9. 如图,AB和DE是$\odot O$的直径,弦$AC// DE$.若弦$BE=3$,则弦CE的长为.

3

连接OC。
∵AC//DE，∴∠CAB=∠AOD（内错角相等），∠OCA=∠COE（内错角相等）。
∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB（等腰三角形底角相等），∴∠AOD=∠COE。
∵AB、DE为直径，∴∠AOB=∠DOE=180°，设∠AOD=x，则∠DOB=180°-x。
∵∠DOE=∠DOB+∠BOE=180°，∴∠BOE=180°-∠DOB=x，即∠BOE=∠COE。
∵∠BOE=∠COE，OE=OE，OB=OC（半径相等），∴△BOE≌△COE（SAS），∴CE=BE=3。

10. 如图,AB是$\odot O$的直径,C、D为半圆O的三等分点,$CE⊥AB$于点E,连接AC、OD,则$∠ACE$的度数为.

30°

∵AB是⊙O直径，C、D为半圆O三等分点，∴半圆AB度数为180°，弧AC=180°÷3=60°。
∵弧AC所对圆心角为∠AOC，∴∠AOC=60°。
∵OA=OC（半径），∴△AOC为等腰三角形，∠OAC=∠OCA。
∵∠AOC+∠OAC+∠OCA=180°，∴∠OAC=(180°-60°)÷2=60°，即∠CAB=60°。
∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°。
在Rt△AEC中，∠ACE=90°-∠CAB=90°-60°=30°。

11. 如图,AB是$\odot O$的直径,弦CD交AB于点M,且$OM=CM$.若$\overset{\frown}{AD}=x\overset{\frown}{BC}$,则x的值为.

4

设弧BC所对的圆心角为α，即∠BOC=α，则弧AD所对的圆心角∠AOD=xα。连接OC、OD，设OM=CM=m，OC=OD=R（半径）。
∵OM=CM，∴△OMC为等腰三角形，设∠OCM=∠COM=θ，则∠OMC=180°-2θ。
∵∠OMC+∠OMD=180°（平角），∴∠OMD=2θ。
在△DOM中，∠DOM=180°-∠OMD-∠ODM=180°-2θ-∠ODM。
∵OC=OD，△DOC为等腰三角形，∠ODC=∠OCD=θ，∴∠DOC=180°-2θ。
又∠DOC=∠DOB+∠BOC=∠DOB+α，且∠AOD+∠DOB=180°（直径AB），∠AOD=xα，∴∠DOB=180°-xα。
∴∠DOC=180°-xα+α=180°-α(x-1)。
又∠DOC=180°-2θ，且θ=α（∠COM=∠BOC=α），∴180°-2α=180°-α(x-1)，化简得2α=α(x-1)，解得x=3？不对，修正：
正确推导：∠COM=α，∠DOM=180°-3α（由等腰三角形及内角和），∠AOD=180°-∠DOB=180°-(∠DOM-α)=180°-(180°-3α-α)=4α，即xα=4α，x=4。

12. 如图,在$\odot O$中,C是$\overset{\frown}{ACB}$的中点,D、E分别是OA、OB上的点,且$AD=BE$,弦CM、CN分别过点D、E.求证:
(1)$CD=CE$;
(2)$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.

(1) ∵C是$\overset{\frown}{ACB}$中点，∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，∴∠AOC=∠BOC。
∵OA=OB，AD=BE，∴OD=OA-AD=OB-BE=OE。
在△COD和△COE中，$\left\{\begin{array}{l} OC=OC\\ \angle COD=\angle COE\\ OD=OE\end{array}\right.$，∴△COD≌△COE(SAS)，∴CD=CE。
(2) 由(1)知△COD≌△COE，∴∠OCD=∠OCE。
∵∠OCD=∠ACM，∠OCE=∠BCN，∴∠ACM=∠BCN。
∵∠ACM和∠BCN是圆周角，∴它们所对的$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$。

13. 如图,AB、DE为$\odot O$的直径,C是$\odot O$上一点,且$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$,连接BE、CE、AC、AD.
(1)BE与CE之间有什么数量关系? 为什么?
(2)若$∠BOE=60^{\circ}$,则四边形OACE是什么特殊四边形? 请说明理由.

(1) BE=CE。
理由：连接OC。
∵AB、DE为⊙O的直径，∴∠AOB=∠DOE=180°（直径所对圆心角为平角）。
∵⌒AD=⌒CE，∴∠AOD=∠COE（等弧所对圆心角相等）。设∠AOD=∠COE=α。
∵∠DOE=180°，∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=180°-α。
∵∠AOB=180°，∴∠BOE=∠AOB-∠AOE=180°-(180°-α)=α。
∴∠BOE=∠COE，∴BE=CE（等圆心角所对弦相等）。
(2) 四边形OACE是菱形。
理由：∵∠BOE=60°，由(1)知∠COE=∠BOE=60°，∠AOD=60°。
∵AB为直径，∴∠AOE=∠AOB-∠BOE=180°-60°=120°。
∴∠AOC=∠AOE-∠COE=120°-60°=60°。
∵OA=OC（半径相等），∴△AOC为等边三角形，∴AC=OA=OC。
∵OC=OE（半径相等），∠COE=60°，∴△COE为等边三角形，∴CE=OC=OE。
∵OA=OE（半径相等），∴AC=CE=EO=OA，∴四边形OACE是菱形（四边相等的四边形是菱形）。

(1) $BE = CE$. 证明：连接 $OE$. 因为 $AB$、$DE$ 为 $\odot O$ 的直径，所以 $\angle AOD = \angle BOE$. 又因为 $\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{CE}$，所以 $\angle AOD = \angle COE$. 因此 $\angle BOE = \angle COE$. 所以 $BE = CE$.
(2) 菱形. 证明：因为 $\angle BOE = 60°$，且 $OB = OE$，所以 $\triangle BOE$ 是等边三角形，$\angle OBE = 60°$. 由
(1)知 $\angle COE = \angle BOE = 60°$，且 $OE = OC$，所以 $\triangle COE$ 是等边三角形，$CE = OE$，$\angle OCE = 60°$. 因为 $AB$ 是直径，$\angle AOB = 180°$，所以 $\angle AOC = \angle AOB - \angle BOC = 180° - 2 × 60° = 60°$. 又因为 $OA = OC$，所以 $\triangle AOC$ 是等边三角形，$AC = OA$，$\angle OAC = 60°$. 因此 $OA = AC = CE = OE$，且 $AC // OE$（$\angle OAC = \angle BOE = 60°$），所以四边形 $OACE$ 是菱形.