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9. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D，E在$\odot O$上，若$∠ ACE=20°$，则$∠ BDE$的度数为（
A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$
C
）A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$
答案
9.C
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：AB是$\odot O$的直径，$∠ ACE=20°$，待求$∠ BDE$的度数。我们可以结合圆周角相关性质推导：首先回忆两个核心性质，一是同弧所对的圆周角相等，二是直径所对的圆周角为直角。首先找与$∠ ACE$同弧的圆周角，可得到相等的角，再结合直径的性质得到直角，最后分析待求角和已得角的位置关系，计算即可得结果。也可通过圆内接四边形对角互补的性质求解。
【解析】
步骤1：根据同弧所对的圆周角相等，$∠ ACE$和$∠ ADE$均对应弧$AE$，因此$∠ ADE=∠ ACE=20°$。
步骤2：因为$AB$是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得$∠ ADB=90°$。
步骤3：观察图形可知$∠ BDE=∠ ADB+∠ ADE$，代入数值计算得$∠ BDE=90°+20°=110°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质
【点评】
本题属于圆周角相关的基础常考题，解题关键是找准同弧对应的圆周角，结合直径的特殊性质建立已知角和待求角的关联，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：AB是$\odot O$的直径，$∠ ACE=20°$，待求$∠ BDE$的度数。我们可以结合圆周角相关性质推导：首先回忆两个核心性质，一是同弧所对的圆周角相等，二是直径所对的圆周角为直角。首先找与$∠ ACE$同弧的圆周角，可得到相等的角，再结合直径的性质得到直角，最后分析待求角和已得角的位置关系，计算即可得结果。也可通过圆内接四边形对角互补的性质求解。
【解析】
步骤1：根据同弧所对的圆周角相等，$∠ ACE$和$∠ ADE$均对应弧$AE$，因此$∠ ADE=∠ ACE=20°$。
步骤2：因为$AB$是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得$∠ ADB=90°$。
步骤3：观察图形可知$∠ BDE=∠ ADB+∠ ADE$，代入数值计算得$∠ BDE=90°+20°=110°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质
【点评】
本题属于圆周角相关的基础常考题，解题关键是找准同弧对应的圆周角，结合直径的特殊性质建立已知角和待求角的关联，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
10.（陕西）如图，点A，B，C，D在$\odot O$上，若$∠ 1+∠ 2=100°$，则$∠ B$的度数为
80°
。答案
10. 80°
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察图形，∠B和∠ADC都是弧AC所对的圆周角，根据圆周角性质，二者相等，因此只需求出∠ADC的度数即可得到∠B的度数。已知△ADC中∠1与∠2的和为100°，利用三角形内角和为180°即可求出∠ADC的度数，进而得到∠B的度数。
【解析】
在△ADC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ ADC + ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$
已知$∠ 1+∠ 2=100°$，代入得：
$∠ ADC = 180° - 100° = 80°$
∵∠B和∠ADC都是弧AC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴$∠ B = ∠ ADC = 80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
三角形内角和定理，同弧所对圆周角相等
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是找到同弧所对的相等圆周角，建立已知角和所求角的联系，结合三角形内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先观察图形，∠B和∠ADC都是弧AC所对的圆周角，根据圆周角性质，二者相等，因此只需求出∠ADC的度数即可得到∠B的度数。已知△ADC中∠1与∠2的和为100°，利用三角形内角和为180°即可求出∠ADC的度数，进而得到∠B的度数。
【解析】
在△ADC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ ADC + ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$
已知$∠ 1+∠ 2=100°$，代入得：
$∠ ADC = 180° - 100° = 80°$
∵∠B和∠ADC都是弧AC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴$∠ B = ∠ ADC = 80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
三角形内角和定理，同弧所对圆周角相等
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是找到同弧所对的相等圆周角，建立已知角和所求角的联系，结合三角形内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在$\odot O$的内接四边形$ABCD$中，$AB=AD$，$∠ C=110°$. 若点$P$在$AB$上，则$∠ P$的度数为________.
答案
11. 125°
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠C的度数，先求出∠BAD的度数；第二步，由AB=AD可知△ABD为等腰三角形，利用三角形内角和定理计算出底角∠ADB的度数；第三步，四边形APBD同样是圆的内接四边形，再次利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠P的度数。
【解析】
1.
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得$∠ BAD + ∠ C = 180°$。
已知$∠ C=110°$，
∴ $∠ BAD = 180° - 110° = 70°$。
2.
∵ $AB=AD$，
∴ $△ ABD$是等腰三角形，两个底角相等。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ ADB = \frac{180° - ∠ BAD}{2} = \frac{180° - 70°}{2} = 55°$。
3.
∵ 四边形APBD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得$∠ P + ∠ ADB = 180°$。
∴ $∠ P = 180° - 55° = 125°$。
【答案】
$125°$
【知识点】
圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形性质的基础综合题，解题的核心是熟练运用圆内接四边形对角互补的性质，结合等腰三角形内角计算即可得到结果，需要注意区分不同圆内接四边形的对角对应关系。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，根据圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠C的度数，先求出∠BAD的度数；第二步，由AB=AD可知△ABD为等腰三角形，利用三角形内角和定理计算出底角∠ADB的度数；第三步，四边形APBD同样是圆的内接四边形，再次利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠P的度数。
【解析】
1.
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得$∠ BAD + ∠ C = 180°$。
已知$∠ C=110°$，
∴ $∠ BAD = 180° - 110° = 70°$。
2.
∵ $AB=AD$，
∴ $△ ABD$是等腰三角形，两个底角相等。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ ADB = \frac{180° - ∠ BAD}{2} = \frac{180° - 70°}{2} = 55°$。
3.
∵ 四边形APBD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得$∠ P + ∠ ADB = 180°$。
∴ $∠ P = 180° - 55° = 125°$。
【答案】
$125°$
【知识点】
圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形性质的基础综合题，解题的核心是熟练运用圆内接四边形对角互补的性质，结合等腰三角形内角计算即可得到结果，需要注意区分不同圆内接四边形的对角对应关系。
【难度系数】
0.7
12. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ BAD=90°$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，过点C作CE，使得$CE=CD$，交AD的延长线于点E.
（1）求证：$AB=AE$；
（2）若$AD=DE=2$，求$\odot O$的直径.
（1）求证：$AB=AE$；
（2）若$AD=DE=2$，求$\odot O$的直径.
答案
12. (1) 证明: 如图,连接 AC.
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ ∠BAC=∠EAC.
∴ CB = CD.
∵ CE = CD,
∴ CB = CE, ∠E = ∠CDE.
∵ ∠ABC + ∠ADC = ∠ADC + ∠CDE = 180°,
∴ ∠ABC = ∠CDE = ∠E. 在 △ABC 和 △AEC 中,
$\begin{cases}∠ABC=∠E,\\∠BAC=∠EAC,\\AC=AC,\end{cases}$
∴ △ABC≌△AEC(AAS).
∴ AB = AE；
(2) 解:如图,连接 BD.
∵ ∠BAD=90°,
∴ BD 是⊙O 的直径.
由(1)可得 AB = AE.
∵ AD = DE = 2,
∴ AE = AB = 4. 在Rt△ABD 中, $BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=2\sqrt{5}$,
∴ ⊙O 的直径为$2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
（1）要证明AB=AE，可通过证明两个三角形全等实现。首先考虑连接AC，根据等弧对应的圆周角相等、弦相等，可得∠BAC=∠EAC，CB=CD，结合CE=CD可推出CB=CE；再利用圆内接四边形对角互补、邻补角的性质可证∠ABC=∠CDE，结合等腰三角形等边对等角得∠CDE=∠E，即得到∠ABC=∠E，此时有两组角相等、一组公共边相等，可证△ABC和△AEC全等，即可得AB=AE。
（2）要求⊙O的直径，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知BD是⊙O的直径，只需计算BD的长度即可。由（1）的结论AB=AE，结合AD=DE=2可求出AB=4，再在Rt△ABD中用勾股定理计算BD的长度即可得到直径。
【解析】
(1) 证明: 连接 AC.
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ ∠BAC=∠EAC，CB = CD.
∵ CE = CD,
∴ CB = CE, ∠E = ∠CDE.
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°，
又
∵ ∠ADC + ∠CDE = 180°,
∴ ∠ABC = ∠CDE = ∠E.
在 △ABC 和 △AEC 中,
$\begin{cases}∠ABC=∠E,\\∠BAC=∠EAC,\\AC=AC,\end{cases}$
∴ △ABC≌△AEC(AAS).
∴ AB = AE；
(2) 解:连接 BD.
∵ ∠BAD=90°,
∴ BD 是⊙O 的直径.
由(1)可得 AB = AE.
∵ AD = DE = 2,
∴ AE = AD+DE=4，即AB = 4.
在Rt△ABD 中, $BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$,
∴ ⊙O 的直径为$2\sqrt{5}$.
【答案】
12. (1) 证明: 如图,连接 AC.
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ ∠BAC=∠EAC.
∴ CB = CD.
∵ CE = CD,
∴ CB = CE, ∠E = ∠CDE.
∵ ∠ABC + ∠ADC = ∠ADC + ∠CDE = 180°,
∴ ∠ABC = ∠CDE = ∠E. 在 △ABC 和 △AEC 中,
$\begin{cases}∠ABC=∠E,\\∠BAC=∠EAC,\\AC=AC,\end{cases}$
∴ △ABC≌△AEC(AAS).
∴ AB = AE；
(2) 解:如图,连接 BD.
∵ ∠BAD=90°,
∴ BD 是⊙O 的直径.
由(1)可得 AB = AE.
∵ AD = DE = 2,
∴ AE = AB = 4. 在Rt△ABD 中, $BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=2\sqrt{5}$,
∴ ⊙O 的直径为$2\sqrt{5}$.
【知识点】
圆周角定理，全等三角形判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合常考题型，将圆的基本性质和三角形的知识结合考查，解题的关键是合理构造辅助线，利用等弧的性质、圆内接四边形的性质找到全等的条件，再结合圆周角定理确定直径后计算，对学生的辅助线构造能力和知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
（1）要证明AB=AE，可通过证明两个三角形全等实现。首先考虑连接AC，根据等弧对应的圆周角相等、弦相等，可得∠BAC=∠EAC，CB=CD，结合CE=CD可推出CB=CE；再利用圆内接四边形对角互补、邻补角的性质可证∠ABC=∠CDE，结合等腰三角形等边对等角得∠CDE=∠E，即得到∠ABC=∠E，此时有两组角相等、一组公共边相等，可证△ABC和△AEC全等，即可得AB=AE。
（2）要求⊙O的直径，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知BD是⊙O的直径，只需计算BD的长度即可。由（1）的结论AB=AE，结合AD=DE=2可求出AB=4，再在Rt△ABD中用勾股定理计算BD的长度即可得到直径。
【解析】
(1) 证明: 连接 AC.
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ ∠BAC=∠EAC，CB = CD.
∵ CE = CD,
∴ CB = CE, ∠E = ∠CDE.
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°，
又
∵ ∠ADC + ∠CDE = 180°,
∴ ∠ABC = ∠CDE = ∠E.
在 △ABC 和 △AEC 中,
$\begin{cases}∠ABC=∠E,\\∠BAC=∠EAC,\\AC=AC,\end{cases}$
∴ △ABC≌△AEC(AAS).
∴ AB = AE；
(2) 解:连接 BD.
∵ ∠BAD=90°,
∴ BD 是⊙O 的直径.
由(1)可得 AB = AE.
∵ AD = DE = 2,
∴ AE = AD+DE=4，即AB = 4.
在Rt△ABD 中, $BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$,
∴ ⊙O 的直径为$2\sqrt{5}$.
【答案】
12. (1) 证明: 如图,连接 AC.
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ ∠BAC=∠EAC.
∴ CB = CD.
∵ CE = CD,
∴ CB = CE, ∠E = ∠CDE.
∵ ∠ABC + ∠ADC = ∠ADC + ∠CDE = 180°,
∴ ∠ABC = ∠CDE = ∠E. 在 △ABC 和 △AEC 中,
$\begin{cases}∠ABC=∠E,\\∠BAC=∠EAC,\\AC=AC,\end{cases}$
∴ △ABC≌△AEC(AAS).
∴ AB = AE；
(2) 解:如图,连接 BD.
∵ ∠BAD=90°,
∴ BD 是⊙O 的直径.
由(1)可得 AB = AE.
∵ AD = DE = 2,
∴ AE = AB = 4. 在Rt△ABD 中, $BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=2\sqrt{5}$,
∴ ⊙O 的直径为$2\sqrt{5}$.
【知识点】
圆周角定理，全等三角形判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合常考题型，将圆的基本性质和三角形的知识结合考查，解题的关键是合理构造辅助线，利用等弧的性质、圆内接四边形的性质找到全等的条件，再结合圆周角定理确定直径后计算，对学生的辅助线构造能力和知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
13.（合肥校级二模）如图，四边形ABCD中内接于$\odot O$，四边形ABEC，四边形ACFD均为平行四边形，连接BD，EF.
（1）求证：四边形DBEF是平行四边形；
（2）若$∠ BCD=66°$，求$∠ ECF$的大小.
（1）求证：四边形DBEF是平行四边形；
（2）若$∠ BCD=66°$，求$∠ ECF$的大小.
答案
13. (1) 证明:
∵ 四边形 ABEC,四边形 ACFD 均为平行四边形,
∴ AC$\underline{\underline{//}}$DF,AC$\underline{\underline{//}}$BE,
∴ BE$\underline{\underline{//}}$DF,
∴ 四边形 DBEF 是平行四边形；
(2) 解:
∵ 四边形 ABCD 中内接于⊙O,
∴ ∠BAD+∠BCD=180°.
∴ ∠BAD=180°−∠BCD=180°−66°=114°.
∵ 四边形 ABEC,四边形 ACFD,四边形 DBEF 均为平行四边形,
∴ AD=CF,AB=CE,BD=EF.
∴ △ABD≌△CEF(SSS).
∴ ∠ECF=∠BAD=114°.
∵ 四边形 ABEC,四边形 ACFD 均为平行四边形,
∴ AC$\underline{\underline{//}}$DF,AC$\underline{\underline{//}}$BE,
∴ BE$\underline{\underline{//}}$DF,
∴ 四边形 DBEF 是平行四边形；
(2) 解:
∵ 四边形 ABCD 中内接于⊙O,
∴ ∠BAD+∠BCD=180°.
∴ ∠BAD=180°−∠BCD=180°−66°=114°.
∵ 四边形 ABEC,四边形 ACFD,四边形 DBEF 均为平行四边形,
∴ AD=CF,AB=CE,BD=EF.
∴ △ABD≌△CEF(SSS).
∴ ∠ECF=∠BAD=114°.
解析
【分析】
（1）要证明四边形DBEF是平行四边形，可通过“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导。已知两个平行四边形ABEC、ACFD，根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得DF、BE均与AC平行且相等，由此推出DF与BE平行且相等，即可判定DBEF为平行四边形。
（2）求∠ECF的度数，首先利用圆内接四边形对角互补的性质，先求出∠BAD的度数；再结合三个平行四边形对边相等的性质，得到△ABD和△CEF的三组对应边相等，证明两三角形全等，利用全等三角形对应角相等即可得到∠ECF与∠BAD相等，从而求出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABEC、四边形ACFD均为平行四边形，
∴ AC$\underline{\underline{//}}$DF，AC$\underline{\underline{//}}$BE，
∴ BE$\underline{\underline{//}}$DF，
∴ 四边形DBEF是平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°，
∴ ∠BAD = 180° - ∠BCD = 180° - 66° = 114°。
∵ 四边形ABEC、四边形ACFD、四边形DBEF均为平行四边形，
∴ AD = CF，AB = CE，BD = EF，
在△ABD和△CEF中：
$\{\begin{array}{l}AD = CF \\AB = CE \\BD = EF\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CEF（SSS），
∴ ∠ECF = ∠BAD = 114°。
【答案】
(1) 四边形DBEF是平行四边形，证明成立；
(2) $∠ ECF=114°$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；圆内接四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题时需要灵活运用平行四边形的边、角关系转化已知条件，结合圆内接四边形的性质和全等三角形的判定推导角度关系，考查对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明四边形DBEF是平行四边形，可通过“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导。已知两个平行四边形ABEC、ACFD，根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得DF、BE均与AC平行且相等，由此推出DF与BE平行且相等，即可判定DBEF为平行四边形。
（2）求∠ECF的度数，首先利用圆内接四边形对角互补的性质，先求出∠BAD的度数；再结合三个平行四边形对边相等的性质，得到△ABD和△CEF的三组对应边相等，证明两三角形全等，利用全等三角形对应角相等即可得到∠ECF与∠BAD相等，从而求出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABEC、四边形ACFD均为平行四边形，
∴ AC$\underline{\underline{//}}$DF，AC$\underline{\underline{//}}$BE，
∴ BE$\underline{\underline{//}}$DF，
∴ 四边形DBEF是平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°，
∴ ∠BAD = 180° - ∠BCD = 180° - 66° = 114°。
∵ 四边形ABEC、四边形ACFD、四边形DBEF均为平行四边形，
∴ AD = CF，AB = CE，BD = EF，
在△ABD和△CEF中：
$\{\begin{array}{l}AD = CF \\AB = CE \\BD = EF\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CEF（SSS），
∴ ∠ECF = ∠BAD = 114°。
【答案】
(1) 四边形DBEF是平行四边形，证明成立；
(2) $∠ ECF=114°$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；圆内接四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题时需要灵活运用平行四边形的边、角关系转化已知条件，结合圆内接四边形的性质和全等三角形的判定推导角度关系，考查对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
14. 如图,在圆内接四边形ABDC中,∠BAC=60°,AB=AC.
（1）求∠ADB的大小；
（2）求证:AD=BD+CD.
（1）求∠ADB的大小；
（2）求证:AD=BD+CD.
答案
14. (1) 解:连接 BC,
∵ ∠BAC = 60°, AB = AC,
∴ △ABC 为等边三角形.
∴ ∠ACB=60°.
∵ ∠ADB = ∠ACB,
∴ ∠ADB = 60°；
(2) 证明:在 AD 上取点 E,F,使 DE = DB, DF = DC,连接BE,CF,
∵ ∠ADB = 60°,∠ADC = ∠ABC = 60°,
∴ △BDE和△CDF 都是等边三角形.
∴ ∠DEB = ∠DFC = 60°, FC = CD.
∴ ∠AEB = ∠CFA = 120°.
∴ ∠FAC + ∠FCA = ∠DFC = 60°.
∵ ∠FAC + ∠EAB = ∠BAC = 60°,
∴ ∠EAB = ∠FCA.
在 △ABE 和 △CAF 中, $\begin{cases}∠EAB=∠FCA,\\∠AEB=∠CFA,\\AB=CA,\end{cases}$
∴ △ABE ≌△CAF(AAS).
∴ AE = CF.
∴ AD = DE + AE = BD + FC = BD + CD.
∵ ∠BAC = 60°, AB = AC,
∴ △ABC 为等边三角形.
∴ ∠ACB=60°.
∵ ∠ADB = ∠ACB,
∴ ∠ADB = 60°；
(2) 证明:在 AD 上取点 E,F,使 DE = DB, DF = DC,连接BE,CF,
∵ ∠ADB = 60°,∠ADC = ∠ABC = 60°,
∴ △BDE和△CDF 都是等边三角形.
∴ ∠DEB = ∠DFC = 60°, FC = CD.
∴ ∠AEB = ∠CFA = 120°.
∴ ∠FAC + ∠FCA = ∠DFC = 60°.
∵ ∠FAC + ∠EAB = ∠BAC = 60°,
∴ ∠EAB = ∠FCA.
在 △ABE 和 △CAF 中, $\begin{cases}∠EAB=∠FCA,\\∠AEB=∠CFA,\\AB=CA,\end{cases}$
∴ △ABE ≌△CAF(AAS).
∴ AE = CF.
∴ AD = DE + AE = BD + FC = BD + CD.
解析
【分析】
（1）要求∠ADB的度数，已知AB=AC且∠BAC=60°，可先连接BC，判定△ABC是等边三角形得到∠ACB的度数，再根据同弧所对的圆周角相等，即可求出∠ADB的大小；
（2）要证明AD=BD+CD，属于线段和差类证明，常用截长补短法，结合第一问得到的∠ADB=∠ADC=60°，可在AD上截取DE=BD、DF=CD，构造等边三角形，再通过证明三角形全等得到剩余线段相等，即可推出结论。
【解析】
（1）解：连接BC，
∵ ∠BAC = 60°，AB = AC，
∴ △ABC为等边三角形，
∴ ∠ACB=60°，
∵ ∠ADB和∠ACB都是弧AB所对的圆周角，
∴ ∠ADB = ∠ACB，
∴ ∠ADB = 60°；
（2）证明：在AD上取点E，F，使DE = DB，DF = DC，连接BE，CF，
∵ ∠ADB = 60°，∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，△ABC是等边三角形，∠ABC=60°，
∴ ∠ADC = ∠ABC = 60°，
∴ △BDE和△CDF都是等边三角形，
∴ ∠DEB = ∠DFC = 60°，FC = CD，
∴ ∠AEB = 180°-∠DEB=120°，∠CFA = 180°-∠DFC=120°，即∠AEB = ∠CFA = 120°，
由三角形外角性质得∠FAC + ∠FCA = ∠DFC = 60°，
又
∵ ∠FAC + ∠EAB = ∠BAC = 60°，
∴ ∠EAB = ∠FCA，
在 △ABE 和 △CAF 中，
$\begin{cases}∠EAB=∠FCA,\\∠AEB=∠CFA,\\AB=CA,\end{cases}$
∴ △ABE ≌△CAF(AAS)，
∴ AE = CF，
∵ CF=CD，DE=BD，
∴ AD = DE + AE = BD + FC = BD + CD，即AD=BD+CD。
【答案】
（1）$\boxed{60°}$；
（2）证明成立，AD=BD+CD。
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，既考查了圆周角的性质，也结合了等边三角形、全等三角形的判定与性质，线段和差类问题常用截长补短法构造全等或特殊三角形，是圆的几何证明中的典型题型，要注意各知识点之间的灵活转化。
【难度系数】
0.65
（1）要求∠ADB的度数，已知AB=AC且∠BAC=60°，可先连接BC，判定△ABC是等边三角形得到∠ACB的度数，再根据同弧所对的圆周角相等，即可求出∠ADB的大小；
（2）要证明AD=BD+CD，属于线段和差类证明，常用截长补短法，结合第一问得到的∠ADB=∠ADC=60°，可在AD上截取DE=BD、DF=CD，构造等边三角形，再通过证明三角形全等得到剩余线段相等，即可推出结论。
【解析】
（1）解：连接BC，
∵ ∠BAC = 60°，AB = AC，
∴ △ABC为等边三角形，
∴ ∠ACB=60°，
∵ ∠ADB和∠ACB都是弧AB所对的圆周角，
∴ ∠ADB = ∠ACB，
∴ ∠ADB = 60°；
（2）证明：在AD上取点E，F，使DE = DB，DF = DC，连接BE，CF，
∵ ∠ADB = 60°，∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，△ABC是等边三角形，∠ABC=60°，
∴ ∠ADC = ∠ABC = 60°，
∴ △BDE和△CDF都是等边三角形，
∴ ∠DEB = ∠DFC = 60°，FC = CD，
∴ ∠AEB = 180°-∠DEB=120°，∠CFA = 180°-∠DFC=120°，即∠AEB = ∠CFA = 120°，
由三角形外角性质得∠FAC + ∠FCA = ∠DFC = 60°，
又
∵ ∠FAC + ∠EAB = ∠BAC = 60°，
∴ ∠EAB = ∠FCA，
在 △ABE 和 △CAF 中，
$\begin{cases}∠EAB=∠FCA,\\∠AEB=∠CFA,\\AB=CA,\end{cases}$
∴ △ABE ≌△CAF(AAS)，
∴ AE = CF，
∵ CF=CD，DE=BD，
∴ AD = DE + AE = BD + FC = BD + CD，即AD=BD+CD。
【答案】
（1）$\boxed{60°}$；
（2）证明成立，AD=BD+CD。
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，既考查了圆周角的性质，也结合了等边三角形、全等三角形的判定与性质，线段和差类问题常用截长补短法构造全等或特殊三角形，是圆的几何证明中的典型题型，要注意各知识点之间的灵活转化。
【难度系数】
0.65
