2$，即△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°。
3. 分两种情况讨论：
① 当AB、AC在OA的两侧时，$∠ BAC=∠ OAC+∠ OAB=60°+45°=105°$；
② 当AB、AC在OA的同侧时，$∠ BAC=∠ OAC-∠ OAB=60°-45°=15°$。
综上，∠BAC的度数为105°或15°。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本性质；等腰三角形判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略两条弦的位置不确定性导致漏解，解题时结合三角形相关性质计算角度，只要考虑全面就能顺利得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先连接圆心与A、B、C三点，利用圆半径相等的性质构造三角形，先分别求出∠OAB和∠OAC的度数；由于弦AB、AC与圆心的位置关系不确定，存在同侧和异侧两种情况，需分类讨论计算∠BAC的度数，避免漏解。
【解析】
连接OA、OB、OC，
∵⊙O半径为5，
∴OA=OB=OC=5。
1. 在△OAC中，OA=OC=AC=5，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠OAC=60°。
2. 在△OAB中，OA=OB=5，AB=5√2，
计算得$OA^2+OB^2=5^2+5^2=50$，$AB^2=(5\sqrt{2})^2=50$，
∴$OA^2+OB^2=AB^2$，即△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°。
3. 分两种情况讨论：
① 当AB、AC在OA的两侧时，$∠ BAC=∠ OAC+∠ OAB=60°+45°=105°$；
② 当AB、AC在OA的同侧时，$∠ BAC=∠ OAC-∠ OAB=60°-45°=15°$。
综上，∠BAC的度数为105°或15°。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本性质；等腰三角形判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略两条弦的位置不确定性导致漏解，解题时结合三角形相关性质计算角度，只要考虑全面就能顺利得出结果。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，$\odot D$经过A，B，O，C四点，$∠ ACO=120°$，$AB=4$，则圆心D的坐标是
$(-\sqrt{3},1)$
。答案
10. $(-\sqrt{3},1)$
解析
【分析】
首先由∠AOB=90°，结合圆周角定理推论可判断AB是⊙D的直径，即D为AB中点，求D的坐标可转化为求AB的中点坐标，因此需要先确定A、B两点的坐标。再利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠ACO=120°求出∠ABO的度数，在Rt△ABO中用三角函数求出AO、BO的长度，得到A、B坐标后，代入中点坐标公式即可算出D的坐标。
【解析】
1. 判定AB为直径
∵∠AOB=90°，且O在⊙D上，
∴AB是⊙D的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），即D是AB的中点。
2. 求∠ABO的度数
∵四边形ABOC是⊙D的内接四边形，
∴∠ABO + ∠ACO = 180°（圆内接四边形对角互补），
已知∠ACO=120°，则∠ABO=180°-120°=60°。
3. 求A、B两点坐标
在Rt△ABO中，AB=4，∠ABO=60°，
∴$BO=AB·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$，
$AO=AB·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
∵A在x轴负半轴，B在y轴正半轴，
∴$A(-2\sqrt{3},0)$，$B(0,2)$。
4. 计算D点坐标
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，
∴D点横坐标为$\frac{-2\sqrt{3}+0}{2}=-\sqrt{3}$，纵坐标为$\frac{0+2}{2}=1$。
【答案】
$(-\sqrt{3},1)$
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形的性质、中点坐标公式
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础综合题，解题的突破口是判断出AB为圆的直径，再结合圆的性质求出直角三角形的边长，整体逻辑链条清晰，需要熟练掌握圆的基本性质和直角三角形的相关计算。
【难度系数】
0.65
首先由∠AOB=90°，结合圆周角定理推论可判断AB是⊙D的直径，即D为AB中点，求D的坐标可转化为求AB的中点坐标，因此需要先确定A、B两点的坐标。再利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠ACO=120°求出∠ABO的度数，在Rt△ABO中用三角函数求出AO、BO的长度，得到A、B坐标后，代入中点坐标公式即可算出D的坐标。
【解析】
1. 判定AB为直径
∵∠AOB=90°，且O在⊙D上，
∴AB是⊙D的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），即D是AB的中点。
2. 求∠ABO的度数
∵四边形ABOC是⊙D的内接四边形，
∴∠ABO + ∠ACO = 180°（圆内接四边形对角互补），
已知∠ACO=120°，则∠ABO=180°-120°=60°。
3. 求A、B两点坐标
在Rt△ABO中，AB=4，∠ABO=60°，
∴$BO=AB·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$，
$AO=AB·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
∵A在x轴负半轴，B在y轴正半轴，
∴$A(-2\sqrt{3},0)$，$B(0,2)$。
4. 计算D点坐标
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，
∴D点横坐标为$\frac{-2\sqrt{3}+0}{2}=-\sqrt{3}$，纵坐标为$\frac{0+2}{2}=1$。
【答案】
$(-\sqrt{3},1)$
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形的性质、中点坐标公式
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础综合题，解题的突破口是判断出AB为圆的直径，再结合圆的性质求出直角三角形的边长，整体逻辑链条清晰，需要熟练掌握圆的基本性质和直角三角形的相关计算。
【难度系数】
0.65
11. 如图，四边形ABCD的顶点都在$\odot O$上，$AC⊥ BD$于点$P$，$OE⊥ AB$于点$E$。若$OE=1.5$，则$CD=$
3
。答案
11. 3
解析
【分析】
解题时先通过构造辅助线转化线段关系，结合圆的性质与三角形知识求解：1. 作直径AF，连接BF，利用直径所对圆周角为直角、垂径定理可判定OE是△ABF的中位线，得到BF=2OE；2. 结合AC⊥BD的垂直关系，利用同弧所对圆周角相等推出等角的余角相等，进而得到弧CD=弧BF，即可推出CD=BF，求出CD的长度。
【解析】
解：作⊙O的直径AF，连接BF。
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ABF=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵OE⊥AB且OE过圆心O，根据垂径定理得E是AB的中点。
又
∵O是AF的中点，
∴OE是△ABF的中位线，
∴BF=2OE=2×1.5=3。
∵AC⊥BD，
∴∠APD=90°，即∠PAD + ∠ADP=90°。
在Rt△ABF中，∠BAF + ∠F=90°。
∵∠ADP和∠F都是弧AB所对的圆周角，
∴∠ADP=∠F，
∴∠PAD=∠BAF（等角的余角相等）。
∵∠PAD对应弧CD，∠BAF对应弧BF，
∴弧CD=弧BF（相等的圆周角所对的弧相等），
∴CD=BF=3。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆中线段求解的典型题型，解题关键是合理构造直径作为辅助线，通过圆周角的等量关系完成弦长的转化，综合度适中，能很好地考查圆的基本性质的应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先通过构造辅助线转化线段关系，结合圆的性质与三角形知识求解：1. 作直径AF，连接BF，利用直径所对圆周角为直角、垂径定理可判定OE是△ABF的中位线，得到BF=2OE；2. 结合AC⊥BD的垂直关系，利用同弧所对圆周角相等推出等角的余角相等，进而得到弧CD=弧BF，即可推出CD=BF，求出CD的长度。
【解析】
解：作⊙O的直径AF，连接BF。
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ABF=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵OE⊥AB且OE过圆心O，根据垂径定理得E是AB的中点。
又
∵O是AF的中点，
∴OE是△ABF的中位线，
∴BF=2OE=2×1.5=3。
∵AC⊥BD，
∴∠APD=90°，即∠PAD + ∠ADP=90°。
在Rt△ABF中，∠BAF + ∠F=90°。
∵∠ADP和∠F都是弧AB所对的圆周角，
∴∠ADP=∠F，
∴∠PAD=∠BAF（等角的余角相等）。
∵∠PAD对应弧CD，∠BAF对应弧BF，
∴弧CD=弧BF（相等的圆周角所对的弧相等），
∴CD=BF=3。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆中线段求解的典型题型，解题关键是合理构造直径作为辅助线，通过圆周角的等量关系完成弦长的转化，综合度适中，能很好地考查圆的基本性质的应用能力。
【难度系数】
0.6
12. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，点A在以BC为直径的半圆内. 请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留作图痕迹,不写作法).
(1) 在图①中作弦$EF$，使$EF// BC$；
(2) 在图②中以BC为一边作一个$45°$的圆周角.
(1) 在图①中作弦$EF$，使$EF// BC$；
(2) 在图②中以BC为一边作一个$45°$的圆周角.
答案
12. (1) 解:如图①,延长 CA,BA 分别交半圆于点 E,F,连接 EF,则 EF 就是所求的弦；
(2) 如图②,延长 CA,BA 分别交半圆于点 H,G,连接 BH,CG 并延长相交于点 P,连接 AP 交半圆于点 Q,连接 CQ 或 BQ,则$∠BCQ$或$∠CBQ$就是所求的圆周角.
解析
【分析】
(1) 要作平行于BC的弦EF，可利用“同位角相等，两直线平行”的判定思路。已知AB=AC，△ABC为等腰三角形，底角∠ABC=∠ACB。延长BA、CA分别与半圆相交得到F、E两点，根据圆内接四边形的外角等于内对角，可得∠AEF=∠ABC，得到相等的同位角，即可推出EF//BC。
(2) 要作45°的圆周角，根据圆周角定理，45°的圆周角对应90°的弧。BC是直径对应180°的弧，因此只需找到BC的垂直平分线与半圆的交点，该点将半圆分为两段90°的弧，即可得到45°的圆周角。利用直径所对的圆周角是直角，可得到△PBC的两条高，两高交点为三角形垂心，因此过交点和A的直线就是BC的垂线，与半圆交于Q，即可得到所求的45°圆周角。
【解析】
(1) 分别延长BA、CA，交半圆于点F、E，连接EF。
因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB；根据圆内接四边形的外角等于内对角，可得∠AEF=∠ABC，同位角相等，因此EF//BC，EF即为所求弦。
(2) 分别延长BA、CA，交半圆于点G、H，连接BH、CG并延长，两线交于点P，连接AP交半圆于点Q，连接CQ（或BQ）。
因为BC为直径，所以∠BHC=∠BGC=90°，即BH、CG是△PBC的两条高，三角形三条高交于一点，故AP为BC边上的高，且AB=AC，因此AP垂直平分BC，可得弧BQ=弧CQ，又∠BQC=90°，△BQC为等腰直角三角形，因此∠BCQ（或∠CBQ）=45°，即为所求圆周角。
【答案】
(1) 延长CA,BA 分别交半圆于点 E,F,连接 EF,则 EF 就是所求的弦；
(2) 延长CA,BA 分别交半圆于点 H,G,连接 BH,CG 并延长相交于点 P,连接 AP 交半圆于点 Q,连接 CQ 或 BQ,则$∠BCQ$或$∠CBQ$就是所求的圆周角.
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形垂心性质
【点评】
本题属于无刻度直尺几何作图题，综合考查了圆和三角形的相关性质，解题时需要结合已知条件挖掘图形的隐含特征，通过性质推导找到作图的依据，对逻辑推理和几何直观能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要作平行于BC的弦EF，可利用“同位角相等，两直线平行”的判定思路。已知AB=AC，△ABC为等腰三角形，底角∠ABC=∠ACB。延长BA、CA分别与半圆相交得到F、E两点，根据圆内接四边形的外角等于内对角，可得∠AEF=∠ABC，得到相等的同位角，即可推出EF//BC。
(2) 要作45°的圆周角，根据圆周角定理，45°的圆周角对应90°的弧。BC是直径对应180°的弧，因此只需找到BC的垂直平分线与半圆的交点，该点将半圆分为两段90°的弧，即可得到45°的圆周角。利用直径所对的圆周角是直角，可得到△PBC的两条高，两高交点为三角形垂心，因此过交点和A的直线就是BC的垂线，与半圆交于Q，即可得到所求的45°圆周角。
【解析】
(1) 分别延长BA、CA，交半圆于点F、E，连接EF。
因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB；根据圆内接四边形的外角等于内对角，可得∠AEF=∠ABC，同位角相等，因此EF//BC，EF即为所求弦。
(2) 分别延长BA、CA，交半圆于点G、H，连接BH、CG并延长，两线交于点P，连接AP交半圆于点Q，连接CQ（或BQ）。
因为BC为直径，所以∠BHC=∠BGC=90°，即BH、CG是△PBC的两条高，三角形三条高交于一点，故AP为BC边上的高，且AB=AC，因此AP垂直平分BC，可得弧BQ=弧CQ，又∠BQC=90°，△BQC为等腰直角三角形，因此∠BCQ（或∠CBQ）=45°，即为所求圆周角。
【答案】
(1) 延长CA,BA 分别交半圆于点 E,F,连接 EF,则 EF 就是所求的弦；
(2) 延长CA,BA 分别交半圆于点 H,G,连接 BH,CG 并延长相交于点 P,连接 AP 交半圆于点 Q,连接 CQ 或 BQ,则$∠BCQ$或$∠CBQ$就是所求的圆周角.
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形垂心性质
【点评】
本题属于无刻度直尺几何作图题，综合考查了圆和三角形的相关性质，解题时需要结合已知条件挖掘图形的隐含特征，通过性质推导找到作图的依据，对逻辑推理和几何直观能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
13. 如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，延长BC至点D，使$DC=CB$，延长DA与$\odot O$的另一个交点为E，连接AC，CE.
（1）求证：$∠ B=∠ D$；
（2）若$AB=4$，$BC-AC=2$，求CE的长.
（1）求证：$∠ B=∠ D$；
（2）若$AB=4$，$BC-AC=2$，求CE的长.
答案
13. (1) 证明:$\because AB$ 为$\odot O$ 的直径,$\therefore AC ⊥ BD. \because DC = CB,\therefore AD = AB. \therefore ∠B = ∠D$；
(2) 解:设$BC=x$,则$AC=x-2$.在$\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$AC^2+BC^2=AB^2$,即$(x-2)^2+x^2=4^2$,解得$x_1=1+\sqrt{7}$,$x_2=1-\sqrt{7}$(负值舍去).$\because ∠B=∠E$,$∠B=∠D$,$\therefore ∠E=∠D. \therefore CE=CD=CB=1+\sqrt{7}$.
(2) 解:设$BC=x$,则$AC=x-2$.在$\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$AC^2+BC^2=AB^2$,即$(x-2)^2+x^2=4^2$,解得$x_1=1+\sqrt{7}$,$x_2=1-\sqrt{7}$(负值舍去).$\because ∠B=∠E$,$∠B=∠D$,$\therefore ∠E=∠D. \therefore CE=CD=CB=1+\sqrt{7}$.
解析
【分析】
（1）要证明∠B=∠D，首先利用直径所对圆周角为直角的性质，可得AC⊥BD，结合已知DC=CB，可知AC是BD的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得AD=AB，再利用等腰三角形等边对等角的性质即可得证；
（2）求CE的长时，先设BC=x，根据BC-AC=2表示出AC，在Rt△ABC中用勾股定理列方程求解得到BC的长度，再根据同弧所对圆周角相等得到∠B=∠E，结合（1）的结论推出∠E=∠D，即可得到CE=CD=BC，从而求出CE的长度。
【解析】
（1）证明：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$，即$AC⊥ BD$。
又
∵$DC=CB$，
∴AC垂直平分线段BD，
∴$AD=AB$，
∴$∠ B=∠ D$。
（2）解：设$BC=x$，则$AC=x-2$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，
代入数据得：$(x-2)^2+x^2=4^2$，
整理得$x^2-2x-6=0$，
解得$x_1=1+\sqrt{7}$，$x_2=1-\sqrt{7}$（边长为正，舍去负值）。
∵同弧AC所对的圆周角相等，
∴$∠ B=∠ E$，
由（1）可知$∠ B=∠ D$，
∴$∠ E=∠ D$，
∴$CE=CD$，
又
∵$CD=CB$，
∴$CE=CB=1+\sqrt{7}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$CE=1+\sqrt{7}$
【知识点】
圆周角定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，结合了圆的基本性质、等腰三角形性质和勾股定理的应用，解题的核心是通过角的等量代换完成未知线段和已知线段的转化，能有效考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
（1）要证明∠B=∠D，首先利用直径所对圆周角为直角的性质，可得AC⊥BD，结合已知DC=CB，可知AC是BD的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得AD=AB，再利用等腰三角形等边对等角的性质即可得证；
（2）求CE的长时，先设BC=x，根据BC-AC=2表示出AC，在Rt△ABC中用勾股定理列方程求解得到BC的长度，再根据同弧所对圆周角相等得到∠B=∠E，结合（1）的结论推出∠E=∠D，即可得到CE=CD=BC，从而求出CE的长度。
【解析】
（1）证明：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$，即$AC⊥ BD$。
又
∵$DC=CB$，
∴AC垂直平分线段BD，
∴$AD=AB$，
∴$∠ B=∠ D$。
（2）解：设$BC=x$，则$AC=x-2$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，
代入数据得：$(x-2)^2+x^2=4^2$，
整理得$x^2-2x-6=0$，
解得$x_1=1+\sqrt{7}$，$x_2=1-\sqrt{7}$（边长为正，舍去负值）。
∵同弧AC所对的圆周角相等，
∴$∠ B=∠ E$，
由（1）可知$∠ B=∠ D$，
∴$∠ E=∠ D$，
∴$CE=CD$，
又
∵$CD=CB$，
∴$CE=CB=1+\sqrt{7}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$CE=1+\sqrt{7}$
【知识点】
圆周角定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，结合了圆的基本性质、等腰三角形性质和勾股定理的应用，解题的核心是通过角的等量代换完成未知线段和已知线段的转化，能有效考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
14. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，作$CG⊥ AB$于D交$\odot O$于G，$∠ ACG$的平分线交AB于点E，交$\odot O$于点F，连接AF，BF.
（1）若$\odot O$的半径为6，$AD=4$，求弦CG的长；
（2）求证：$AF=EF$.
（1）若$\odot O$的半径为6，$AD=4$，求弦CG的长；
（2）求证：$AF=EF$.
答案
14. (1) 解:如图,连接 OC. $\because \odot O$ 的半径为 6,$AD=4$,$\therefore OA=OC=6$.$\therefore OD=OA-AD=6-4=2$. 在$\mathrm{Rt}△COD$ 中,利用勾股定理,得$CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$,$\therefore CG=2CD=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$；
(2) 证明:$\because CG ⊥ AB, \therefore ∠ADC = 90°$.$\therefore ∠FCG + ∠DEC = 90°. \because ∠AEF = ∠DEC, \therefore ∠FCG + ∠AEF = 90°. \because CF$ 是$∠ACG$ 的平分线,$\therefore ∠ACF = ∠FCG$.$\therefore \overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{FG}. \therefore ∠B = ∠FCG. \therefore ∠B + ∠AEF = 90°. \because AB$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠AFB = 90°. \therefore ∠BAF + ∠B = 90°$,$\therefore ∠AEF = ∠BAF. \therefore AF = EF$.
解析
【分析】
（1）求弦CG的长度时，可利用垂径定理将问题转化为求CD的长度：连接OC构造直角三角形COD，先根据半径和AD的长度求出OD，再用勾股定理计算CD，最后由CG=2CD得到结果。
（2）要证AF=EF，只需证∠FAE=∠FEA：先由垂直关系得到角互余，结合对顶角相等、角平分线性质，再利用圆周角定理进行角的等量代换，最终推导出两个角相等，即可得证。
【解析】
(1) 解：如图，连接OC。
$\because \odot O$ 的半径为 6，$AD=4$，$\therefore OA=OC=6$。
$\therefore OD=OA-AD=6-4=2$。
$\because CG⊥ AB$，AB是$\odot O$的直径，由垂径定理得$CD=DG$，即$CG=2CD$。
在$\mathrm{Rt}△COD$ 中，利用勾股定理，得$CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$，
$\therefore CG=2CD=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。
(2) 证明：$\because CG ⊥ AB, \therefore ∠ADC = 90°$。
$\therefore ∠FCG + ∠DEC = 90°$。
$\because ∠AEF = ∠DEC, \therefore ∠FCG + ∠AEF = 90°$。
$\because CF$ 是$∠ACG$ 的平分线，$\therefore ∠ACF = ∠FCG$，
$\therefore \overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{FG}$，$\therefore ∠B = ∠FCG$，
$\therefore ∠B + ∠AEF = 90°$。
$\because AB$ 是$\odot O$ 的直径，$\therefore ∠AFB = 90°$，
$\therefore ∠BAF + ∠B = 90°$，
$\therefore ∠AEF = ∠BAF$，
$\therefore AF = EF$。
【答案】
(1) 弦CG的长为$8\sqrt{2}$；(2) 证明成立。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，既考查了利用垂径定理和勾股定理求弦长的计算能力，也考查了通过角的等量代换证明线段相等的逻辑推导能力，涉及的知识点都是圆章节的核心基础内容。
【难度系数】
0.7
（1）求弦CG的长度时，可利用垂径定理将问题转化为求CD的长度：连接OC构造直角三角形COD，先根据半径和AD的长度求出OD，再用勾股定理计算CD，最后由CG=2CD得到结果。
（2）要证AF=EF，只需证∠FAE=∠FEA：先由垂直关系得到角互余，结合对顶角相等、角平分线性质，再利用圆周角定理进行角的等量代换，最终推导出两个角相等，即可得证。
【解析】
(1) 解：如图，连接OC。
$\because \odot O$ 的半径为 6，$AD=4$，$\therefore OA=OC=6$。
$\therefore OD=OA-AD=6-4=2$。
$\because CG⊥ AB$，AB是$\odot O$的直径，由垂径定理得$CD=DG$，即$CG=2CD$。
在$\mathrm{Rt}△COD$ 中，利用勾股定理，得$CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$，
$\therefore CG=2CD=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。
(2) 证明：$\because CG ⊥ AB, \therefore ∠ADC = 90°$。
$\therefore ∠FCG + ∠DEC = 90°$。
$\because ∠AEF = ∠DEC, \therefore ∠FCG + ∠AEF = 90°$。
$\because CF$ 是$∠ACG$ 的平分线，$\therefore ∠ACF = ∠FCG$，
$\therefore \overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{FG}$，$\therefore ∠B = ∠FCG$，
$\therefore ∠B + ∠AEF = 90°$。
$\because AB$ 是$\odot O$ 的直径，$\therefore ∠AFB = 90°$，
$\therefore ∠BAF + ∠B = 90°$，
$\therefore ∠AEF = ∠BAF$，
$\therefore AF = EF$。
【答案】
(1) 弦CG的长为$8\sqrt{2}$；(2) 证明成立。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，既考查了利用垂径定理和勾股定理求弦长的计算能力，也考查了通过角的等量代换证明线段相等的逻辑推导能力，涉及的知识点都是圆章节的核心基础内容。
【难度系数】
0.7
