10. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 40^{\circ}$，$\angle B = \angle C$，$BP = CE$，$BD = CP$，则$\angle DPE$的度数为
70°
。答案
10.70°
解析
解：在$\triangle ABC$中，$\angle A=40^{\circ}$，$\angle B=\angle C$，
$\therefore \angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ}$。
在$\triangle DBP$和$\triangle PCE$中，
$\left\{\begin{array}{l}BP=CE\\\angle B=\angle C\\BD=CP\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle DBP\cong\triangle PCE(SAS)$，
$\therefore \angle BDP=\angle CPE$。
$\because \angle DPB+\angle BDP+\angle B=180^{\circ}$，$\angle DPB+\angle DPE+\angle CPE=180^{\circ}$，
$\therefore \angle DPE=\angle B=70^{\circ}$。
$70^{\circ}$
$\therefore \angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ}$。
在$\triangle DBP$和$\triangle PCE$中，
$\left\{\begin{array}{l}BP=CE\\\angle B=\angle C\\BD=CP\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle DBP\cong\triangle PCE(SAS)$，
$\therefore \angle BDP=\angle CPE$。
$\because \angle DPB+\angle BDP+\angle B=180^{\circ}$，$\angle DPB+\angle DPE+\angle CPE=180^{\circ}$，
$\therefore \angle DPE=\angle B=70^{\circ}$。
$70^{\circ}$
11. (分类讨论思想)如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 10$，$BC = 5$，线段$PQ = AB$，$P$，$Q$两点分别在$AC$和过点$A$且垂直于$AC$的射线$AO$上运动，当$AP$的长为
5或10
时，以$A$，$P$，$Q$三点构成的三角形与$\triangle ABC$全等。答案
11.5或10
解析
解：
$\because \angle C=90^{\circ}$，$AO\perp AC$，
$\therefore \angle PAQ=90^{\circ}=\angle C$。
情况1： 当$\triangle ABC \cong \triangle QPA$时，
$AP=BC=5$。
情况2： 当$\triangle ABC \cong \triangle PQA$时，
$AP=AC=10$。
综上，$AP$的长为$5$或$10$。
答案：$5$或$10$
$\because \angle C=90^{\circ}$，$AO\perp AC$，
$\therefore \angle PAQ=90^{\circ}=\angle C$。
情况1： 当$\triangle ABC \cong \triangle QPA$时，
$AP=BC=5$。
情况2： 当$\triangle ABC \cong \triangle PQA$时，
$AP=AC=10$。
综上，$AP$的长为$5$或$10$。
答案：$5$或$10$
12. 如图，在四边形$ABCD$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$AD = 4$，连接$BD$，$BD\perp CD$，$\angle ADB = \angle C$。若$P$是边$BC$上一动点，则$DP$长的最小值为
4
。答案
12.4
解析
证明：在四边形$ABCD$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$BD\perp CD$，故$\angle A = \angle BDC = 90^{\circ}$。
因为$\angle ADB = \angle C$，所以$\triangle ABD \sim \triangle DBC$（两角对应相等的两个三角形相似）。
由相似三角形性质得$\angle ABD = \angle DBC$，即$BD$平分$\angle ABC$。
因为$P$是边$BC$上一动点，根据垂线段最短，当$DP\perp BC$时，$DP$长最小。
又因为角平分线上的点到角两边距离相等，$\angle A = 90^{\circ}$，$AD\perp AB$，$DP\perp BC$，所以$DP = AD = 4$。
故$DP$长的最小值为$4$。
因为$\angle ADB = \angle C$，所以$\triangle ABD \sim \triangle DBC$（两角对应相等的两个三角形相似）。
由相似三角形性质得$\angle ABD = \angle DBC$，即$BD$平分$\angle ABC$。
因为$P$是边$BC$上一动点，根据垂线段最短，当$DP\perp BC$时，$DP$长最小。
又因为角平分线上的点到角两边距离相等，$\angle A = 90^{\circ}$，$AD\perp AB$，$DP\perp BC$，所以$DP = AD = 4$。
故$DP$长的最小值为$4$。
13. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = BC$，$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，过点$B$作$BE\perp AD$，交$AD$的延长线于点$E$。若$BE = 5$，则$AD$的长为
10
。答案
13.10 解析:如图，延长BE，AC交于点F.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠FAE.
∵BE⊥AD,
∴∠AEB=∠AEF = 90°.在△ABE和△AFE中，$\begin{cases} ∠BAE = ∠FAE, \\ AE = AE, \\ ∠AEB = ∠AEF, \end{cases}$
∴△ABE≌△AFE(ASA),
∴BE=FE=5.
∵∠AEF=90°,
∴∠CAD+∠F=90°.
∵∠ACD=90°,
∴∠CBF+∠F=90°,
∴∠CAD=∠CBF. 在△ACD和△BCF中，$\begin{cases} ∠ACD = ∠BCF = 90°, \\ AC = BC, \\ ∠CAD = ∠CBF, \end{cases}$
∴△ACD≌△BCF(ASA),
∴AD=BF=BE+FE=10.
14. 如图，点$B$，$C$在$\angle SAF$的两边上，且$AB = AC$。
(1)请按要求用直尺和圆规作图：作$AN\perp BC$，垂足为$N$，$\angle SBC$的平分线交$AN$的延长线于点$M$，连接$CM$(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)作图后，该图中有
(1)请按要求用直尺和圆规作图：作$AN\perp BC$，垂足为$N$，$\angle SBC$的平分线交$AN$的延长线于点$M$，连接$CM$(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)作图后，该图中有
3
对全等三角形。答案
14.(1)作法不唯一，如图所示
(2)3 解析:全等三角形为△ABN≌△ACN,△ABM≌△ACM,△BMN≌△CMN.
15. (2024·宜宾改编)如图，$E$，$F$分别是等边三角形$ABC$的边$AB$，$AC$上的点，且$BE = AF$，$CE$，$BF$交于点$P$。
(1)求证：$CE = BF$。
(2)求$\angle BPC$的度数。
(3)过点$B$作$BH\perp CE$，垂足为$H$。若$PF = 1$，$PH = 4$，则$CE$的长为
(1)求证：$CE = BF$。
(2)求$\angle BPC$的度数。
(3)过点$B$作$BH\perp CE$，垂足为$H$。若$PF = 1$，$PH = 4$，则$CE$的长为
9
。答案
15.(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB,∠A=∠EBC=60°.在△BCE和△ABF中，$\begin{cases} BC = AB, \\ ∠EBC = ∠A, \end{cases}$
∴△BCE≌△ABF(SAS),
∴CE=BF (2)
∵△BCE≌△ABF,
∴∠BCE=∠ABF,
∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°,
∴在△PBC中,∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=120° (3)9
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB,∠A=∠EBC=60°.在△BCE和△ABF中，$\begin{cases} BC = AB, \\ ∠EBC = ∠A, \end{cases}$
∴△BCE≌△ABF(SAS),
∴CE=BF (2)
∵△BCE≌△ABF,
∴∠BCE=∠ABF,
∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°,
∴在△PBC中,∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=120° (3)9
16. 如图，在$\triangle ABC$中，$CF\perp AB$，垂足为$F$，$M$为$BC$的中点，$E$为$AC$上一点，连接$ME$，$MF$，$EF$，$BE$，且$ME = MF$。
（1）求证：$BE\perp AC$；
（2）若$\angle A = 50^{\circ}$，求$\angle FME$的度数。
（1）求证：$BE\perp AC$；
（2）若$\angle A = 50^{\circ}$，求$\angle FME$的度数。
答案
16.(1)
∵CF⊥AB,M为BC的中点，
∴MF=BM=CM=$\frac{1}{2}$BC.
∵ME=MF,
∴ME=BM=CM,
∴∠MBE=∠MEB,∠MEC=∠MCE.
∵△BCE的内角和为180°,
∴∠MEB+∠MEC=$\frac{1}{2}$×180°=90°,
∴∠BEC=90°,
∴BE⊥AC (2)
∵∠A=50°,
∴∠ABC+∠ACB=180°−50°=130°.由(1),得MF=BM,ME=CM,
∴∠MBF=∠MFB,∠MEC=∠MCE,
∴∠BMF+∠CME=(180°−2∠ABC)+(180°−2∠ACB)=360°−2(∠ABC+∠ACB)=360°−2×130°=100°,
∴∠FME=180°−(∠BMF+∠CME)=80°
∵CF⊥AB,M为BC的中点，
∴MF=BM=CM=$\frac{1}{2}$BC.
∵ME=MF,
∴ME=BM=CM,
∴∠MBE=∠MEB,∠MEC=∠MCE.
∵△BCE的内角和为180°,
∴∠MEB+∠MEC=$\frac{1}{2}$×180°=90°,
∴∠BEC=90°,
∴BE⊥AC (2)
∵∠A=50°,
∴∠ABC+∠ACB=180°−50°=130°.由(1),得MF=BM,ME=CM,
∴∠MBF=∠MFB,∠MEC=∠MCE,
∴∠BMF+∠CME=(180°−2∠ABC)+(180°−2∠ACB)=360°−2(∠ABC+∠ACB)=360°−2×130°=100°,
∴∠FME=180°−(∠BMF+∠CME)=80°
