17. 已知在四边形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$E$，且$AC\perp BD$，作$BF\perp CD$，垂足为$F$，$BF$与$AC$交于点$G$，$\angle BGE = \angle ADE$。
（1）如图①，求证：$AD = CD$。
（2）如图②，$BH$是$\triangle ABE$的中线。若$AE = 2DE$，$DE = EG$，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中的四个三角形，要求写出的每个三角形的面积都是$\triangle ADE$面积的$2$倍。
（1）如图①，求证：$AD = CD$。
（2）如图②，$BH$是$\triangle ABE$的中线。若$AE = 2DE$，$DE = EG$，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中的四个三角形，要求写出的每个三角形的面积都是$\triangle ADE$面积的$2$倍。
答案
17.(1)
∵∠BGE=∠ADE,∠BGE=∠CGF,
∴∠ADE=∠CGF.
∵AC⊥BD,BF⊥CD,
∴∠AED=∠CED=90°,∠BFC=∠BFD=90°,
∴∠CGF+∠GCF=90°,∠CDE+∠GCF=90°,
∴∠CGF=∠CDE,
∴∠ADE=∠CDE.在$\begin{cases} ∠ADE = ∠CDE, \\ DE = DE, \\ ∠AED = ∠CED, \end{cases}$△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE(ASA),
∴AD=CD (2)△ACD,△ABE,△BCE,△BHG
∵∠BGE=∠ADE,∠BGE=∠CGF,
∴∠ADE=∠CGF.
∵AC⊥BD,BF⊥CD,
∴∠AED=∠CED=90°,∠BFC=∠BFD=90°,
∴∠CGF+∠GCF=90°,∠CDE+∠GCF=90°,
∴∠CGF=∠CDE,
∴∠ADE=∠CDE.在$\begin{cases} ∠ADE = ∠CDE, \\ DE = DE, \\ ∠AED = ∠CED, \end{cases}$△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE(ASA),
∴AD=CD (2)△ACD,△ABE,△BCE,△BHG
18. 如图①，点$B$，$A$，$C$在同一条直线上，$DB\perp BC$，$EC\perp BC$，且$\angle DAE = 90^{\circ}$，$AD = AE$，易证$\triangle DBA\cong\triangle ACE$。
（1）如图②，在$\triangle DBA$和$\triangle ACE$中，$AD = AE$。若$\angle DAE = \alpha(0^{\circ} \lt \alpha \lt 90^{\circ})$，$\angle BAC = 2\alpha$，$\angle B = \angle C = 180^{\circ} - \alpha$，求证：$\triangle DBA\cong\triangle ACE$。
（2）（方程思想）如图②，在$\triangle DBA$和$\triangle ACE$中，$AD = AE$。若$\angle DAE = 70^{\circ}$，$\angle BAC = 140^{\circ}$，$\angle B = \angle C = 110^{\circ}$，则当$\angle D$为多少度时，$\angle DAC$的度数是$\angle E$的$3$倍？
（1）如图②，在$\triangle DBA$和$\triangle ACE$中，$AD = AE$。若$\angle DAE = \alpha(0^{\circ} \lt \alpha \lt 90^{\circ})$，$\angle BAC = 2\alpha$，$\angle B = \angle C = 180^{\circ} - \alpha$，求证：$\triangle DBA\cong\triangle ACE$。
（2）（方程思想）如图②，在$\triangle DBA$和$\triangle ACE$中，$AD = AE$。若$\angle DAE = 70^{\circ}$，$\angle BAC = 140^{\circ}$，$\angle B = \angle C = 110^{\circ}$，则当$\angle D$为多少度时，$\angle DAC$的度数是$\angle E$的$3$倍？
答案
18.(1)
∵∠BAC = 2α，∠DAE = α，
∴∠DAB + ∠EAC = α.
∵∠B = 180° - α，△ABD的内角和为180°，
∴∠DAB +∠D = α，
∴∠EAC = ∠D. 在△DBA和△ACE中，$\begin{cases} ∠B = ∠C, \\ ∠D = ∠EAC, \end{cases}$
∴△DBA≌△ACE(AAS) (2)设∠D = x.根据(1),得∠EAC = ∠D = x.
∵∠DAE = 70°，
∴∠DAC =∠DAE + ∠EAC = 70° + x.
∵在△EAC中，∠C = 110°，
∴∠E = 180° - 110° - x = 70° - x.若∠DAC的度数是∠E的3倍，则70° + x = 3(70° - x)，解得x = 35°，即∠D = 35°.
∴当∠D = 35°时，∠DAC的度数是∠E的3倍
∵∠BAC = 2α，∠DAE = α，
∴∠DAB + ∠EAC = α.
∵∠B = 180° - α，△ABD的内角和为180°，
∴∠DAB +∠D = α，
∴∠EAC = ∠D. 在△DBA和△ACE中，$\begin{cases} ∠B = ∠C, \\ ∠D = ∠EAC, \end{cases}$
∴△DBA≌△ACE(AAS) (2)设∠D = x.根据(1),得∠EAC = ∠D = x.
∵∠DAE = 70°，
∴∠DAC =∠DAE + ∠EAC = 70° + x.
∵在△EAC中，∠C = 110°，
∴∠E = 180° - 110° - x = 70° - x.若∠DAC的度数是∠E的3倍，则70° + x = 3(70° - x)，解得x = 35°，即∠D = 35°.
∴当∠D = 35°时，∠DAC的度数是∠E的3倍
