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12. 若$x=-2$是一元二次方程$x^2+2x+m=0$的一个根，则方程的另一个根及$m$的值分别是（
A.$0,-2$
B.$0,0$
C.$-2,-2$
D.$-2,0$
B
）A.$0,-2$
B.$0,0$
C.$-2,-2$
D.$-2,0$
答案
12. B
解析
【分析】
拿到这道题有两种常规解题思路：第一种是利用一元二次方程根的定义，将已知根代入方程先求出参数m的值，再代入m解方程得到另一个根；第二种是利用九年级所学的根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根和、两根积的关系，不需要解方程就能快速求出另一个根和m的值，两种方法都符合学段要求，可根据熟练程度选择。
【解析】
方法一：利用根的定义求解
∵ $x=-2$是方程$x^2+2x+m=0$的根
∴ 将$x=-2$代入方程，等式成立：
$(-2)^2 + 2×(-2) + m = 0$
计算得：$4-4+m=0$，解得$m=0$
将$m=0$代入原方程得：$x^2+2x=0$
因式分解得：$x(x+2)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=-2$
∴ 另一个根为$0$，$m=0$
方法二：利用根与系数的关系求解
设方程的另一个根为$x_1$，对于$ax^2+bx+c=0$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$
本题中$a=1,b=2,c=m$，则：
两根之和：$x_1 + (-2) = -\frac{2}{1}=-2$，解得$x_1=0$
两根之积：$0×(-2)=\frac{m}{1}$，解得$m=0$
综上，另一个根为$0$，$m=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程的解法；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，两种解题方法都需要熟练掌握，其中根与系数的关系可以省略解方程的步骤，解题效率更高，这类基础题型是后续解复杂一元二次方程相关题目的基础，需要重点落实。
【难度系数】
0.9
拿到这道题有两种常规解题思路：第一种是利用一元二次方程根的定义，将已知根代入方程先求出参数m的值，再代入m解方程得到另一个根；第二种是利用九年级所学的根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根和、两根积的关系，不需要解方程就能快速求出另一个根和m的值，两种方法都符合学段要求，可根据熟练程度选择。
【解析】
方法一：利用根的定义求解
∵ $x=-2$是方程$x^2+2x+m=0$的根
∴ 将$x=-2$代入方程，等式成立：
$(-2)^2 + 2×(-2) + m = 0$
计算得：$4-4+m=0$，解得$m=0$
将$m=0$代入原方程得：$x^2+2x=0$
因式分解得：$x(x+2)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=-2$
∴ 另一个根为$0$，$m=0$
方法二：利用根与系数的关系求解
设方程的另一个根为$x_1$，对于$ax^2+bx+c=0$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$
本题中$a=1,b=2,c=m$，则：
两根之和：$x_1 + (-2) = -\frac{2}{1}=-2$，解得$x_1=0$
两根之积：$0×(-2)=\frac{m}{1}$，解得$m=0$
综上，另一个根为$0$，$m=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程的解法；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，两种解题方法都需要熟练掌握，其中根与系数的关系可以省略解方程的步骤，解题效率更高，这类基础题型是后续解复杂一元二次方程相关题目的基础，需要重点落实。
【难度系数】
0.9
13. 在平面直角坐标系中，若直线$y=-x+m$不经过第一象限，则关于$x$的方程$mx^2 + x + 1=0$的实数根的个数为 （
A.0个
B.1个
C.2个
D.1或2个
D
）A.0个
B.1个
C.2个
D.1或2个
答案
13. D
解析
【分析】
解题时先从已知直线的性质入手：首先根据一次函数的图象特征，确定参数m的取值范围；再对m的取值分类讨论：当m=0时，原方程为一元一次方程，可直接判断根的个数；当m≠0时，原方程为一元二次方程，通过计算判别式Δ的符号判断实根的个数，最后综合两种情况即可得到结果。
【解析】
∵直线$y=-x+m$的斜率为$-1＜0$，若直线不经过第一象限，则直线与$y$轴的交点在原点或$y$轴负半轴，
∴$m≤0$。
分两种情况讨论：
1. 当$m=0$时，原方程化为$x+1=0$，是一元一次方程，解得$x=-1$，有1个实数根；
2. 当$m＜0$时，原方程$mx^2 + x + 1=0$是一元二次方程，判别式$\Delta=1^2-4× m×1=1-4m$，
∵$m＜0$，
∴$-4m＞0$，
∴$\Delta=1-4m＞1＞0$，此时方程有2个不相等的实数根。
综上，方程的实数根的个数为1或2个。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质、一元二次方程根的判别式、分类讨论思想
【点评】
本题综合考查一次函数图象性质与方程实根个数的判断，易错点是容易忽略$m=0$的特殊情况，直接将方程默认为一元二次方程求解，解题时要注意对参数的取值分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知直线的性质入手：首先根据一次函数的图象特征，确定参数m的取值范围；再对m的取值分类讨论：当m=0时，原方程为一元一次方程，可直接判断根的个数；当m≠0时，原方程为一元二次方程，通过计算判别式Δ的符号判断实根的个数，最后综合两种情况即可得到结果。
【解析】
∵直线$y=-x+m$的斜率为$-1＜0$，若直线不经过第一象限，则直线与$y$轴的交点在原点或$y$轴负半轴，
∴$m≤0$。
分两种情况讨论：
1. 当$m=0$时，原方程化为$x+1=0$，是一元一次方程，解得$x=-1$，有1个实数根；
2. 当$m＜0$时，原方程$mx^2 + x + 1=0$是一元二次方程，判别式$\Delta=1^2-4× m×1=1-4m$，
∵$m＜0$，
∴$-4m＞0$，
∴$\Delta=1-4m＞1＞0$，此时方程有2个不相等的实数根。
综上，方程的实数根的个数为1或2个。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质、一元二次方程根的判别式、分类讨论思想
【点评】
本题综合考查一次函数图象性质与方程实根个数的判断，易错点是容易忽略$m=0$的特殊情况，直接将方程默认为一元二次方程求解，解题时要注意对参数的取值分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
14. 若一元二次方程$mx^2 + 2x + 1 = 0$有实数解，则$m$的取值范围是 （
A.$m≥ -1$
B.$m≤1$
C.$m≥ -1$且$m≠0$
D.$m≤1$且$m≠0$
D
）A.$m≥ -1$
B.$m≤1$
C.$m≥ -1$且$m≠0$
D.$m≤1$且$m≠0$
答案
14. D
解析
【分析】
要解决这道题，需同时满足两个条件：一是题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有实数解，需满足根的判别式大于等于0。我们先分别求出两个条件下m的取值范围，再取公共部分就是最终m的取值范围。
【解析】
首先，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，因此$ m ≠ 0 $。
其次，一元二次方程有实数解，说明根的判别式$ \Delta ≥ 0 $。对于一元二次方程$ ax^2+bx+c=0(a≠0) $，判别式$ \Delta = b^2 - 4ac $，本题中$ a=m $，$ b=2 $，$ c=1 $，代入得：
$ \Delta = 2^2 - 4 × m × 1 = 4 - 4m ≥ 0 $
解不等式：
$ 4 - 4m ≥ 0 $
移项得$ 4 ≥ 4m $
两边同时除以4得$ m ≤ 1 $
结合前面的$ m ≠ 0 $，最终m的取值范围是$ m ≤ 1 $且$ m ≠ 0 $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式应用
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，易错点是容易忽略“一元二次方程”隐含的二次项系数不为0的条件，仅通过判别式计算得到$ m ≤ 1 $而错选B，解题时要注意审题，抓住题干的关键限定条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需同时满足两个条件：一是题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有实数解，需满足根的判别式大于等于0。我们先分别求出两个条件下m的取值范围，再取公共部分就是最终m的取值范围。
【解析】
首先，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，因此$ m ≠ 0 $。
其次，一元二次方程有实数解，说明根的判别式$ \Delta ≥ 0 $。对于一元二次方程$ ax^2+bx+c=0(a≠0) $，判别式$ \Delta = b^2 - 4ac $，本题中$ a=m $，$ b=2 $，$ c=1 $，代入得：
$ \Delta = 2^2 - 4 × m × 1 = 4 - 4m ≥ 0 $
解不等式：
$ 4 - 4m ≥ 0 $
移项得$ 4 ≥ 4m $
两边同时除以4得$ m ≤ 1 $
结合前面的$ m ≠ 0 $，最终m的取值范围是$ m ≤ 1 $且$ m ≠ 0 $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 根的判别式应用
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，易错点是容易忽略“一元二次方程”隐含的二次项系数不为0的条件，仅通过判别式计算得到$ m ≤ 1 $而错选B，解题时要注意审题，抓住题干的关键限定条件。
【难度系数】
0.7
15. 如图,甲(用点F表示)、乙(用点E表示)两人分别从正方形广场ABCD的顶点C,B同时出发,甲由C向D运动,乙由B向C运动,甲的速度为1 km/min,乙的速度为2 km/min.若正方形广场的周长为40 km,则两人相距5 km所需要的时间为 (
A.3 min
B.3 min或5 min
C.3 min或4 min
D.5 min
B
)A.3 min
B.3 min或5 min
C.3 min或4 min
D.5 min
答案
15. B
解析
【分析】
首先根据正方形周长求出边长，设运动时间为t min，结合两人的运动速度和方向，分别用含t的代数式表示出Rt△ECF的两条直角边EC、CF的长度，再利用勾股定理建立一元二次方程，求解后检验解是否符合实际运动的取值范围，最终得到正确答案。
【解析】
已知正方形广场周长为40 km，因此正方形边长为 $40÷4=10\ \mathrm{km}$。
设两人相距5 km时的运动时间为 $t\ \mathrm{min}$：
1. 乙从B向C运动，速度为2 km/min，$t\ \mathrm{min}$后走过的路程 $BE=2t\ \mathrm{km}$，因此 $EC = BC - BE = (10-2t)\ \mathrm{km}$；
2. 甲从C向D运动，速度为1 km/min，$t\ \mathrm{min}$后走过的路程 $CF = t\ \mathrm{km}$。
因为$∠ C=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ECF$中，由勾股定理得 $EC^2 + CF^2 = EF^2$，代入$EF=5\ \mathrm{km}$得：
$(10-2t)^2 + t^2 = 5^2$
展开整理得：
$100 - 40t + 4t^2 + t^2 =25 \\5t^2 -40t +75=0 \t^2 -8t +15=0$
因式分解得$(t-3)(t-5)=0$，解得$t_1=3$，$t_2=5$。
检验：当$t=3$时，$EC=10-2×3=4＞0$，$CF=3＜10$，符合实际；当$t=5$时，$EC=10-2×5=0$（即乙到达C点），$CF=5＜10$，此时EF=CF=5 km，也符合实际。
因此两人相距5 km所需时间为3 min或5 min。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理应用；一元二次方程应用；动点问题
【点评】
本题属于动点类的方程应用问题，解题核心是将动态的线段长度用含时间的代数式表示，结合几何性质列方程求解，要注意对所得的解进行实际意义的检验，舍去不符合运动情况的增根。
【难度系数】
0.7
首先根据正方形周长求出边长，设运动时间为t min，结合两人的运动速度和方向，分别用含t的代数式表示出Rt△ECF的两条直角边EC、CF的长度，再利用勾股定理建立一元二次方程，求解后检验解是否符合实际运动的取值范围，最终得到正确答案。
【解析】
已知正方形广场周长为40 km，因此正方形边长为 $40÷4=10\ \mathrm{km}$。
设两人相距5 km时的运动时间为 $t\ \mathrm{min}$：
1. 乙从B向C运动，速度为2 km/min，$t\ \mathrm{min}$后走过的路程 $BE=2t\ \mathrm{km}$，因此 $EC = BC - BE = (10-2t)\ \mathrm{km}$；
2. 甲从C向D运动，速度为1 km/min，$t\ \mathrm{min}$后走过的路程 $CF = t\ \mathrm{km}$。
因为$∠ C=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ECF$中，由勾股定理得 $EC^2 + CF^2 = EF^2$，代入$EF=5\ \mathrm{km}$得：
$(10-2t)^2 + t^2 = 5^2$
展开整理得：
$100 - 40t + 4t^2 + t^2 =25 \\5t^2 -40t +75=0 \t^2 -8t +15=0$
因式分解得$(t-3)(t-5)=0$，解得$t_1=3$，$t_2=5$。
检验：当$t=3$时，$EC=10-2×3=4＞0$，$CF=3＜10$，符合实际；当$t=5$时，$EC=10-2×5=0$（即乙到达C点），$CF=5＜10$，此时EF=CF=5 km，也符合实际。
因此两人相距5 km所需时间为3 min或5 min。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理应用；一元二次方程应用；动点问题
【点评】
本题属于动点类的方程应用问题，解题核心是将动态的线段长度用含时间的代数式表示，结合几何性质列方程求解，要注意对所得的解进行实际意义的检验，舍去不符合运动情况的增根。
【难度系数】
0.7
16. 已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - x -4=0$的两个实数根，则$(x_1 +4)(x_2 +4)$的值是
$16$
。答案
16. $16$
解析
【分析】
遇到一元二次方程两根的代数式求值问题，优先考虑用根与系数的关系（韦达定理）求解，无需单独算出两个根的值，能减少计算量。解题思路如下：第一步，先根据一元二次方程的一般形式确定a、b、c的值，求出两根之和与两根之积；第二步，将待求的代数式展开整理为只含两根之和、两根之积的形式；第三步，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - x -4=0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 1$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -4$，
将$(x_1 +4)(x_2 +4)$展开整理得：
$(x_1 +4)(x_2 +4) = x_1x_2 +4x_1 +4x_2 +16 = x_1x_2 +4(x_1 + x_2) +16$，
把$x_1 + x_2 =1$，$x_1x_2=-4$代入上式得：
原式$= -4 +4×1 +16 = 16$。
【答案】
$16$
【知识点】
根与系数的关系，整式乘法化简
【点评】
本题考查韦达定理的应用，通过整体代入的思想计算代数式的值，不需要求解方程的根，简化了计算过程，是一元二次方程部分的典型基础题。
【难度系数】
0.8
遇到一元二次方程两根的代数式求值问题，优先考虑用根与系数的关系（韦达定理）求解，无需单独算出两个根的值，能减少计算量。解题思路如下：第一步，先根据一元二次方程的一般形式确定a、b、c的值，求出两根之和与两根之积；第二步，将待求的代数式展开整理为只含两根之和、两根之积的形式；第三步，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - x -4=0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 1$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -4$，
将$(x_1 +4)(x_2 +4)$展开整理得：
$(x_1 +4)(x_2 +4) = x_1x_2 +4x_1 +4x_2 +16 = x_1x_2 +4(x_1 + x_2) +16$，
把$x_1 + x_2 =1$，$x_1x_2=-4$代入上式得：
原式$= -4 +4×1 +16 = 16$。
【答案】
$16$
【知识点】
根与系数的关系，整式乘法化简
【点评】
本题考查韦达定理的应用，通过整体代入的思想计算代数式的值，不需要求解方程的根，简化了计算过程，是一元二次方程部分的典型基础题。
【难度系数】
0.8
17. 某市举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其他的球队进行一场比赛，已知共举行了45场比赛，那么参加比赛的球队共有
$10$
个。答案
17. $10$
解析
【分析】
本题是一元二次方程在比赛场次问题中的应用，解题思路如下：第一步，明确单循环赛制的计数规则：每两个球队之间仅进行1场比赛，若有x个球队，每个球队需要和其余(x-1)个球队各赛1场，此时总场次会被重复计算2次，因此实际总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$；第二步，结合已知总场次为45场，列出关于x的一元二次方程；第三步，求解方程并结合实际意义（球队数量为正整数）舍去不符合要求的根，得到最终结果。
【解析】
解：设参加比赛的球队共有$x$个。
根据单循环赛制的总场次计算公式，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
整理方程得：$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得：$(x-10)(x+9)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-9$
∵ 球队数量不能为负数，
∴ 舍去$x_2=-9$
即参加比赛的球队共有10个。
【答案】
$10$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用 2. 单循环赛计数 3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题属于典型的实际问题列方程求解类题目，解题的核心是正确理解单循环赛制的场次计算逻辑，避免出现重复计数的错误，求得方程的根后要注意结合实际场景验证根的合理性，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程在比赛场次问题中的应用，解题思路如下：第一步，明确单循环赛制的计数规则：每两个球队之间仅进行1场比赛，若有x个球队，每个球队需要和其余(x-1)个球队各赛1场，此时总场次会被重复计算2次，因此实际总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$；第二步，结合已知总场次为45场，列出关于x的一元二次方程；第三步，求解方程并结合实际意义（球队数量为正整数）舍去不符合要求的根，得到最终结果。
【解析】
解：设参加比赛的球队共有$x$个。
根据单循环赛制的总场次计算公式，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
整理方程得：$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得：$(x-10)(x+9)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-9$
∵ 球队数量不能为负数，
∴ 舍去$x_2=-9$
即参加比赛的球队共有10个。
【答案】
$10$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用 2. 单循环赛计数 3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题属于典型的实际问题列方程求解类题目，解题的核心是正确理解单循环赛制的场次计算逻辑，避免出现重复计数的错误，求得方程的根后要注意结合实际场景验证根的合理性，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
18. 三角形的每条边的长都是方程$x^2 -6x +8=0$的根，则三角形的周长是
$6或12或10$
.答案
18. $6或12或10$
解析
【分析】
解题可分为三步推进：第一步先求解一元二次方程，得到三角形边长的所有可能取值；第二步根据“三边均为方程的根”这一条件，分类列举所有可能的三边长组合；第三步利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）逐一验证组合是否合法，排除无法构成三角形的组合后，计算合法组合的周长即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 -6x +8=0$因式分解，得$(x-2)(x-4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$，即三角形的边长只能为2或4。
2. 分类讨论三边长组合并验证：
① 三边长均为2：满足三角形三边关系，周长为$2+2+2=6$；
② 三边长均为4：满足三角形三边关系，周长为$4+4+4=12$；
③ 三边长为2、2、4：因$2+2=4$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去；
④ 三边长为2、4、4：满足$2+4＞4$、$4+4＞2$，符合三边关系，周长为$2+4+4=10$。
综上，三角形的周长为6或12或10。
【答案】
$6或12或10$
【知识点】
一元二次方程的解法；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，既考查一元二次方程的求解能力，也要求学生具备分类讨论的思维，解题时需注意不要遗漏边长组合，同时必须用三边关系验证组合的合法性，避免错解、漏解。
【难度系数】
0.6
解题可分为三步推进：第一步先求解一元二次方程，得到三角形边长的所有可能取值；第二步根据“三边均为方程的根”这一条件，分类列举所有可能的三边长组合；第三步利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）逐一验证组合是否合法，排除无法构成三角形的组合后，计算合法组合的周长即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 -6x +8=0$因式分解，得$(x-2)(x-4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$，即三角形的边长只能为2或4。
2. 分类讨论三边长组合并验证：
① 三边长均为2：满足三角形三边关系，周长为$2+2+2=6$；
② 三边长均为4：满足三角形三边关系，周长为$4+4+4=12$；
③ 三边长为2、2、4：因$2+2=4$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去；
④ 三边长为2、4、4：满足$2+4＞4$、$4+4＞2$，符合三边关系，周长为$2+4+4=10$。
综上，三角形的周长为6或12或10。
【答案】
$6或12或10$
【知识点】
一元二次方程的解法；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，既考查一元二次方程的求解能力，也要求学生具备分类讨论的思维，解题时需注意不要遗漏边长组合，同时必须用三边关系验证组合的合法性，避免错解、漏解。
【难度系数】
0.6
19. 解下列方程：
(1) $4(x+3)^2 -16=0$；
(2) $(3x-1)^2=(x+1)^2$；
(3) $(2x+1)(x-2)=3$；
(4) $3(x^2+1)+10x=0$。
(1) $4(x+3)^2 -16=0$；
(2) $(3x-1)^2=(x+1)^2$；
(3) $(2x+1)(x-2)=3$；
(4) $3(x^2+1)+10x=0$。
答案
19. (1) $x_1=-5,x_2=-1$ (2) $x_1=0,x_2=1$ (3) $x_1=-1,x_2=\frac{5}{2}$ (4) $x_1=-3,x_2=-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，可根据每道方程的形式选择简便方法：(1)方程左边是含平方的项，先移项化成形如$a(x+m)^2=b$的形式，用直接开平方法求解；(2)方程两边均为完全平方式，移项后利用平方差公式因式分解求解；(3)先展开整理为一元二次方程的一般形式，再用十字相乘法因式分解求解；(4)先去括号整理为一般形式，再用十字相乘法因式分解求解。
【解析】
(1) 移项，得$4(x+3)^2=16$
两边同时除以4，得$(x+3)^2=4$
开平方，得$x+3=\pm2$
即$x+3=2$或$x+3=-2$
解得$x_1=-1$，$x_2=-5$
(2) 移项，得$(3x-1)^2-(x+1)^2=0$
利用平方差公式因式分解，得$[(3x-1)-(x+1)][(3x-1)+(x+1)]=0$
化简，得$(2x-2)·4x=0$，即$8x(x-1)=0$
$\therefore x=0$或$x-1=0$
解得$x_1=0$，$x_2=1$
(3) 展开并整理方程，得$2x^2-3x-2=3$
移项化为一般形式，得$2x^2-3x-5=0$
十字相乘法因式分解，得$(2x-5)(x+1)=0$
$\therefore 2x-5=0$或$x+1=0$
解得$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-1$
(4) 去括号整理，得$3x^2+10x+3=0$
十字相乘法因式分解，得$(3x+1)(x+3)=0$
$\therefore 3x+1=0$或$x+3=0$
解得$x_1=-\frac{1}{3}$，$x_2=-3$
【答案】
(1) $x_1=-5,x_2=-1$ (2) $x_1=0,x_2=1$ (3) $x_1=-1,x_2=\frac{5}{2}$ (4) $x_1=-3,x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
一元二次方程求解，直接开平方法，因式分解法
【点评】
本题覆盖了一元二次方程的常见基础题型，解题时优先观察方程结构选择简便解法，熟练掌握因式分解相关技巧可大幅提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的求解，可根据每道方程的形式选择简便方法：(1)方程左边是含平方的项，先移项化成形如$a(x+m)^2=b$的形式，用直接开平方法求解；(2)方程两边均为完全平方式，移项后利用平方差公式因式分解求解；(3)先展开整理为一元二次方程的一般形式，再用十字相乘法因式分解求解；(4)先去括号整理为一般形式，再用十字相乘法因式分解求解。
【解析】
(1) 移项，得$4(x+3)^2=16$
两边同时除以4，得$(x+3)^2=4$
开平方，得$x+3=\pm2$
即$x+3=2$或$x+3=-2$
解得$x_1=-1$，$x_2=-5$
(2) 移项，得$(3x-1)^2-(x+1)^2=0$
利用平方差公式因式分解，得$[(3x-1)-(x+1)][(3x-1)+(x+1)]=0$
化简，得$(2x-2)·4x=0$，即$8x(x-1)=0$
$\therefore x=0$或$x-1=0$
解得$x_1=0$，$x_2=1$
(3) 展开并整理方程，得$2x^2-3x-2=3$
移项化为一般形式，得$2x^2-3x-5=0$
十字相乘法因式分解，得$(2x-5)(x+1)=0$
$\therefore 2x-5=0$或$x+1=0$
解得$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-1$
(4) 去括号整理，得$3x^2+10x+3=0$
十字相乘法因式分解，得$(3x+1)(x+3)=0$
$\therefore 3x+1=0$或$x+3=0$
解得$x_1=-\frac{1}{3}$，$x_2=-3$
【答案】
(1) $x_1=-5,x_2=-1$ (2) $x_1=0,x_2=1$ (3) $x_1=-1,x_2=\frac{5}{2}$ (4) $x_1=-3,x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
一元二次方程求解，直接开平方法，因式分解法
【点评】
本题覆盖了一元二次方程的常见基础题型，解题时优先观察方程结构选择简便解法，熟练掌握因式分解相关技巧可大幅提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
20. 已知关于x的一元二次方程$x^2 + x + m^2 - 2m = 0$有一个实数根为−1，求m的值及方程的另一个根。
答案
20. $m=0或2$，方程的另一个根为0
解析
【分析】
解题思路如下：①首先根据一元二次方程根的定义，将已知的实数根x=-1代入原方程，即可得到仅含参数m的方程，解这个方程就能求出m的取值；②求方程的另一个根时，可利用一元二次方程根与系数的关系（两根之和等于-b/a），已知一个根的情况下直接计算出另一根，无需代入m的值重新解方程，更简便。
【解析】
步骤1：求m的值
∵x=-1是方程$x^2 + x + m^2 - 2m = 0$的实数根，将x=-1代入方程得：
$(-1)^2 + (-1) + m^2 - 2m = 0$
化简得：$1 - 1 + m^2 - 2m = 0$，即$m^2 - 2m = 0$
因式分解得：$m(m-2) = 0$
解得：$m=0$或$m=2$
步骤2：求方程的另一个根
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（a≠0），两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
本题中a=1，b=1，已知一个根$x_1=-1$，代入得：
$-1 + x_2 = -\frac{1}{1} = -1$
解得：$x_2=0$
【答案】
$m=0或2$，方程的另一个根为0
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；因式分解法解方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查根的定义和根与系数关系的灵活应用，既可以通过代入已知根求参数再解方程得另一根，也可以直接用根与系数关系快速求出另一根，解题时选择简便方法可提升做题效率。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：①首先根据一元二次方程根的定义，将已知的实数根x=-1代入原方程，即可得到仅含参数m的方程，解这个方程就能求出m的取值；②求方程的另一个根时，可利用一元二次方程根与系数的关系（两根之和等于-b/a），已知一个根的情况下直接计算出另一根，无需代入m的值重新解方程，更简便。
【解析】
步骤1：求m的值
∵x=-1是方程$x^2 + x + m^2 - 2m = 0$的实数根，将x=-1代入方程得：
$(-1)^2 + (-1) + m^2 - 2m = 0$
化简得：$1 - 1 + m^2 - 2m = 0$，即$m^2 - 2m = 0$
因式分解得：$m(m-2) = 0$
解得：$m=0$或$m=2$
步骤2：求方程的另一个根
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（a≠0），两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
本题中a=1，b=1，已知一个根$x_1=-1$，代入得：
$-1 + x_2 = -\frac{1}{1} = -1$
解得：$x_2=0$
【答案】
$m=0或2$，方程的另一个根为0
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；因式分解法解方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查根的定义和根与系数关系的灵活应用，既可以通过代入已知根求参数再解方程得另一根，也可以直接用根与系数关系快速求出另一根，解题时选择简便方法可提升做题效率。
【难度系数】
0.8
