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1. 若关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2 +5x +m^2 -3m +2=0$的常数项为0，则$m$的值是（
A.1
B.2
C.1或2
D.0
B
）A.1
B.2
C.1或2
D.0
答案
1. B
解析
【分析】
解决本题需抓住两个核心限制条件：一是该方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程的常数项为0。我们可以先根据常数项为0列方程求解m的可能值，再结合二次项系数不为0的隐含条件排除不符合要求的取值，即可得到正确结果。
【解析】
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不能为0，因此：
$m-1 ≠ 0$，解得$m ≠ 1$。
2. 已知方程常数项为0，该方程的常数项为$m^2 - 3m + 2$，因此列方程：
$m^2 - 3m + 2 = 0$
对左边因式分解得：$(m-1)(m-2)=0$
解得$m=1$或$m=2$。
3. 结合第一步$m ≠ 1$的限制，排除$m=1$，最终得$m=2$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的项的概念
【点评】
本题属于易错题，容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，仅通过常数项为0求解得到错误选项，解题时需注意梳理题目所有显性和隐性条件，避免漏判。
【难度系数】
0.6
解决本题需抓住两个核心限制条件：一是该方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程的常数项为0。我们可以先根据常数项为0列方程求解m的可能值，再结合二次项系数不为0的隐含条件排除不符合要求的取值，即可得到正确结果。
【解析】
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不能为0，因此：
$m-1 ≠ 0$，解得$m ≠ 1$。
2. 已知方程常数项为0，该方程的常数项为$m^2 - 3m + 2$，因此列方程：
$m^2 - 3m + 2 = 0$
对左边因式分解得：$(m-1)(m-2)=0$
解得$m=1$或$m=2$。
3. 结合第一步$m ≠ 1$的限制，排除$m=1$，最终得$m=2$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的项的概念
【点评】
本题属于易错题，容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，仅通过常数项为0求解得到错误选项，解题时需注意梳理题目所有显性和隐性条件，避免漏判。
【难度系数】
0.6
2. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是 （
A.$x^2=3x-8$
B.$x^2+5x=-10$
C.$7x^2-14x+7=0$
D.$x^2-7x=-5x+3$
D
）A.$x^2=3x-8$
B.$x^2+5x=-10$
C.$7x^2-14x+7=0$
D.$x^2-7x=-5x+3$
答案
2. D
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，核心是利用根的判别式的符号进行判断，解题思路如下：①先将各选项中的方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）；②分别计算每个方程的判别式$\Delta=b^2-4ac$的值；③根据“$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根”的规则，选出符合要求的选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
选项A：整理为一般形式得$x^2-3x+8=0$，$a=1,b=-3,c=8$，$\Delta=(-3)^2-4×1×8=9-32=-23＜0$，无实数根，不符合要求；
选项B：整理为一般形式得$x^2+5x+10=0$，$a=1,b=5,c=10$，$\Delta=5^2-4×1×10=25-40=-15＜0$，无实数根，不符合要求；
选项C：方程为$7x^2-14x+7=0$，$a=7,b=-14,c=7$，$\Delta=(-14)^2-4×7×7=196-196=0$，有两个相等的实数根，不符合要求；
选项D：整理为一般形式得$x^2-2x-3=0$，$a=1,b=-2,c=-3$，$\Delta=(-2)^2-4×1×(-3)=4+12=16＞0$，有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用，解题时需先将方程化为标准形式，计算判别式时注意不要写错各项系数的符号，牢记判别式与根的个数的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，核心是利用根的判别式的符号进行判断，解题思路如下：①先将各选项中的方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）；②分别计算每个方程的判别式$\Delta=b^2-4ac$的值；③根据“$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根”的规则，选出符合要求的选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
选项A：整理为一般形式得$x^2-3x+8=0$，$a=1,b=-3,c=8$，$\Delta=(-3)^2-4×1×8=9-32=-23＜0$，无实数根，不符合要求；
选项B：整理为一般形式得$x^2+5x+10=0$，$a=1,b=5,c=10$，$\Delta=5^2-4×1×10=25-40=-15＜0$，无实数根，不符合要求；
选项C：方程为$7x^2-14x+7=0$，$a=7,b=-14,c=7$，$\Delta=(-14)^2-4×7×7=196-196=0$，有两个相等的实数根，不符合要求；
选项D：整理为一般形式得$x^2-2x-3=0$，$a=1,b=-2,c=-3$，$\Delta=(-2)^2-4×1×(-3)=4+12=16＞0$，有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用，解题时需先将方程化为标准形式，计算判别式时注意不要写错各项系数的符号，牢记判别式与根的个数的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 已知方程$x^2 + 2023x - 3 = 0$的两根分别是$α$和$β$，则代数式$α^2 + αβ + 2023α$的值为（
A.1
B.0
C.2023
D.$-2023$
B
）A.1
B.0
C.2023
D.$-2023$
答案
3. B
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 观察所求代数式的结构，发现含有的$α^2+2023α$项，恰好对应方程将$x$替换为$α$后的部分项，因此先利用一元二次方程根的定义，求出$α^2+2023α$的值；2. 代数式剩余项为$αβ$，属于两根之积，可利用一元二次方程根与系数的关系直接求出；3. 把代数式拆分后整体代入两个结果计算即可得到答案，无需单独求解$α$、$β$的具体值，简化计算。
【解析】
解：
∵$α$是方程$x^2 + 2023x - 3 = 0$的根，
∴将$x=α$代入方程，可得$α^2 + 2023α - 3 = 0$，即$α^2 + 2023α = 3$。
又
∵$α$、$β$是方程$x^2 + 2023x - 3 = 0$的两根，根据根与系数的关系，两根之积$αβ = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3$。
对所求代数式变形可得：
$α^2 + αβ + 2023α = (α^2 + 2023α) + αβ$
将$α^2 + 2023α = 3$、$αβ = -3$代入上式，得：
原式$= 3 + (-3) = 0$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查整体代入的数学思想，避免了求解方程根的繁琐运算，熟练掌握根的定义和根与系数的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：1. 观察所求代数式的结构，发现含有的$α^2+2023α$项，恰好对应方程将$x$替换为$α$后的部分项，因此先利用一元二次方程根的定义，求出$α^2+2023α$的值；2. 代数式剩余项为$αβ$，属于两根之积，可利用一元二次方程根与系数的关系直接求出；3. 把代数式拆分后整体代入两个结果计算即可得到答案，无需单独求解$α$、$β$的具体值，简化计算。
【解析】
解：
∵$α$是方程$x^2 + 2023x - 3 = 0$的根，
∴将$x=α$代入方程，可得$α^2 + 2023α - 3 = 0$，即$α^2 + 2023α = 3$。
又
∵$α$、$β$是方程$x^2 + 2023x - 3 = 0$的两根，根据根与系数的关系，两根之积$αβ = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3$。
对所求代数式变形可得：
$α^2 + αβ + 2023α = (α^2 + 2023α) + αβ$
将$α^2 + 2023α = 3$、$αβ = -3$代入上式，得：
原式$= 3 + (-3) = 0$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查整体代入的数学思想，避免了求解方程根的繁琐运算，熟练掌握根的定义和根与系数的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 若两个连续负偶数的积为528,则这两个负偶数的和为 （
A.—50
B.—46
C.—48
D.—44
B
）A.—50
B.—46
C.—48
D.—44
答案
4. B
解析
【分析】
本题是数字类一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步，明确连续偶数的特征：相邻两个偶数的差为2；第二步，合理设未知数，因为要求的是两个连续负偶数，设较小的负偶数为x，则较大的负偶数可表示为x+2；第三步，根据“两数积为528”的等量关系列一元二次方程；第四步，解方程后结合“负偶数”的条件筛选符合要求的根，最后计算两数之和即可。
【解析】
设较小的连续负偶数为$ x $，则较大的连续负偶数为$ x+2 $。
根据题意列方程：
$ x(x+2)=528 $
整理为标准一元二次方程形式：
$ x^2 + 2x - 528 = 0 $
用公式法解方程：
判别式$ \Delta = 2^2 - 4×1×(-528) = 4 + 2112 = 2116 = 46^2 $
则$ x = \frac{-2\pm46}{2} $
解得$ x_1 = 22 $，$ x_2 = -24 $
因为所求为负偶数，故舍去正根$ x_1=22 $，取$ x=-24 $
则另一个负偶数为$ -24 + 2 = -22 $
两数之和为$ -24 + (-22) = -46 $
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 一元二次方程的求解
3. 偶数的性质
【点评】
本题属于基础的方程应用类题型，解题核心是准确抓住连续偶数的数量关系设未知数，列方程求解后要注意结合题干的限定条件（负偶数）对根进行取舍，避免出现错选正根对应的结果。
【难度系数】
0.7
本题是数字类一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步，明确连续偶数的特征：相邻两个偶数的差为2；第二步，合理设未知数，因为要求的是两个连续负偶数，设较小的负偶数为x，则较大的负偶数可表示为x+2；第三步，根据“两数积为528”的等量关系列一元二次方程；第四步，解方程后结合“负偶数”的条件筛选符合要求的根，最后计算两数之和即可。
【解析】
设较小的连续负偶数为$ x $，则较大的连续负偶数为$ x+2 $。
根据题意列方程：
$ x(x+2)=528 $
整理为标准一元二次方程形式：
$ x^2 + 2x - 528 = 0 $
用公式法解方程：
判别式$ \Delta = 2^2 - 4×1×(-528) = 4 + 2112 = 2116 = 46^2 $
则$ x = \frac{-2\pm46}{2} $
解得$ x_1 = 22 $，$ x_2 = -24 $
因为所求为负偶数，故舍去正根$ x_1=22 $，取$ x=-24 $
则另一个负偶数为$ -24 + 2 = -22 $
两数之和为$ -24 + (-22) = -46 $
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 一元二次方程的求解
3. 偶数的性质
【点评】
本题属于基础的方程应用类题型，解题核心是准确抓住连续偶数的数量关系设未知数，列方程求解后要注意结合题干的限定条件（负偶数）对根进行取舍，避免出现错选正根对应的结果。
【难度系数】
0.7
5. 关于x的一元二次方程$(m-2)x^2 +4x +2=0$有两个实数根，则m的取值范围是（
A.$m≤4$
B.$m≥4$
C.$m≥-4$且$m≠2$
D.$m≤4$且$m≠2$
D
）A.$m≤4$
B.$m≥4$
C.$m≥-4$且$m≠2$
D.$m≤4$且$m≠2$
答案
5. D
解析
【分析】
要解决这道题，需同时满足两个条件：①题目明确这是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是必要前提；②方程有两个实数根，说明根的判别式Δ≥0。我们分别根据这两个条件列出关于m的不等式，求解后取两个解集的公共部分，就能得到m的取值范围。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得：
$m-2≠0$，解得 $m≠2$；
第二步：方程有两个实数根，根据根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，本题中$a=m-2$，$b=4$，$c=2$，代入得：
$\Delta = 4^2 - 4×(m-2)×2 ≥0$
计算得：$16 - 8(m-2) ≥0$
展开括号：$16 - 8m +16 ≥0$
合并同类项：$32 - 8m ≥0$
移项化简得：$m≤4$
第三步：结合两个条件的解集，取交集得$m$的取值范围是$m≤4$且$m≠2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式应用，不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程参数求解的典型基础题，易错点是容易忽略“一元二次方程要求二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式求解错选A，解题时需先明确方程类型的前提要求，再结合根的情况列式计算。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需同时满足两个条件：①题目明确这是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是必要前提；②方程有两个实数根，说明根的判别式Δ≥0。我们分别根据这两个条件列出关于m的不等式，求解后取两个解集的公共部分，就能得到m的取值范围。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得：
$m-2≠0$，解得 $m≠2$；
第二步：方程有两个实数根，根据根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，本题中$a=m-2$，$b=4$，$c=2$，代入得：
$\Delta = 4^2 - 4×(m-2)×2 ≥0$
计算得：$16 - 8(m-2) ≥0$
展开括号：$16 - 8m +16 ≥0$
合并同类项：$32 - 8m ≥0$
移项化简得：$m≤4$
第三步：结合两个条件的解集，取交集得$m$的取值范围是$m≤4$且$m≠2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式应用，不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程参数求解的典型基础题，易错点是容易忽略“一元二次方程要求二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式求解错选A，解题时需先明确方程类型的前提要求，再结合根的情况列式计算。
【难度系数】
0.7
6. 一元二次方程$(1-3x)(x+3)=2x^2+1$的一般形式是
$-5x^2-8x+2=0$
.答案
6. $-5x^2-8x+2=0$
解析
【分析】
解题前先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，$a≠0$），核心是将原方程整理为右侧为0、左侧按$x$降幂排列的形式。解题思路如下：第一步利用多项式乘多项式法则展开方程左侧的乘积；第二步将右侧的项全部移到方程左侧，注意移项要变号；第三步合并同类项，即可得到方程的一般形式。
【解析】
1. 展开方程左侧：
根据多项式乘多项式法则，$(1-3x)(x+3)=1· x +1×3 -3x· x -3x×3 = x+3-3x^2-9x = -3x^2-8x+3$
2. 移项：
原方程为$-3x^2-8x+3=2x^2+1$，将右侧的$2x^2$和$+1$移到左侧，得：
$-3x^2-8x+3-2x^2-1=0$
3. 合并同类项：
二次项合并：$-3x^2-2x^2=-5x^2$
一次项不变：$-8x$
常数项合并：$3-1=2$
整理得：$-5x^2-8x+2=0$
【答案】
$-5x^2-8x+2=0$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 多项式乘多项式运算
3. 合并同类项
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，主要考查对一元二次方程一般形式的认知，以及整式运算、移项合并的基础计算能力，解题时需注意移项要变号，合并同类项时不要算错系数。
【难度系数】
0.8
解题前先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，$a≠0$），核心是将原方程整理为右侧为0、左侧按$x$降幂排列的形式。解题思路如下：第一步利用多项式乘多项式法则展开方程左侧的乘积；第二步将右侧的项全部移到方程左侧，注意移项要变号；第三步合并同类项，即可得到方程的一般形式。
【解析】
1. 展开方程左侧：
根据多项式乘多项式法则，$(1-3x)(x+3)=1· x +1×3 -3x· x -3x×3 = x+3-3x^2-9x = -3x^2-8x+3$
2. 移项：
原方程为$-3x^2-8x+3=2x^2+1$，将右侧的$2x^2$和$+1$移到左侧，得：
$-3x^2-8x+3-2x^2-1=0$
3. 合并同类项：
二次项合并：$-3x^2-2x^2=-5x^2$
一次项不变：$-8x$
常数项合并：$3-1=2$
整理得：$-5x^2-8x+2=0$
【答案】
$-5x^2-8x+2=0$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 多项式乘多项式运算
3. 合并同类项
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，主要考查对一元二次方程一般形式的认知，以及整式运算、移项合并的基础计算能力，解题时需注意移项要变号，合并同类项时不要算错系数。
【难度系数】
0.8
7. 如图①,在宽为20 m,长为32 m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路(横向与纵向垂直),把耕地分成若干小矩形块,作为小麦试验田,假设小麦试验田的面积为570 m²,求道路宽为多少.设道路宽为x m,从图②的思考方式出发列出的方程是
$(32-2x)(20-x)=570$
.答案
7. $(32-2x)(20-x)=570$
解析
【分析】
本题可采用平移法简化计算：将三条道路平移至耕地边缘后，剩余的小麦试验田会拼成一个规则的矩形，只需表示出新矩形的长和宽，再结合试验田面积即可列出方程。首先判断道路数量：纵向道路共2条，每条宽x m，因此新矩形的长为原长减去2个道路宽度；横向道路共1条，宽x m，因此新矩形的宽为原宽减去1个道路宽度，最后根据矩形面积公式列等式即可。
【解析】
利用平移的性质，把三条道路分别平移到耕地的边缘（如图②所示），此时剩余小麦试验田为一个矩形：
1. 该矩形的长：原耕地长为32m，有2条纵向道路，每条宽x m，因此长为$(32-2x)\ \mathrm{m}$；
2. 该矩形的宽：原耕地宽为20m，有1条横向道路，宽x m，因此宽为$(20-x)\ \mathrm{m}$；
已知小麦试验田面积为$570\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积=长×宽，可列方程：
$(32-2x)(20-x)=570$
【答案】
$(32-2x)(20-x)=570$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 图形平移的性质
3. 矩形面积计算
【点评】
这道题是道路面积类的典型应用题，通过平移将分散的试验田区域拼接成规则矩形，避免了计算道路重叠部分的面积，大幅简化了解题过程，掌握平移法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
本题可采用平移法简化计算：将三条道路平移至耕地边缘后，剩余的小麦试验田会拼成一个规则的矩形，只需表示出新矩形的长和宽，再结合试验田面积即可列出方程。首先判断道路数量：纵向道路共2条，每条宽x m，因此新矩形的长为原长减去2个道路宽度；横向道路共1条，宽x m，因此新矩形的宽为原宽减去1个道路宽度，最后根据矩形面积公式列等式即可。
【解析】
利用平移的性质，把三条道路分别平移到耕地的边缘（如图②所示），此时剩余小麦试验田为一个矩形：
1. 该矩形的长：原耕地长为32m，有2条纵向道路，每条宽x m，因此长为$(32-2x)\ \mathrm{m}$；
2. 该矩形的宽：原耕地宽为20m，有1条横向道路，宽x m，因此宽为$(20-x)\ \mathrm{m}$；
已知小麦试验田面积为$570\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积=长×宽，可列方程：
$(32-2x)(20-x)=570$
【答案】
$(32-2x)(20-x)=570$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 图形平移的性质
3. 矩形面积计算
【点评】
这道题是道路面积类的典型应用题，通过平移将分散的试验田区域拼接成规则矩形，避免了计算道路重叠部分的面积，大幅简化了解题过程，掌握平移法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
8. 已知一元二次方程$x^2 -6x -5=0$的两根为$a,b$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值是
$-\frac{6}{5}$
.答案
8. $-\frac{6}{5}$
解析
【分析】
要求代数式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值，无需直接求解一元二次方程得到$a$、$b$的具体值，首先对代数式进行通分化简，可得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$，此时只需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和$a+b$与两根之积$ab$，代入化简后的式子即可算出结果。
【解析】
已知一元二次方程$x^2 -6x -5=0$的两根为$a$、$b$，根据韦达定理可得：
两根之和$a+b=-\frac{-6}{1}=6$，
两根之积$ab=\frac{-5}{1}=-5$。
对所求代数式通分化简：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}=\frac{a+b}{ab}$，
将$a+b=6$，$ab=-5$代入得：
原式$=\frac{6}{-5}=-\frac{6}{5}$。
【答案】
$-\frac{6}{5}$
【知识点】
韦达定理（根与系数的关系）、分式化简
【点评】
本题考查韦达定理的应用，通过对所求代数式变形，结合韦达定理求解，避免了复杂的解方程计算，是一元二次方程部分的常见基础题。
【难度系数】
0.8
要求代数式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值，无需直接求解一元二次方程得到$a$、$b$的具体值，首先对代数式进行通分化简，可得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$，此时只需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和$a+b$与两根之积$ab$，代入化简后的式子即可算出结果。
【解析】
已知一元二次方程$x^2 -6x -5=0$的两根为$a$、$b$，根据韦达定理可得：
两根之和$a+b=-\frac{-6}{1}=6$，
两根之积$ab=\frac{-5}{1}=-5$。
对所求代数式通分化简：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}=\frac{a+b}{ab}$，
将$a+b=6$，$ab=-5$代入得：
原式$=\frac{6}{-5}=-\frac{6}{5}$。
【答案】
$-\frac{6}{5}$
【知识点】
韦达定理（根与系数的关系）、分式化简
【点评】
本题考查韦达定理的应用，通过对所求代数式变形，结合韦达定理求解，避免了复杂的解方程计算，是一元二次方程部分的常见基础题。
【难度系数】
0.8
9. 已知关于$x$的方程$x^2 - 2\sqrt{3}x - k = 0$有两个相等的实数根，则$k$的值为
$-3$
。答案
9. $-3$
解析
【分析】
本题已知一元二次方程有两个相等的实数根，解题核心是利用一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系求解。首先回忆：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根。接下来我们只需先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式建立关于$k$的方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2\sqrt{3}x - k = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2\sqrt{3}$，常数项$c=-k$。
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta=b^2-4ac=0$，代入得：
$(-2\sqrt{3})^2 - 4×1×(-k) = 0$
计算得：$12 + 4k = 0$
移项求解：$4k=-12$，解得$k=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是牢记一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，代入参数计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.9
本题已知一元二次方程有两个相等的实数根，解题核心是利用一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系求解。首先回忆：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根。接下来我们只需先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式建立关于$k$的方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 2\sqrt{3}x - k = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2\sqrt{3}$，常数项$c=-k$。
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta=b^2-4ac=0$，代入得：
$(-2\sqrt{3})^2 - 4×1×(-k) = 0$
计算得：$12 + 4k = 0$
移项求解：$4k=-12$，解得$k=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是牢记一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，代入参数计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.9
10. 某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元。如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是
$20\%$
。答案
10. $20\%$
解析
【分析】
这是平均降价率类的一元二次方程应用问题，解题思路如下：第一步，设每次降价的百分率为未知数x；第二步，根据平均变化率的通用等量关系：初始值×(1±变化率)^变化次数=最终值，本题是降价，所以用减号，变化次数是2次，代入已知的原价100元、最终价格64元列方程；第三步，解一元二次方程，再结合降价百分率的实际范围（0＜x＜1）舍去不符合实际的根，即可得到正确结果。
【解析】
解：设每次降价的百分率是$x$，根据题意列方程得：
$100(1-x)^2=64$
两边同时除以100，得：
$(1-x)^2=0.64$
开平方得：
$1-x=\pm0.8$
当$1-x=0.8$时，解得$x=0.2=20\%$；
当$1-x=-0.8$时，解得$x=1.8$，由于降价百分率不可能大于1，不符合实际，故舍去。
所以每次降价的百分率是20%。
【答案】
$20\%$
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础典型题，解题核心是熟练掌握平均变化率的等量关系，需要注意的是求解方程后必须结合实际意义检验根的合理性，排除不符合现实情况的增根。
【难度系数】
0.8
这是平均降价率类的一元二次方程应用问题，解题思路如下：第一步，设每次降价的百分率为未知数x；第二步，根据平均变化率的通用等量关系：初始值×(1±变化率)^变化次数=最终值，本题是降价，所以用减号，变化次数是2次，代入已知的原价100元、最终价格64元列方程；第三步，解一元二次方程，再结合降价百分率的实际范围（0＜x＜1）舍去不符合实际的根，即可得到正确结果。
【解析】
解：设每次降价的百分率是$x$，根据题意列方程得：
$100(1-x)^2=64$
两边同时除以100，得：
$(1-x)^2=0.64$
开平方得：
$1-x=\pm0.8$
当$1-x=0.8$时，解得$x=0.2=20\%$；
当$1-x=-0.8$时，解得$x=1.8$，由于降价百分率不可能大于1，不符合实际，故舍去。
所以每次降价的百分率是20%。
【答案】
$20\%$
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础典型题，解题核心是熟练掌握平均变化率的等量关系，需要注意的是求解方程后必须结合实际意义检验根的合理性，排除不符合现实情况的增根。
【难度系数】
0.8
11. 在一块矩形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子.镜面的长与宽的比是$2:1$.已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是$y$元，镜子的宽是$x$米.
（1）求$y$与$x$之间的关系式；
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽.
（1）求$y$与$x$之间的关系式；
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽.
答案
11. (1) $y=240x^2+180x+45$ (2) 长1 m,宽0.5 m
解析
【分析】
（1）要求总费用y与x的函数关系式，首先明确总费用由镜面玻璃费、边框费、加工费三部分组成。已知镜子宽为x米，结合长宽比2:1可表示出长，再分别计算镜面面积、边框周长，对应乘以单价后加上加工费即可得到关系式。
（2）已知总费用为195元，将y=195代入第一问得到的函数关系式，得到关于x的一元二次方程，求解后根据实际意义舍去负根，即可得到宽，再计算长即可。
【解析】
（1）
∵镜子的宽为x米，长与宽的比为2:1，
∴镜子的长为2x米。
① 镜面玻璃的面积：$S=2x· x=2x^2 \mathrm{ m}^2$，镜面费用为：$120× 2x^2=240x^2$元；
② 边框总长等于矩形周长：$C=2×(2x+x)=6x \mathrm{ m}$，边框费用为：$30× 6x=180x$元；
③ 加工费为45元。
因此总费用$y=240x^2+180x+45(x＞0)$。
（2）当总费用$y=195$时，代入关系式得：
$240x^2+180x+45=195$
整理得：$8x^2+6x-5=0$
因式分解得：$(2x-1)(4x+5)=0$
解得：$x_1=0.5$，$x_2=-\frac{5}{4}$
∵镜子宽度为正数，
∴舍去$x_2=-\frac{5}{4}$
则宽为$x=0.5\mathrm{ m}$，长为$2x=2×0.5=1\mathrm{ m}$。
【答案】
（1）$y=240x^2+180x+45$；（2）长1 m，宽0.5 m
【知识点】
列函数关系式；一元二次方程求解；实际问题与方程
【点评】
本题属于实际应用类基础题，解题核心是理清总费用的构成，准确用含未知数的代数式表示各部分成本，解方程后要注意结合实际情境检验根的合理性，是函数与方程知识点结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
（1）要求总费用y与x的函数关系式，首先明确总费用由镜面玻璃费、边框费、加工费三部分组成。已知镜子宽为x米，结合长宽比2:1可表示出长，再分别计算镜面面积、边框周长，对应乘以单价后加上加工费即可得到关系式。
（2）已知总费用为195元，将y=195代入第一问得到的函数关系式，得到关于x的一元二次方程，求解后根据实际意义舍去负根，即可得到宽，再计算长即可。
【解析】
（1）
∵镜子的宽为x米，长与宽的比为2:1，
∴镜子的长为2x米。
① 镜面玻璃的面积：$S=2x· x=2x^2 \mathrm{ m}^2$，镜面费用为：$120× 2x^2=240x^2$元；
② 边框总长等于矩形周长：$C=2×(2x+x)=6x \mathrm{ m}$，边框费用为：$30× 6x=180x$元；
③ 加工费为45元。
因此总费用$y=240x^2+180x+45(x＞0)$。
（2）当总费用$y=195$时，代入关系式得：
$240x^2+180x+45=195$
整理得：$8x^2+6x-5=0$
因式分解得：$(2x-1)(4x+5)=0$
解得：$x_1=0.5$，$x_2=-\frac{5}{4}$
∵镜子宽度为正数，
∴舍去$x_2=-\frac{5}{4}$
则宽为$x=0.5\mathrm{ m}$，长为$2x=2×0.5=1\mathrm{ m}$。
【答案】
（1）$y=240x^2+180x+45$；（2）长1 m，宽0.5 m
【知识点】
列函数关系式；一元二次方程求解；实际问题与方程
【点评】
本题属于实际应用类基础题，解题核心是理清总费用的构成，准确用含未知数的代数式表示各部分成本，解方程后要注意结合实际情境检验根的合理性，是函数与方程知识点结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
