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1. (浙江中考)已知反比例函数$y=-\dfrac{7}{x}$.下列选项正确的是 (
A.函数图象在第一、三象限
B.$y$随$x$的增大而减小
C.函数图象在第二、四象限
D.$y$随$x$的增大而增大
C
)A.函数图象在第一、三象限
B.$y$随$x$的增大而减小
C.函数图象在第二、四象限
D.$y$随$x$的增大而增大
答案
1. C
解析
【分析】
解决这道题需要结合反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的性质逐一判断选项：首先确定函数中$k$的正负，再根据$k$的正负判断图象所在象限，最后判断增减性时要注意，反比例函数的增减性必须限定“在每个象限内”才成立，缺少这个前提的表述都是错误的。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$：
1. 确定$k$值：题中函数为$y=-\dfrac{7}{x}$，因此$k=-7＜0$。
2. 判断图象象限：当$k＜0$时，反比例函数的图象分布在第二、四象限，因此A选项错误，C选项正确。
3. 判断增减性：反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，当$k＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，B、D选项均未限定“在每个象限内”，表述错误，例如取$x_1=-1$时$y_1=7$，$x_2=1$时$y_2=-7$，$x$增大但$y$减小，可验证B、D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象性质；反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，易错点是判断增减性时忽略“在同一象限内”的前提条件，学习时要牢记$k$的正负与图象分布、增减性的对应规律。
【难度系数】
0.7
解决这道题需要结合反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的性质逐一判断选项：首先确定函数中$k$的正负，再根据$k$的正负判断图象所在象限，最后判断增减性时要注意，反比例函数的增减性必须限定“在每个象限内”才成立，缺少这个前提的表述都是错误的。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$：
1. 确定$k$值：题中函数为$y=-\dfrac{7}{x}$，因此$k=-7＜0$。
2. 判断图象象限：当$k＜0$时，反比例函数的图象分布在第二、四象限，因此A选项错误，C选项正确。
3. 判断增减性：反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，当$k＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，B、D选项均未限定“在每个象限内”，表述错误，例如取$x_1=-1$时$y_1=7$，$x_2=1$时$y_2=-7$，$x$增大但$y$减小，可验证B、D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象性质；反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，易错点是判断增减性时忽略“在同一象限内”的前提条件，学习时要牢记$k$的正负与图象分布、增减性的对应规律。
【难度系数】
0.7
2. (天津中考)若点$A(-3,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(3,y_3)$都在反比例函数$y=-\frac{9}{x}$的图象上，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
D
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
答案
2. D
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先确定反比例函数中k的正负，以此判断函数图象所在的象限以及增减性；第二步分析三个点的横坐标的正负，判断各点所在的象限：第二象限内的点纵坐标为正，第四象限内的点纵坐标为负，可先得出第二象限点的y值大于第四象限点的y值；第三步对同一象限内的两个点，利用反比例函数的增减性比较对应y值的大小，最终即可排序。
【解析】
解：对于反比例函数$y=-\frac{9}{x}$，其中$k=-9＜0$，
∴该函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵点$A(-3,y_1)$的横坐标$-3＜0$，
∴点$A$在第二象限，故$y_1＞0$；
∵点$B(1,y_2)$、$C(3,y_3)$的横坐标均大于0，
∴两点均在第四象限，故$y_2＜0$，$y_3＜0$；
又
∵$1＜3$，在第四象限内$y$随$x$增大而增大，
∴$y_2＜y_3$。
综上可得：$y_2＜y_3＜y_1$，因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题时既可以通过分析象限和增减性比较大小，也可以直接代入横坐标计算出对应的y值再比较，需要注意的是，反比例函数的增减性只适用于同一象限内的点，不同象限的点可通过纵坐标的正负直接判断大小。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步先确定反比例函数中k的正负，以此判断函数图象所在的象限以及增减性；第二步分析三个点的横坐标的正负，判断各点所在的象限：第二象限内的点纵坐标为正，第四象限内的点纵坐标为负，可先得出第二象限点的y值大于第四象限点的y值；第三步对同一象限内的两个点，利用反比例函数的增减性比较对应y值的大小，最终即可排序。
【解析】
解：对于反比例函数$y=-\frac{9}{x}$，其中$k=-9＜0$，
∴该函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵点$A(-3,y_1)$的横坐标$-3＜0$，
∴点$A$在第二象限，故$y_1＞0$；
∵点$B(1,y_2)$、$C(3,y_3)$的横坐标均大于0，
∴两点均在第四象限，故$y_2＜0$，$y_3＜0$；
又
∵$1＜3$，在第四象限内$y$随$x$增大而增大，
∴$y_2＜y_3$。
综上可得：$y_2＜y_3＜y_1$，因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题时既可以通过分析象限和增减性比较大小，也可以直接代入横坐标计算出对应的y值再比较，需要注意的是，反比例函数的增减性只适用于同一象限内的点，不同象限的点可通过纵坐标的正负直接判断大小。
【难度系数】
0.8
3.（湖北中考）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流$ I $（A）与电阻$ R $（Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻$ R $大于9Ω时，电流$ I $可能是（
A.3 A
B.4 A
C.5 A
D.6 A
A
）A.3 A
B.4 A
C.5 A
D.6 A
答案
3. A
解析
【分析】
已知电流I与电阻R是反比例函数关系，解题时首先用待定系数法，结合图像给出的点(9,4)求出反比例函数的解析式；再根据反比例函数的增减性，判断当R＞9Ω时I的取值范围，最后匹配选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
解：设电流I与电阻R的反比例函数解析式为$ I=\frac{k}{R} $（$ k≠0, R＞0 $）。
由图象可知函数过点$ (9,4) $，将$ R=9\Omega $、$ I=4A $代入解析式得：
$ 4=\frac{k}{9} $，解得$ k=36 $，因此函数解析式为$ I=\frac{36}{R} $。
因为$ k=36＞0 $，在$ R＞0 $的范围内，I随R的增大而减小，所以当$ R＞9\Omega $时，$ I＜\frac{36}{9}=4A $。
观察选项，只有3A小于4A，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质；待定系数法求解析式
【点评】
本题结合电学知识考查反比例函数的实际应用，核心是先求出函数解析式，再利用反比例函数的增减性判断函数值的范围，属于跨学科基础应用题，易掌握。
【难度系数】
0.8
已知电流I与电阻R是反比例函数关系，解题时首先用待定系数法，结合图像给出的点(9,4)求出反比例函数的解析式；再根据反比例函数的增减性，判断当R＞9Ω时I的取值范围，最后匹配选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
解：设电流I与电阻R的反比例函数解析式为$ I=\frac{k}{R} $（$ k≠0, R＞0 $）。
由图象可知函数过点$ (9,4) $，将$ R=9\Omega $、$ I=4A $代入解析式得：
$ 4=\frac{k}{9} $，解得$ k=36 $，因此函数解析式为$ I=\frac{36}{R} $。
因为$ k=36＞0 $，在$ R＞0 $的范围内，I随R的增大而减小，所以当$ R＞9\Omega $时，$ I＜\frac{36}{9}=4A $。
观察选项，只有3A小于4A，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质；待定系数法求解析式
【点评】
本题结合电学知识考查反比例函数的实际应用，核心是先求出函数解析式，再利用反比例函数的增减性判断函数值的范围，属于跨学科基础应用题，易掌握。
【难度系数】
0.8
4. (福建中考)若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点$(-2,1)$，则常数$k=$
-2
.答案
4. -2
解析
【分析】
解题时首先明确：函数图象上的点的横纵坐标一定满足该函数的解析式。已知反比例函数的图象经过给定的点，只需要将点的横坐标和纵坐标代入反比例函数的表达式，就能得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点$(-2,1)$，
∴将$x=-2$，$y=1$代入$y=\frac{k}{x}$，可得：
$1=\frac{k}{-2}$
等式两边同时乘$-2$，解得：$k=-2$
【答案】
-2
【知识点】
1.反比例函数图象性质
2.待定系数法
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，计算量小，掌握基础概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确：函数图象上的点的横纵坐标一定满足该函数的解析式。已知反比例函数的图象经过给定的点，只需要将点的横坐标和纵坐标代入反比例函数的表达式，就能得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点$(-2,1)$，
∴将$x=-2$，$y=1$代入$y=\frac{k}{x}$，可得：
$1=\frac{k}{-2}$
等式两边同时乘$-2$，解得：$k=-2$
【答案】
-2
【知识点】
1.反比例函数图象性质
2.待定系数法
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，计算量小，掌握基础概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
5.（武汉中考）在平面直角坐标系中，某反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分别位于第一、三象限.写出一个满足条件的k的值：
1(答案不唯一)
.答案
5. 1(答案不唯一)
解析
【分析】
本题考查反比例函数的图象性质，解题思路如下：首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$中系数$k$的符号与图象所在象限的对应关系：$k＞0$时图象位于第一、三象限，$k＜0$时图象位于第二、四象限；结合题目给出的图象位于第一、三象限的条件，可确定$k$的取值范围为$k＞0$，只需在该范围内任取一个正数即可得到答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$，其图象所在象限由$k$的符号决定：
1. 当$k＞0$时，函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限；
2. 当$k＜0$时，函数图象的两个分支分别位于第二、第四象限。
已知该反比例函数图象分别位于第一、三象限，因此满足$k＞0$，任意正实数均符合要求，例如取$k=1$。
【答案】
1（答案不唯一，任意正数均可）
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础概念题，直接考察反比例函数的核心性质，只要牢记系数$k$与图象象限的对应关系即可快速解题，是典型的易得分题型。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数的图象性质，解题思路如下：首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$中系数$k$的符号与图象所在象限的对应关系：$k＞0$时图象位于第一、三象限，$k＜0$时图象位于第二、四象限；结合题目给出的图象位于第一、三象限的条件，可确定$k$的取值范围为$k＞0$，只需在该范围内任取一个正数即可得到答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$，其图象所在象限由$k$的符号决定：
1. 当$k＞0$时，函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限；
2. 当$k＜0$时，函数图象的两个分支分别位于第二、第四象限。
已知该反比例函数图象分别位于第一、三象限，因此满足$k＞0$，任意正实数均符合要求，例如取$k=1$。
【答案】
1（答案不唯一，任意正数均可）
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础概念题，直接考察反比例函数的核心性质，只要牢记系数$k$与图象象限的对应关系即可快速解题，是典型的易得分题型。
【难度系数】
0.9
6. (连云港中考)某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强$p(\mathrm{Pa})$是气球体积$V(\mathrm{m}^3)$的反比例函数. 当$V=1.2\ \mathrm{m}^3$时，$p=20\ 000\ \mathrm{Pa}$. 则当$V=1.5\ \mathrm{m}^3$时，$p=\_\_\_\_\_\_\mathrm{Pa}.$
答案
6. 16 000
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：首先根据题目中“p是V的反比例函数”的条件，设出反比例函数的一般形式$p=\frac{k}{V}$（$k$为常数，$k≠0$，$V＞0$）；再将已知的$V=1.2\ \mathrm{m}^3$、$p=20000\ \mathrm{Pa}$代入解析式，求出常数$k$的值，确定完整的函数解析式；最后将$V=1.5\ \mathrm{m}^3$代入已求出的解析式，计算得到对应的压强$p$即可。
【解析】
解：设气球内气体的压强$p$与体积$V$的函数解析式为$p=\frac{k}{V}$（$k$为常数，$k≠0$）。
将$V=1.2$，$p=20000$代入解析式，得：
$20000=\frac{k}{1.2}$
解得$k=20000×1.2=24000$
所以函数解析式为$p=\frac{24000}{V}$。
当$V=1.5\ \mathrm{m}^3$时，代入解析式得：
$p=\frac{24000}{1.5}=16000\ \mathrm{Pa}$
【答案】
16000
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题核心是利用待定系数法求出反比例函数的常数$k$，再代入对应自变量求解函数值，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：首先根据题目中“p是V的反比例函数”的条件，设出反比例函数的一般形式$p=\frac{k}{V}$（$k$为常数，$k≠0$，$V＞0$）；再将已知的$V=1.2\ \mathrm{m}^3$、$p=20000\ \mathrm{Pa}$代入解析式，求出常数$k$的值，确定完整的函数解析式；最后将$V=1.5\ \mathrm{m}^3$代入已求出的解析式，计算得到对应的压强$p$即可。
【解析】
解：设气球内气体的压强$p$与体积$V$的函数解析式为$p=\frac{k}{V}$（$k$为常数，$k≠0$）。
将$V=1.2$，$p=20000$代入解析式，得：
$20000=\frac{k}{1.2}$
解得$k=20000×1.2=24000$
所以函数解析式为$p=\frac{24000}{V}$。
当$V=1.5\ \mathrm{m}^3$时，代入解析式得：
$p=\frac{24000}{1.5}=16000\ \mathrm{Pa}$
【答案】
16000
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题核心是利用待定系数法求出反比例函数的常数$k$，再代入对应自变量求解函数值，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
7.（达州中考）如图，直线$y=kx+b(k≠0)$与双曲线$y=\frac{m}{x}(m≠0)$交于点$A(2,2)$，点$B(-4,a)$。
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）点$P$在$x$轴上，$S_{△ AOP}=3$，求点$P$的坐标。
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）点$P$在$x$轴上，$S_{△ AOP}=3$，求点$P$的坐标。
答案
7. 解:(1) $\because$ 双曲线 $y=\frac{m}{x}(m ≠ 0)$ 经过点 $A(2,2),B(-4,a),\therefore m=2 × 2=4=-4a,\therefore a=-1. \therefore B(-4,-1)$,反比例函数表达式为 $y=\frac{4}{x}. \because$ 直线 $y=kx+b(k ≠ 0)$ 经过点 $A(2,2)$, 点 $B(-4,-1),\therefore \begin{cases}-4k+b=-1,\\2k+b=2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b=1,\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数表达式为 $y=\frac{1}{2}x+1$; (2) $\because$ 点 $P$ 在 $x$ 轴上, $S_{△ AOP}=3,\therefore \frac{1}{2}OP × y_A=3. \therefore \frac{1}{2}OP × 2=3. \therefore OP=3. \therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(3,0)$ 或 $(-3,0)$.
解析
【分析】
（1）求解函数解析式优先用待定系数法：先将已知点A的坐标代入反比例函数表达式，求出m的值即可得到反比例函数表达式；再将点B的横坐标代入反比例函数表达式，求出a的值得到点B的完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，列二元一次方程组求解k和b，即可得到一次函数表达式。
（2）点P在x轴上，△AOP的底为OP的长度，高为点A的纵坐标，结合三角形面积公式列方程求出OP的长度，注意P可在原点左侧或右侧，即可得到P的坐标。
【解析】
(1) 求函数表达式：
∵ 双曲线$y=\frac{m}{x}(m≠0)$经过点$A(2,2)$，
∴ $m=2×2=4$，即反比例函数表达式为$y=\frac{4}{x}$。
∵ 点$B(-4,a)$在双曲线上，代入得$a=\frac{4}{-4}=-1$，即$B(-4,-1)$。
∵ 直线$y=kx+b$过$A(2,2)$、$B(-4,-1)$，代入得：
$\begin{cases}2k+b=2 \\ -4k+b=-1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2} \\ b=1 \end{cases}$，即一次函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+1$。
(2) 求点P坐标：
设点P坐标为$(t,0)$，则$OP=|t|$，△AOP的高为点A的纵坐标2，
由$S_{△AOP}=3$得：$\frac{1}{2}×|t|×2=3$，
解得$|t|=3$，即$t=3$或$t=-3$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x+1}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(3,0)}$或$\boldsymbol{(-3,0)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，坐标系面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，重点考查待定系数法的应用，以及平面直角坐标系中三角形面积的计算，解题时需注意第二问中点P的位置有两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）求解函数解析式优先用待定系数法：先将已知点A的坐标代入反比例函数表达式，求出m的值即可得到反比例函数表达式；再将点B的横坐标代入反比例函数表达式，求出a的值得到点B的完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，列二元一次方程组求解k和b，即可得到一次函数表达式。
（2）点P在x轴上，△AOP的底为OP的长度，高为点A的纵坐标，结合三角形面积公式列方程求出OP的长度，注意P可在原点左侧或右侧，即可得到P的坐标。
【解析】
(1) 求函数表达式：
∵ 双曲线$y=\frac{m}{x}(m≠0)$经过点$A(2,2)$，
∴ $m=2×2=4$，即反比例函数表达式为$y=\frac{4}{x}$。
∵ 点$B(-4,a)$在双曲线上，代入得$a=\frac{4}{-4}=-1$，即$B(-4,-1)$。
∵ 直线$y=kx+b$过$A(2,2)$、$B(-4,-1)$，代入得：
$\begin{cases}2k+b=2 \\ -4k+b=-1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2} \\ b=1 \end{cases}$，即一次函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+1$。
(2) 求点P坐标：
设点P坐标为$(t,0)$，则$OP=|t|$，△AOP的高为点A的纵坐标2，
由$S_{△AOP}=3$得：$\frac{1}{2}×|t|×2=3$，
解得$|t|=3$，即$t=3$或$t=-3$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x+1}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(3,0)}$或$\boldsymbol{(-3,0)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，坐标系面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，重点考查待定系数法的应用，以及平面直角坐标系中三角形面积的计算，解题时需注意第二问中点P的位置有两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
