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8. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC.若∠CAB=22.5°，CD=8 cm，则⊙O的半径为cm.
答案
4√2
解析
连接OC，设⊙O的半径为r。
∵AB是直径，CD⊥AB，CD=8cm，
∴由垂径定理得CE=CD/2=4cm，∠OEC=90°。
∵OA=OC，∠CAB=22.5°，
∴∠OCA=∠CAB=22.5°。
在Rt△AEC中，∠ACE=90°-∠CAB=67.5°，
∴∠OCE=∠ACE-∠OCA=67.5°-22.5°=45°。
在Rt△OEC中，∠OCE=45°，
∴OE=CE=4cm（等腰直角三角形两直角边相等）。
由勾股定理得：OC²=OE²+CE²=4²+4²=32，
∴OC=4√2，即⊙O的半径为4√2 cm。
∵AB是直径，CD⊥AB，CD=8cm，
∴由垂径定理得CE=CD/2=4cm，∠OEC=90°。
∵OA=OC，∠CAB=22.5°，
∴∠OCA=∠CAB=22.5°。
在Rt△AEC中，∠ACE=90°-∠CAB=67.5°，
∴∠OCE=∠ACE-∠OCA=67.5°-22.5°=45°。
在Rt△OEC中，∠OCE=45°，
∴OE=CE=4cm（等腰直角三角形两直角边相等）。
由勾股定理得：OC²=OE²+CE²=4²+4²=32，
∴OC=4√2，即⊙O的半径为4√2 cm。
9. 如图，在⊙O中，⌢AB=2⌢AC，AD⊥OC于点D.若AB=8，则AD的长为.
答案
4
解析
连接OA、OB，过O作OE⊥AB于E，由垂径定理得AE=AB/2=4。
∵⌢AB=2⌢AC，∴∠AOB=2∠AOC（同圆中弧的比等于圆心角的比）。设∠AOC=θ，则∠AOB=2θ，OE平分∠AOB（等腰△AOB三线合一），故∠AOE=θ。
在Rt△AOE中，sinθ=AE/OA=4/OA，即OA·sinθ=4。
在Rt△ADO中，AD⊥OC，∠ADO=90°，∠AOD=θ，∴sinθ=AD/OA，即AD=OA·sinθ=4。
∵⌢AB=2⌢AC，∴∠AOB=2∠AOC（同圆中弧的比等于圆心角的比）。设∠AOC=θ，则∠AOB=2θ，OE平分∠AOB（等腰△AOB三线合一），故∠AOE=θ。
在Rt△AOE中，sinθ=AE/OA=4/OA，即OA·sinθ=4。
在Rt△ADO中，AD⊥OC，∠ADO=90°，∠AOD=θ，∴sinθ=AD/OA，即AD=OA·sinθ=4。
10. 已知⊙O的直径为20，弦AB的长为12，P是弦AB上一动点，则满足线段OP的长为整数的点P有处不同的位置.
答案
5
解析
过O作OM⊥AB于M，由垂径定理得AM=6。在Rt△OAM中，OA=10，OM²=OA²-AM²=10²-6²=64，∴OM=8。OP最小值为8（P=M时），最大值为10（P=A或B时），OP取值范围8≤OP≤10。整数OP值为8、9、10。OP=8时，1个点；OP=9时，AB上关于M对称的2个点；OP=10时，A、B两点。共1+2+2=5处。
11. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点C为圆心、AC为半径的⊙C与AB相交于点D.若AC=6，BC=8，则AD的长为.
答案
$7.2$
解析
过$C$点作$CG\bot AB$于$G$，如图，
$AD=2AG$，
$BC=8$，
$AC$的值为6，
根据勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2} =\sqrt{6^2+8^2} =10$，
利用三角形面积公式，
有$\frac{1}{2} CG\cdot AB= \frac{1}{2} AC\cdot BC$，
即$CG=\frac{6× 8}{10} =4.8$，
在$Rt\bigtriangleup ACG$中，
$AG=\sqrt{AC^2-CG^2} =\sqrt{6^2-4.8^2} =3.6$，
因为$CG\bot AB$，
所以$AG=DG$，
因此$AD=2AG=7.2$。
$AD=2AG$，
$BC=8$，
$AC$的值为6，
根据勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2} =\sqrt{6^2+8^2} =10$，
利用三角形面积公式，
有$\frac{1}{2} CG\cdot AB= \frac{1}{2} AC\cdot BC$，
即$CG=\frac{6× 8}{10} =4.8$，
在$Rt\bigtriangleup ACG$中，
$AG=\sqrt{AC^2-CG^2} =\sqrt{6^2-4.8^2} =3.6$，
因为$CG\bot AB$，
所以$AG=DG$，
因此$AD=2AG=7.2$。
12. (新情境·现实生活)(2023·广西改编)如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥拱所在圆的圆心为点O，桥下水面的宽度AB为7.2 m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD=2.4 m.现有一艘宽3 m、船舱顶部高出水面AB 2 m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥?
答案
设桥拱所在圆的半径为 $R$ m。
在$Rt \bigtriangleup OBD$中，由题意可得：
$BD=\frac{1}{2}AB = 3.6$（m），
$OD = R - CD = R - 2.4$（m）。
根据勾股定理，$OB^{2} = BD^{2} + OD^{2}$，
即$R^{2} = 3.6^{2} + (R - 2.4)^{2}$。
展开并化简得：
$R^{2} = 12.96 + R^{2} - 4.8R + 5.76$，
$4.8R = 18.72$，
解得$R = 3.9$。
当货船宽3m时，假设货船恰好通过，此时船两侧与桥拱接触点关于$y$轴对称，设接触点为$M$，$N$，过$M$作$ME\bot AB$于$E$，过$O$作$OC\bot MN$于$C$（$C$在$MN$延长线上），则$ME = 2$m，$MN = 3$m，所以$EN=\frac{1}{2}MN = 1.5$m。
在$Rt \bigtriangleup OEN$中，$ON = OB = 3.9$m，$EN = 1.5$m，根据勾股定理可得：
$OE=\sqrt{ON^{2}-EN^{2}}=\sqrt{3.9^{2} - 1.5^{2}}=\sqrt{15.21 - 2.25}=\sqrt{12.96}= 3.6$（m）。
则$OD + 2=3.9 - 2.4+2 = 3.5\lt 3.6$。
所以此货船能顺利通过这座拱桥。
在$Rt \bigtriangleup OBD$中，由题意可得：
$BD=\frac{1}{2}AB = 3.6$（m），
$OD = R - CD = R - 2.4$（m）。
根据勾股定理，$OB^{2} = BD^{2} + OD^{2}$，
即$R^{2} = 3.6^{2} + (R - 2.4)^{2}$。
展开并化简得：
$R^{2} = 12.96 + R^{2} - 4.8R + 5.76$，
$4.8R = 18.72$，
解得$R = 3.9$。
当货船宽3m时，假设货船恰好通过，此时船两侧与桥拱接触点关于$y$轴对称，设接触点为$M$，$N$，过$M$作$ME\bot AB$于$E$，过$O$作$OC\bot MN$于$C$（$C$在$MN$延长线上），则$ME = 2$m，$MN = 3$m，所以$EN=\frac{1}{2}MN = 1.5$m。
在$Rt \bigtriangleup OEN$中，$ON = OB = 3.9$m，$EN = 1.5$m，根据勾股定理可得：
$OE=\sqrt{ON^{2}-EN^{2}}=\sqrt{3.9^{2} - 1.5^{2}}=\sqrt{15.21 - 2.25}=\sqrt{12.96}= 3.6$（m）。
则$OD + 2=3.9 - 2.4+2 = 3.5\lt 3.6$。
所以此货船能顺利通过这座拱桥。
13. (2024·包头)如图，AB是⊙O的直径，BC、BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点(OE＞BE)，连接OC、CE.若∠BOC=2∠BCE，且BD=2OE.求证：BD//OC.
答案
证明：设∠BCE=x，则∠BOC=2x。
∵OC=OB，∴△OBC为等腰三角形，∠OCB=∠OBC。
∵∠BOC+∠OCB+∠OBC=180°，∴2∠OCB+2x=180°，∠OCB=90°-x。
∵∠OCB=∠OCE+∠BCE，∠BCE=x，∴∠OCE=∠OCB-x=90°-2x。
在△OCE中，∠COE=∠BOC=2x，∠OCE=90°-2x，
∴∠OEC=180°-∠COE-∠OCE=180°-2x-(90°-2x)=90°，即CE⊥OB。
设OE=m，则BD=2m。过O作OF⊥BD于F，由垂径定理得BF=FD=BD/2=m。
在Rt△OCE中，OC²=OE²+CE²，即CE²=OC²-m²。
在Rt△OFB中，OB²=OF²+BF²，OB=OC，BF=m，∴OF²=OC²-m²=CE²，故OF=CE。
∵CE⊥OB，OF⊥BD，∴∠OEC=∠OFB=90°。
在Rt△OCE和Rt△BOF中，sin∠COE=CE/OC，sin∠OBF=OF/OB，
∵CE=OF，OC=OB，∴sin∠COE=sin∠OBF。
∵∠COE=2x＜90°（∠OCE=90°-2x＞0），∠OBF为锐角，∴∠OBF=∠COE=2x。
∵∠COB=∠OBF=2x（内错角相等），∴BD//OC。
结论：BD//OC。
∵OC=OB，∴△OBC为等腰三角形，∠OCB=∠OBC。
∵∠BOC+∠OCB+∠OBC=180°，∴2∠OCB+2x=180°，∠OCB=90°-x。
∵∠OCB=∠OCE+∠BCE，∠BCE=x，∴∠OCE=∠OCB-x=90°-2x。
在△OCE中，∠COE=∠BOC=2x，∠OCE=90°-2x，
∴∠OEC=180°-∠COE-∠OCE=180°-2x-(90°-2x)=90°，即CE⊥OB。
设OE=m，则BD=2m。过O作OF⊥BD于F，由垂径定理得BF=FD=BD/2=m。
在Rt△OCE中，OC²=OE²+CE²，即CE²=OC²-m²。
在Rt△OFB中，OB²=OF²+BF²，OB=OC，BF=m，∴OF²=OC²-m²=CE²，故OF=CE。
∵CE⊥OB，OF⊥BD，∴∠OEC=∠OFB=90°。
在Rt△OCE和Rt△BOF中，sin∠COE=CE/OC，sin∠OBF=OF/OB，
∵CE=OF，OC=OB，∴sin∠COE=sin∠OBF。
∵∠COE=2x＜90°（∠OCE=90°-2x＞0），∠OBF为锐角，∴∠OBF=∠COE=2x。
∵∠COB=∠OBF=2x（内错角相等），∴BD//OC。
结论：BD//OC。
