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21. 已知关于$x$的方程$kx^2 - 3x + 1 = 0$有实数根。
（1）求$k$的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为$x_1$和$x_2$，当$x_1 + x_2 + x_1x_2 = 4$时，求$k$的值。
（1）求$k$的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为$x_1$和$x_2$，当$x_1 + x_2 + x_1x_2 = 4$时，求$k$的值。
答案
21. 解:(1) 当$k=0$时,方程是一元一次方程,有实数根,符合题意. 当$k≠0$时,方程是一元二次方程,由题意,得 $\Delta =b^2-4ac=9-4k≥ 0$,解得$k≤ \frac{9}{4}$. 综上所述,$k$的取值范围是$k≤ \frac{9}{4}$;
(2) $\because x_1$和$x_2$是方程$kx^2-3x+1=0$的两个根,$\therefore x_1+x_2=\frac{3}{k},x_1x_2=\frac{1}{k}$.
$\because x_1+x_2+x_1x_2=4,\therefore \frac{3}{k}+\frac{1}{k}=4$,解得$k=1$. 经检验:$k=1$是分式方程的解,且$1＜\frac{9}{4}$. $\therefore k$的值为1.
(2) $\because x_1$和$x_2$是方程$kx^2-3x+1=0$的两个根,$\therefore x_1+x_2=\frac{3}{k},x_1x_2=\frac{1}{k}$.
$\because x_1+x_2+x_1x_2=4,\therefore \frac{3}{k}+\frac{1}{k}=4$,解得$k=1$. 经检验:$k=1$是分式方程的解,且$1＜\frac{9}{4}$. $\therefore k$的值为1.
解析
【分析】
（1）题中未明确方程为一元二次方程，需分类讨论：①当$k=0$时，方程为一元一次方程，直接判断是否有实根；②当$k≠0$时，方程为一元二次方程，根据有实根的条件判别式$\Delta ≥ 0$求解$k$的范围，最终综合两类情况得到$k$的总取值范围。
（2）方程有两个实数根，说明是一元二次方程，因此$k≠0$且满足（1）中$k$的取值范围，再利用根与系数的关系写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于$k$的表达式，代入已知等式求解$k$，最后检验所得$k$是否符合取值要求即可。
【解析】
（1）分两种情况讨论：
①当$k=0$时，原方程为$-3x+1=0$，是一元一次方程，解得$x=\frac{1}{3}$，有实数根，符合题意；
②当$k≠0$时，原方程是一元二次方程，其中$a=k$，$b=-3$，$c=1$，若方程有实数根，则判别式$\Delta =b^2-4ac≥ 0$，代入得：
$\Delta =(-3)^2-4× k× 1=9-4k≥ 0$，解得$k≤ \frac{9}{4}$。
综上所述，$k$的取值范围是$k≤ \frac{9}{4}$。
（2）$\because$方程有两个实数根$x_1$和$x_2$，$\therefore$方程为一元二次方程，即$k≠0$，且满足$k≤ \frac{9}{4}$。
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=\frac{3}{k}$，$x_1x_2=\frac{1}{k}$。
将上述式子代入$x_1+x_2+x_1x_2=4$，得：$\frac{3}{k}+\frac{1}{k}=4$，
化简得$\frac{4}{k}=4$，解得$k=1$。
检验：$k=1$时，$k≠0$，且$1＜\frac{9}{4}$，符合取值要求，是分式方程的解。
$\therefore k$的值为1。
【答案】
（1）$k≤ \frac{9}{4}$；（2）$k=1$
【知识点】
一元一次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题考查分类讨论思想在含参方程中的应用，以及韦达定理的使用，易错点是第一问容易忽略$k=0$时方程为一元一次方程的情况，第二问求解后要注意检验$k$的取值是否符合要求，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
（1）题中未明确方程为一元二次方程，需分类讨论：①当$k=0$时，方程为一元一次方程，直接判断是否有实根；②当$k≠0$时，方程为一元二次方程，根据有实根的条件判别式$\Delta ≥ 0$求解$k$的范围，最终综合两类情况得到$k$的总取值范围。
（2）方程有两个实数根，说明是一元二次方程，因此$k≠0$且满足（1）中$k$的取值范围，再利用根与系数的关系写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于$k$的表达式，代入已知等式求解$k$，最后检验所得$k$是否符合取值要求即可。
【解析】
（1）分两种情况讨论：
①当$k=0$时，原方程为$-3x+1=0$，是一元一次方程，解得$x=\frac{1}{3}$，有实数根，符合题意；
②当$k≠0$时，原方程是一元二次方程，其中$a=k$，$b=-3$，$c=1$，若方程有实数根，则判别式$\Delta =b^2-4ac≥ 0$，代入得：
$\Delta =(-3)^2-4× k× 1=9-4k≥ 0$，解得$k≤ \frac{9}{4}$。
综上所述，$k$的取值范围是$k≤ \frac{9}{4}$。
（2）$\because$方程有两个实数根$x_1$和$x_2$，$\therefore$方程为一元二次方程，即$k≠0$，且满足$k≤ \frac{9}{4}$。
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=\frac{3}{k}$，$x_1x_2=\frac{1}{k}$。
将上述式子代入$x_1+x_2+x_1x_2=4$，得：$\frac{3}{k}+\frac{1}{k}=4$，
化简得$\frac{4}{k}=4$，解得$k=1$。
检验：$k=1$时，$k≠0$，且$1＜\frac{9}{4}$，符合取值要求，是分式方程的解。
$\therefore k$的值为1。
【答案】
（1）$k≤ \frac{9}{4}$；（2）$k=1$
【知识点】
一元一次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题考查分类讨论思想在含参方程中的应用，以及韦达定理的使用，易错点是第一问容易忽略$k=0$时方程为一元一次方程的情况，第二问求解后要注意检验$k$的取值是否符合要求，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
22. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售300个，2月和3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到432个，设2、3两个月的销售量月平均增长率不变.
（1）求2、3两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利2880元？
（1）求2、3两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利2880元？
答案
22. 解:(1) 设2、3两个月的销售量月平均增长率为$x$. 根据题意,得 $300(1+x)^2=432$,解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不合题意,舍去).
答:2、3两个月的销售量月平均增长率为20%;
(2) 设这种台灯售价定为$y$元,则每个台灯的销售利润为$(y-30)$元,月销售量为$432+6× \frac{40-y}{0.5}=(912-12y)$个. 根据题意得$(y-30)(912-12y)=2880$,整理得$y^2-106y+2520=0$,解得$y_1=36$,$y_2=70$(不合题意,舍去). 答:这种台灯售价定为36元时,商场4月销售这种台灯获利2880元.
答:2、3两个月的销售量月平均增长率为20%;
(2) 设这种台灯售价定为$y$元,则每个台灯的销售利润为$(y-30)$元,月销售量为$432+6× \frac{40-y}{0.5}=(912-12y)$个. 根据题意得$(y-30)(912-12y)=2880$,整理得$y^2-106y+2520=0$,解得$y_1=36$,$y_2=70$(不合题意,舍去). 答:这种台灯售价定为36元时,商场4月销售这种台灯获利2880元.
解析
【分析】
（1）第一问属于平均增长率问题，解题核心是利用平均增长率的等量关系：初始量×(1+增长率)ⁿ=增长n次后的量。本题初始销售量是1月的300个，经过2个月增长到3月的432个，n=2，设月平均增长率为x，代入等量关系列方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际的根。
（2）第二问属于销售利润问题，核心等量关系为：总利润=单个商品利润×销售量。设售价为y元，单个利润为售价减进货价(y-30)元；再梳理销售量：3月基础销量为432个，售价每降0.5元销量增加6个，先算售价从40元降到y元共降价(40-y)元，对应增加的销量为$6×\frac{40-y}{0.5}$，总销量为基础销量加新增销量。代入总利润为2880元的等量关系列方程，最后结合售价35元至40元的范围舍去不符合要求的根即可。
【解析】
(1) 设2、3两个月的销售量月平均增长率为$x$。
根据题意列方程：
$300(1+x)^2=432$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不合题意，舍去）。
答：2、3两个月的销售量月平均增长率为20%。
(2) 设这种台灯售价定为$y$元。
则每个台灯的销售利润为$(y-30)$元，
月销售量为$432+6× \frac{40-y}{0.5}=(912-12y)$个。
根据总获利2880元列方程：
$(y-30)(912-12y)=2880$
整理得$y^2-106y+2520=0$
解得$y_1=36$，$y_2=70$。
已知售价范围为35元至40元，$y_2=70$不符合要求，舍去。
答：这种台灯售价定为36元时，商场4月销售这种台灯获利2880元。
【答案】
（1）2、3两个月的销售量月平均增长率为20%；
（2）这种台灯售价定为36元时，商场4月销售这种台灯获利2880元。
【知识点】
一元二次方程应用、平均增长率问题、销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，第一问直接套用平均增长率公式即可求解，难度较低；第二问需要准确梳理售价与销售量的对应关系，求解后要注意结合题目给出的取值范围验证根的合理性，解题核心是找准等量关系正确列方程。
【难度系数】
0.65
（1）第一问属于平均增长率问题，解题核心是利用平均增长率的等量关系：初始量×(1+增长率)ⁿ=增长n次后的量。本题初始销售量是1月的300个，经过2个月增长到3月的432个，n=2，设月平均增长率为x，代入等量关系列方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际的根。
（2）第二问属于销售利润问题，核心等量关系为：总利润=单个商品利润×销售量。设售价为y元，单个利润为售价减进货价(y-30)元；再梳理销售量：3月基础销量为432个，售价每降0.5元销量增加6个，先算售价从40元降到y元共降价(40-y)元，对应增加的销量为$6×\frac{40-y}{0.5}$，总销量为基础销量加新增销量。代入总利润为2880元的等量关系列方程，最后结合售价35元至40元的范围舍去不符合要求的根即可。
【解析】
(1) 设2、3两个月的销售量月平均增长率为$x$。
根据题意列方程：
$300(1+x)^2=432$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不合题意，舍去）。
答：2、3两个月的销售量月平均增长率为20%。
(2) 设这种台灯售价定为$y$元。
则每个台灯的销售利润为$(y-30)$元，
月销售量为$432+6× \frac{40-y}{0.5}=(912-12y)$个。
根据总获利2880元列方程：
$(y-30)(912-12y)=2880$
整理得$y^2-106y+2520=0$
解得$y_1=36$，$y_2=70$。
已知售价范围为35元至40元，$y_2=70$不符合要求，舍去。
答：这种台灯售价定为36元时，商场4月销售这种台灯获利2880元。
【答案】
（1）2、3两个月的销售量月平均增长率为20%；
（2）这种台灯售价定为36元时，商场4月销售这种台灯获利2880元。
【知识点】
一元二次方程应用、平均增长率问题、销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，第一问直接套用平均增长率公式即可求解，难度较低；第二问需要准确梳理售价与销售量的对应关系，求解后要注意结合题目给出的取值范围验证根的合理性，解题核心是找准等量关系正确列方程。
【难度系数】
0.65
23. 某牧场准备利用一堵现成的“7”字形的墙面(粗线A－B－C)建饲养场，已知AB⊥BC，AB=2 m，BC=16 m，现计划用总长为38 m的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF，并在每个区域开一个宽2 m的门，如图(细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开)，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上.
(1) 如图①，当点F在线段BC上时，设EF的长为x m.
① DE=
② 若围成的饲养场BDEF的面积为140 m²，求EF的长.
(2) 如图②，当点F在线段BC的延长线上时，所围成的饲养场BDEF的面积能否达到160 m²？若能，求出EF的长；若不能，请说明理由.
(1) 如图①，当点F在线段BC上时，设EF的长为x m.
① DE=
$(44-3x)$
m(用含x的代数式表示)；② 若围成的饲养场BDEF的面积为140 m²，求EF的长.
(2) 如图②，当点F在线段BC的延长线上时，所围成的饲养场BDEF的面积能否达到160 m²？若能，求出EF的长；若不能，请说明理由.
答案
23. 解:(1) ① $(44-3x)$；
② 由题意,得 $x(44-3x)=140$,解得$x_1=10$,$x_2=\frac{14}{3}$.
$\because$ 点$F$在线段$BC$上,$\therefore 44-3x≤ 16$,解得$x≥ \frac{28}{3}$. $\therefore x=10$.
$\therefore EF$的长为10 m；
(2) 所围成的饲养场$BDEF$的面积不能达到$160\ \mathrm{m}^2$. 理由:假设所围成的饲养场$BDEF$的面积能达到$160\ \mathrm{m}^2$. 设$EF$的长为$y$ m,则 $DE=\frac{38-2y-(y-2)+2+2+16}{2}=\frac{60-3y}{2}$ m. 由题意,得 $y· \frac{60-3y}{2}=160$. 整理,得 $3y^2-60y+320=0$. $\because b^2-4ac=(-60)^2-4× 3× 320=-240＜0$,$\therefore$ 该方程没有实数根,即当点$F$在线段$BC$的延长线上时,所围成的饲养场$BDEF$的面积不能达到$160\ \mathrm{m}^2$.
② 由题意,得 $x(44-3x)=140$,解得$x_1=10$,$x_2=\frac{14}{3}$.
$\because$ 点$F$在线段$BC$上,$\therefore 44-3x≤ 16$,解得$x≥ \frac{28}{3}$. $\therefore x=10$.
$\therefore EF$的长为10 m；
(2) 所围成的饲养场$BDEF$的面积不能达到$160\ \mathrm{m}^2$. 理由:假设所围成的饲养场$BDEF$的面积能达到$160\ \mathrm{m}^2$. 设$EF$的长为$y$ m,则 $DE=\frac{38-2y-(y-2)+2+2+16}{2}=\frac{60-3y}{2}$ m. 由题意,得 $y· \frac{60-3y}{2}=160$. 整理,得 $3y^2-60y+320=0$. $\because b^2-4ac=(-60)^2-4× 3× 320=-240＜0$,$\therefore$ 该方程没有实数根,即当点$F$在线段$BC$的延长线上时,所围成的饲养场$BDEF$的面积不能达到$160\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
这是一道一元二次方程结合几何实际场景的应用题，解题思路如下：
1. 解决第(1)问①：首先明确篱笆总长、门的宽度、现成墙面的长度关系，“日”字形结构有3条垂直于DE的边（EF、GH、BD）长度均为x，考虑到2扇宽2m的门不需要篱笆，加上现成的AB段墙面长2m，可推出等效总围建长度为3x+DE=38+2×2+2=44，变形即可得到DE的代数式。
2. 解决第(1)问②：利用矩形面积=长×宽列一元二次方程求解，再结合点F在线段BC上的限制条件（DE≤BC=16）对解进行取舍，得到符合题意的EF长度。
3. 解决第(2)问：当F在BC延长线上时，重新梳理篱笆长度、墙面长度、门宽的关系，用含y的代数式表示DE，再根据面积列方程，通过计算根的判别式判断方程是否有实数根，即可判断面积能否达到160m²。
【解析】
(1) ① 由题意，“日”字形的篱笆垂直边共3条，每条长x m，两扇门共宽$2×2=4\ \mathrm{m}$，现成AB墙面长2 m，总篱笆长38 m，因此可得$3x + DE = 38 + 4 + 2$，整理得$DE=(44-3x)\ \mathrm{m}$。
② 已知饲养场面积为$140\ \mathrm{m}^2$，矩形面积=EF×DE，因此列方程：
$x(44-3x)=140$
整理得$3x^2-44x+140=0$，解得$x_1=10$，$x_2=\frac{14}{3}$。
∵点F在线段BC上，$BC=16\ \mathrm{m}$，
∴$DE≤16$，即$44-3x≤16$，解得$x≥\frac{28}{3}$。
$\frac{14}{3}＜\frac{28}{3}$，不符合题意舍去，故$x=10$。
即EF的长为$10\ \mathrm{m}$。
(2) 不能达到，理由如下：
假设面积能达到$160\ \mathrm{m}^2$，设EF的长为y m。
梳理篱笆长度关系可得$DE=\frac{38-2y-(y-2)+2+2+16}{2}=\frac{60-3y}{2}\ \mathrm{m}$。
根据面积列方程：
$y·\frac{60-3y}{2}=160$
整理得$3y^2-60y+320=0$。
计算根的判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-60)^2-4×3×320=3600-3840=-240＜0$
∴该方程没有实数根，即当点F在线段BC的延长线上时，饲养场面积不能达到$160\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{44-3x}$；② EF的长为$\boldsymbol{10\ \mathrm{m}}$；
(2) 不能达到，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用；列代数式；根的判别式应用
【点评】
本题结合实际围建场景考察一元二次方程的相关知识，解题时需要注意结合图形的位置限制对解的合理性进行验证，不能忽略实际意义直接取方程的所有解，同时要掌握用根的判别式判断一元二次方程是否有实根的方法。
【难度系数】
0.6
这是一道一元二次方程结合几何实际场景的应用题，解题思路如下：
1. 解决第(1)问①：首先明确篱笆总长、门的宽度、现成墙面的长度关系，“日”字形结构有3条垂直于DE的边（EF、GH、BD）长度均为x，考虑到2扇宽2m的门不需要篱笆，加上现成的AB段墙面长2m，可推出等效总围建长度为3x+DE=38+2×2+2=44，变形即可得到DE的代数式。
2. 解决第(1)问②：利用矩形面积=长×宽列一元二次方程求解，再结合点F在线段BC上的限制条件（DE≤BC=16）对解进行取舍，得到符合题意的EF长度。
3. 解决第(2)问：当F在BC延长线上时，重新梳理篱笆长度、墙面长度、门宽的关系，用含y的代数式表示DE，再根据面积列方程，通过计算根的判别式判断方程是否有实数根，即可判断面积能否达到160m²。
【解析】
(1) ① 由题意，“日”字形的篱笆垂直边共3条，每条长x m，两扇门共宽$2×2=4\ \mathrm{m}$，现成AB墙面长2 m，总篱笆长38 m，因此可得$3x + DE = 38 + 4 + 2$，整理得$DE=(44-3x)\ \mathrm{m}$。
② 已知饲养场面积为$140\ \mathrm{m}^2$，矩形面积=EF×DE，因此列方程：
$x(44-3x)=140$
整理得$3x^2-44x+140=0$，解得$x_1=10$，$x_2=\frac{14}{3}$。
∵点F在线段BC上，$BC=16\ \mathrm{m}$，
∴$DE≤16$，即$44-3x≤16$，解得$x≥\frac{28}{3}$。
$\frac{14}{3}＜\frac{28}{3}$，不符合题意舍去，故$x=10$。
即EF的长为$10\ \mathrm{m}$。
(2) 不能达到，理由如下：
假设面积能达到$160\ \mathrm{m}^2$，设EF的长为y m。
梳理篱笆长度关系可得$DE=\frac{38-2y-(y-2)+2+2+16}{2}=\frac{60-3y}{2}\ \mathrm{m}$。
根据面积列方程：
$y·\frac{60-3y}{2}=160$
整理得$3y^2-60y+320=0$。
计算根的判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-60)^2-4×3×320=3600-3840=-240＜0$
∴该方程没有实数根，即当点F在线段BC的延长线上时，饲养场面积不能达到$160\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{44-3x}$；② EF的长为$\boldsymbol{10\ \mathrm{m}}$；
(2) 不能达到，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用；列代数式；根的判别式应用
【点评】
本题结合实际围建场景考察一元二次方程的相关知识，解题时需要注意结合图形的位置限制对解的合理性进行验证，不能忽略实际意义直接取方程的所有解，同时要掌握用根的判别式判断一元二次方程是否有实根的方法。
【难度系数】
0.6
