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1. (2023·潍坊改编)下列说法正确的是 ()
A.弦的垂线平分弦所对的弧
B.平分弦的直径垂直于这条弦
C.过弦中点的直线必过圆心
D.弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦
A.弦的垂线平分弦所对的弧
B.平分弦的直径垂直于这条弦
C.过弦中点的直线必过圆心
D.弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦
答案
D
解析
A选项：根据圆的性质，只有当弦的垂线是直径时，才会平分弦所对的弧，并不是所有的弦的垂线都平分弦所对的弧，所以A选项错误。
B选项：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，当被平分的弦为直径时，不一定垂直，所以B选项错误。
C选项：过弦中点的直线不一定过圆心，只有当该直线垂直于弦且过弦中点时才过圆心，所以C选项错误。
D选项：根据圆的对称性，弦所对的两条弧的中点的连线是直径，且该直径垂直平分弦，所以D选项正确。
B选项：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，当被平分的弦为直径时，不一定垂直，所以B选项错误。
C选项：过弦中点的直线不一定过圆心，只有当该直线垂直于弦且过弦中点时才过圆心，所以C选项错误。
D选项：根据圆的对称性，弦所对的两条弧的中点的连线是直径，且该直径垂直平分弦，所以D选项正确。
2. (2024·新疆)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E.若CD=8，OD=5，则BE的长为 ()
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，CD=8，∴CE=DE=4（垂径定理）。
∵OD=5，在Rt△ODE中，OE²+DE²=OD²，即OE²+4²=5²，解得OE=3。
∵OB=OD=5，∴BE=OB-OE=5-3=2。
∵OD=5，在Rt△ODE中，OE²+DE²=OD²，即OE²+4²=5²，解得OE=3。
∵OB=OD=5，∴BE=OB-OE=5-3=2。
3. 如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为.
答案
45°
解析
连接OA，因为OC⊥AB，所以AC=AB/2=2。在Rt△AOC中，OC=2，AC=2，tan∠AOC=AC/OC=1，所以∠AOC=45°。
4. (2024·苏州工业园区期中)如图，⊙O的直径CD=10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM:OC=3:5，则AB=cm.
答案
8
解析
∵CD=10cm，∴OC=5cm，∵OM:OC=3:5，∴OM=3cm。连接OA，OA=OC=5cm。∵AB⊥CD，∴AM=BM。在Rt△OAM中，AM=√(OA²-OM²)=√(5²-3²)=4cm，∴AB=2AM=8cm。
5. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F.若BD=8 cm，AE=2 cm，求⊙O的半径及OF的长.
答案
⊙O的半径为5cm，OF的长为$\sqrt{5}$cm。
解析
设⊙O的半径为$ r $cm。
1. 求半径$ r $：
∵AC是直径，$ BD \perp AO $于E，$ BD=8 $cm，
∴由垂径定理得$ BE=\frac{1}{2}BD=4 $cm。
∵$ AE=2 $cm，$ AO=r $，∴$ OE=AO-AE=r-2 $。
连接OB，在$ Rt\triangle OEB $中，$ OB=r $，由勾股定理得：
$ r^2=(r-2)^2+4^2 $
解得$ r=5 $。
2. 求OF的长：
∵$ r=5 $，∴$ AC=10 $cm，$ AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5} $cm。
∵AC是直径，∴$ \angle ABC=90° $（直径所对圆周角是直角）。
在$ Rt\triangle ABC $中，$ BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-(2\sqrt{5})^2}=4\sqrt{5} $cm。
∵$ OF \perp BC $，∴$ F $是BC中点（垂径定理），$ FC=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5} $cm。
在$ Rt\triangle OFC $中，$ OC=5 $cm，由勾股定理得：
$ OF=\sqrt{OC^2-FC^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5} $cm。
1. 求半径$ r $：
∵AC是直径，$ BD \perp AO $于E，$ BD=8 $cm，
∴由垂径定理得$ BE=\frac{1}{2}BD=4 $cm。
∵$ AE=2 $cm，$ AO=r $，∴$ OE=AO-AE=r-2 $。
连接OB，在$ Rt\triangle OEB $中，$ OB=r $，由勾股定理得：
$ r^2=(r-2)^2+4^2 $
解得$ r=5 $。
2. 求OF的长：
∵$ r=5 $，∴$ AC=10 $cm，$ AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5} $cm。
∵AC是直径，∴$ \angle ABC=90° $（直径所对圆周角是直角）。
在$ Rt\triangle ABC $中，$ BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-(2\sqrt{5})^2}=4\sqrt{5} $cm。
∵$ OF \perp BC $，∴$ F $是BC中点（垂径定理），$ FC=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5} $cm。
在$ Rt\triangle OFC $中，$ OC=5 $cm，由勾股定理得：
$ OF=\sqrt{OC^2-FC^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5} $cm。
6. (2023·包头)如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D、E、F，连接DE、EF、FD.若DE+DF=6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为 ()
A.8
B.4
C.3.5
D.3
A.8
B.4
C.3.5
D.3
答案
B
解析
∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，O为外接圆圆心，∴D、E、F分别为AB、BC、AC中点（垂径定理）。
∴DE、DF、EF为△ABC中位线（三角形中位线定义）。
由中位线定理得：DE=1/2AC，DF=1/2BC，EF=1/2AB。
△ABC周长AB+BC+AC=21，∴DE+DF+EF=1/2(AB+BC+AC)=10.5。
∵DE+DF=6.5，∴EF=10.5-6.5=4。
∴DE、DF、EF为△ABC中位线（三角形中位线定义）。
由中位线定理得：DE=1/2AC，DF=1/2BC，EF=1/2AB。
△ABC周长AB+BC+AC=21，∴DE+DF+EF=1/2(AB+BC+AC)=10.5。
∵DE+DF=6.5，∴EF=10.5-6.5=4。
7. (分类讨论思想)已知⊙O的直径CD=10 cm，AB是⊙O的弦，AB=8 cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为 ()
A.2√5 cm
B.4√5 cm
C.2√5 cm或4√5 cm
D.2√3 cm或4√3 cm
A.2√5 cm
B.4√5 cm
C.2√5 cm或4√5 cm
D.2√3 cm或4√3 cm
答案
C
解析
连接OA，∵CD是直径，CD=10cm，∴OA=OC=5cm。
∵AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB/2=4cm。
在Rt△OAM中，OA²=OM²+AM²，即5²=OM²+4²，解得OM=3cm。
情况1：点M在OC之间（A、C在圆心O同侧）
MC=OC-OM=5-3=2cm。
在Rt△AMC中，AC=√(AM²+MC²)=√(4²+2²)=√20=2√5 cm。
情况2：点M在OD之间（A、C在圆心O异侧）
MC=OC+OM=5+3=8cm。
在Rt△AMC中，AC=√(AM²+MC²)=√(4²+8²)=√80=4√5 cm。
综上，AC的长为2√5 cm或4√5 cm。
∵AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB/2=4cm。
在Rt△OAM中，OA²=OM²+AM²，即5²=OM²+4²，解得OM=3cm。
情况1：点M在OC之间（A、C在圆心O同侧）
MC=OC-OM=5-3=2cm。
在Rt△AMC中，AC=√(AM²+MC²)=√(4²+2²)=√20=2√5 cm。
情况2：点M在OD之间（A、C在圆心O异侧）
MC=OC+OM=5+3=8cm。
在Rt△AMC中，AC=√(AM²+MC²)=√(4²+8²)=√80=4√5 cm。
综上，AC的长为2√5 cm或4√5 cm。
