1.(2023·无锡改编)下列说法正确的是(
A.$-9$的平方根是$-3$
B.$9$的平方根是$3$
C.$9$的算术平方根是$\pm 3$
D.$9$的算术平方根是$3$
D
)A.$-9$的平方根是$-3$
B.$9$的平方根是$3$
C.$9$的算术平方根是$\pm 3$
D.$9$的算术平方根是$3$
答案
1. D
2.(2023·南通)如图，数轴上的五个点$A$，$B$，$C$，$D$，$E$分别表示数$1$，$2$，$3$，$4$，$5$，则表示数$\sqrt {10}$的点应在(
A.线段$AB$上
B.线段$BC$上
C.线段$CD$上
D.线段$DE$上
C
)A.线段$AB$上
B.线段$BC$上
C.线段$CD$上
D.线段$DE$上
答案
2. C
解析
因为$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$。
数轴上点$C$表示$3$，点$D$表示$4$，所以表示数$\sqrt{10}$的点应在线段$CD$上。
C
数轴上点$C$表示$3$，点$D$表示$4$，所以表示数$\sqrt{10}$的点应在线段$CD$上。
C
3. 设边长为$3$的正方形的对角线长为$a$.给出下列关于$a$的四种说法：①$a$是无理数；②$a$可以用数轴上的一个点来表示；③$3\lt a＜4$；④$a$是$18$的算术平方根.其中，正确的是(
A.①④
B.②③
C.①②④
D.①③④
C
)A.①④
B.②③
C.①②④
D.①③④
答案
3. C
解析
①正方形边长为3，根据勾股定理，对角线$a = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$是无理数，①正确；
②任何实数都可以用数轴上的点表示，$a$是实数，故可以用数轴上的一个点来表示，②正确；
③$\sqrt{16} = 4$，$\sqrt{25} = 5$，$\sqrt{18}$在$\sqrt{16}$与$\sqrt{25}$之间，即$4 ＜ a ＜ 5$，③错误；
④$a = \sqrt{18}$，故$a$是18的算术平方根，④正确。
正确的是①②④。
C
②任何实数都可以用数轴上的点表示，$a$是实数，故可以用数轴上的一个点来表示，②正确；
③$\sqrt{16} = 4$，$\sqrt{25} = 5$，$\sqrt{18}$在$\sqrt{16}$与$\sqrt{25}$之间，即$4 ＜ a ＜ 5$，③错误；
④$a = \sqrt{18}$，故$a$是18的算术平方根，④正确。
正确的是①②④。
C
4. 有下列各数：$-2$，$0$，$\dfrac {1}{3}$，$0.020020002·s$(相邻两个$2$之间依次多一个$0$)，$π$，$\sqrt {9}$.其中，无理数的个数是(
A.$4$
B.$3$
C.$2$
D.$1$
C
)A.$4$
B.$3$
C.$2$
D.$1$
答案
4. C
解析
$-2$是整数，属于有理数；
$0$是整数，属于有理数；
$\dfrac{1}{3}$是分数，属于有理数；
$0.020020002·s$（相邻两个$2$之间依次多一个$0$）是无限不循环小数，属于无理数；
$\pi$是无限不循环小数，属于无理数；
$\sqrt{9}=3$是整数，属于有理数。
无理数有$0.020020002·s$，$\pi$，共$2$个。
C
$0$是整数，属于有理数；
$\dfrac{1}{3}$是分数，属于有理数；
$0.020020002·s$（相邻两个$2$之间依次多一个$0$）是无限不循环小数，属于无理数；
$\pi$是无限不循环小数，属于无理数；
$\sqrt{9}=3$是整数，属于有理数。
无理数有$0.020020002·s$，$\pi$，共$2$个。
C
5. 正整数$a$，$b$分别满足$\sqrt [3]{53}\lt a＜\sqrt [3]{98}$，$\sqrt {2}\lt b＜\sqrt {7}$，则$b^{a}$的值为(
A.$4$
B.$8$
C.$9$
D.$16$
D
)A.$4$
B.$8$
C.$9$
D.$16$
答案
5. D
解析
因为$\sqrt[3]{27} ＜ \sqrt[3]{53} ＜ a ＜ \sqrt[3]{98} ＜ \sqrt[3]{125}$，即$3 ＜ \sqrt[3]{53} ＜ a ＜ \sqrt[3]{98} ＜ 5$，且$a$为正整数，所以$a = 4$。
因为$\sqrt{1} ＜ \sqrt{2} ＜ b ＜ \sqrt{7} ＜ \sqrt{9}$，即$1 ＜ \sqrt{2} ＜ b ＜ \sqrt{7} ＜ 3$，且$b$为正整数，所以$b = 2$。
则$b^a = 2^4 = 16$。
D
因为$\sqrt{1} ＜ \sqrt{2} ＜ b ＜ \sqrt{7} ＜ \sqrt{9}$，即$1 ＜ \sqrt{2} ＜ b ＜ \sqrt{7} ＜ 3$，且$b$为正整数，所以$b = 2$。
则$b^a = 2^4 = 16$。
D
6.(2023·凉山)如图，边长为$2$的等边三角形$ABC$的两个顶点$A$，$B$分别在两条射线$OM$，$ON$上滑动.若$OM\bot ON$，则$OC$长的最大值为(
A.$\sqrt {3}$
B.$\sqrt {5}$
C.$\sqrt {3}+1$
D.$\sqrt {3}-1$
C
)A.$\sqrt {3}$
B.$\sqrt {5}$
C.$\sqrt {3}+1$
D.$\sqrt {3}-1$
答案
6. C
解析
证明：取 $AB$ 的中点 $D$，连接 $OD$、$CD$。
在 $Rt\triangle AOB$ 中，$AB=2$，$D$ 为 $AB$ 中点，
$\therefore OD=\frac{1}{2}AB=1$。
在等边 $\triangle ABC$ 中，$AB=2$，$D$ 为 $AB$ 中点，
$\therefore CD\perp AB$，$AD=\frac{1}{2}AB=1$，
$\therefore CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
在 $\triangle OCD$ 中，$OC\leqslant OD+CD$（当且仅当 $O$、$D$、$C$ 三点共线时取等号），
$\therefore OC$ 的最大值为 $OD+CD=1+\sqrt{3}$。
$\sqrt{3}+1$
C
在 $Rt\triangle AOB$ 中，$AB=2$，$D$ 为 $AB$ 中点，
$\therefore OD=\frac{1}{2}AB=1$。
在等边 $\triangle ABC$ 中，$AB=2$，$D$ 为 $AB$ 中点，
$\therefore CD\perp AB$，$AD=\frac{1}{2}AB=1$，
$\therefore CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
在 $\triangle OCD$ 中，$OC\leqslant OD+CD$（当且仅当 $O$、$D$、$C$ 三点共线时取等号），
$\therefore OC$ 的最大值为 $OD+CD=1+\sqrt{3}$。
$\sqrt{3}+1$
C
7. 用四舍五入法按要求对下列各数取近似值：
(1)$349995$(精确到百位，用科学记数法表示)：
(2)$3.4995$(精确到$0.01$)：
(3)$0.003584$(精确到千分位)：
(1)$349995$(精确到百位，用科学记数法表示)：
$3.500 × 10^{5}$
；(2)$3.4995$(精确到$0.01$)：
3.50
；(3)$0.003584$(精确到千分位)：
0.004
.答案
7. (1) $3.500 × 10^{5}$ (2) 3.50 (3) 0.004
8.(2023·徐州改编)如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ }$，$CA=CB=1$，点$D$在边$BC$上.将$\triangle ACD$沿$AD$折叠，使点$C$落在点$C'$处，连接$BC'$，则$BC'$长的最小值为
$\sqrt{2}-1$
.答案
8. $\sqrt{2}-1$
解析
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$CA=CB=1$，由勾股定理得$AB=\sqrt{CA^2+CB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
折叠后$AC'=AC=1$，在$\triangle ABC'$中，根据三角形三边关系，$BC'\geq AB - AC'$（当且仅当点$C'$在线段$AB$上时取等号）。
所以$BC'$的最小值为$AB - AC'=\sqrt{2}-1$。
$\sqrt{2}-1$
折叠后$AC'=AC=1$，在$\triangle ABC'$中，根据三角形三边关系，$BC'\geq AB - AC'$（当且仅当点$C'$在线段$AB$上时取等号）。
所以$BC'$的最小值为$AB - AC'=\sqrt{2}-1$。
$\sqrt{2}-1$
9. 若$(a-3)^{2}+\sqrt {b-5}=0$，则以$a$，$b$为边长的等腰三角形的周长为
11或13
.答案
9. 11或13
解析
解：$\because (a-3)^{2}+\sqrt{b-5}=0$，$(a-3)^{2}\geq0$，$\sqrt{b-5}\geq0$
$\therefore a-3=0$，$b-5=0$
$\therefore a=3$，$b=5$
当腰长为$3$时，三边长为$3$，$3$，$5$
$\because 3 + 3＞5$，能构成三角形
周长为$3 + 3 + 5=11$
当腰长为$5$时，三边长为$5$，$5$，$3$
$\because 5 + 3＞5$，能构成三角形
周长为$5 + 5 + 3=13$
综上，等腰三角形的周长为$11$或$13$
$\therefore a-3=0$，$b-5=0$
$\therefore a=3$，$b=5$
当腰长为$3$时，三边长为$3$，$3$，$5$
$\because 3 + 3＞5$，能构成三角形
周长为$3 + 3 + 5=11$
当腰长为$5$时，三边长为$5$，$5$，$3$
$\because 5 + 3＞5$，能构成三角形
周长为$5 + 5 + 3=13$
综上，等腰三角形的周长为$11$或$13$
10. 求下列各式中$x$的值：
（1）$16x^{2}-49=0$；
（2）$(x-1)^{2}=\sqrt {625}$；
（3）$(2x)^{3}=-8$；
（4）$-(x-\sqrt {9})^{3}=27$.
（1）$16x^{2}-49=0$；
（2）$(x-1)^{2}=\sqrt {625}$；
（3）$(2x)^{3}=-8$；
（4）$-(x-\sqrt {9})^{3}=27$.
答案
10. (1) $x = \pm \frac{7}{4}$ (2) $x = 6$或$x = -4$ (3) $x = -1$ (4) $x = 0$
解析
（1）$16x^{2}-49=0$
$16x^{2}=49$
$x^{2}=\frac{49}{16}$
$x=\pm \frac{7}{4}$
（2）$(x-1)^{2}=\sqrt{625}$
$(x-1)^{2}=25$
$x-1=\pm 5$
$x-1=5$或$x-1=-5$
$x=6$或$x=-4$
（3）$(2x)^{3}=-8$
$2x=\sqrt[3]{-8}$
$2x=-2$
$x=-1$
（4）$-(x-\sqrt{9})^{3}=27$
$(x-3)^{3}=-27$
$x-3=\sqrt[3]{-27}$
$x-3=-3$
$x=0$
$16x^{2}=49$
$x^{2}=\frac{49}{16}$
$x=\pm \frac{7}{4}$
（2）$(x-1)^{2}=\sqrt{625}$
$(x-1)^{2}=25$
$x-1=\pm 5$
$x-1=5$或$x-1=-5$
$x=6$或$x=-4$
（3）$(2x)^{3}=-8$
$2x=\sqrt[3]{-8}$
$2x=-2$
$x=-1$
（4）$-(x-\sqrt{9})^{3}=27$
$(x-3)^{3}=-27$
$x-3=\sqrt[3]{-27}$
$x-3=-3$
$x=0$
