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(3)若$x^2=(-5)^2$,则$x=$;
答案
$\boldsymbol{\pm5}$
解析
【分析】
解题思路：首先先计算等式右侧$(-5)^2$的结果，将原式简化为$x^2=a$（$a$为正数）的形式，再根据平方根的相关定义寻找满足等式的$x$值，注意正数的平方根有两个，且互为相反数，解题时不要漏解。
【解析】
1. 先计算等式右侧的乘方结果：$(-5)^2=(-5)×(-5)=25$，因此原等式可化简为$x^2=25$。
2. 根据平方根的定义，平方等于25的数有两个，分别是5和-5，即$5^2=25$，$(-5)^2=25$，因此$x=\pm5$。
【答案】
$\boldsymbol{\pm5}$
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 平方根的定义
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查乘方计算和平方根的性质，常见错误是只写出正根5，遗漏负根-5，解题时要牢记正数的两个平方根互为相反数。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先先计算等式右侧$(-5)^2$的结果，将原式简化为$x^2=a$（$a$为正数）的形式，再根据平方根的相关定义寻找满足等式的$x$值，注意正数的平方根有两个，且互为相反数，解题时不要漏解。
【解析】
1. 先计算等式右侧的乘方结果：$(-5)^2=(-5)×(-5)=25$，因此原等式可化简为$x^2=25$。
2. 根据平方根的定义，平方等于25的数有两个，分别是5和-5，即$5^2=25$，$(-5)^2=25$，因此$x=\pm5$。
【答案】
$\boldsymbol{\pm5}$
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 平方根的定义
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查乘方计算和平方根的性质，常见错误是只写出正根5，遗漏负根-5，解题时要牢记正数的两个平方根互为相反数。
【难度系数】
0.7
(4)若$(-x)^2=1.21$，则$x=$。
答案
$\boldsymbol{\pm1.1}$
解析
【分析】
解题时首先化简等式左侧的$(-x)^2$，根据乘方的性质，负数的偶次幂为正，可得$(-x)^2=x^2$，此时原等式转化为$x^2=1.21$。再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，因此要同时考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
解：先对等式左侧进行化简：
$\because (-x)^2=(-1)^2· x^2=x^2$
$\therefore$ 原等式可化为 $x^2=1.21$
又$\because (\pm1.1)^2=1.21$
$\therefore x=\pm1.1$
【答案】
$\boldsymbol{\pm1.1}$
【知识点】
1. 乘方的运算性质
2. 平方根的定义
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查乘方化简和平方根的概念，易错点是仅写出正根$1.1$，遗漏负根，需牢记正数的平方根有两个且互为相反数。
【难度系数】
0.8
解题时首先化简等式左侧的$(-x)^2$，根据乘方的性质，负数的偶次幂为正，可得$(-x)^2=x^2$，此时原等式转化为$x^2=1.21$。再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，因此要同时考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
解：先对等式左侧进行化简：
$\because (-x)^2=(-1)^2· x^2=x^2$
$\therefore$ 原等式可化为 $x^2=1.21$
又$\because (\pm1.1)^2=1.21$
$\therefore x=\pm1.1$
【答案】
$\boldsymbol{\pm1.1}$
【知识点】
1. 乘方的运算性质
2. 平方根的定义
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查乘方化简和平方根的概念，易错点是仅写出正根$1.1$，遗漏负根，需牢记正数的平方根有两个且互为相反数。
【难度系数】
0.8
8.若$x$是25的平方根，$y$是$(-3)^2$的算术平方根，则$x^y$的值为
答案
解：
∵x是25的平方根，
∴x=±√25=±5，
∵y是$(-3)^2$的算术平方根，
∴y=$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，
当x=5，y=3时，$x^y=5^3=125$，
当x=-5，y=3时，$x^y=(-5)^3=-125$，
∴$x^y$的值为$\pm125$。
∵x是25的平方根，
∴x=±√25=±5，
∵y是$(-3)^2$的算术平方根，
∴y=$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，
当x=5，y=3时，$x^y=5^3=125$，
当x=-5，y=3时，$x^y=(-5)^3=-125$，
∴$x^y$的值为$\pm125$。
解析
【分析】
解题首先要依据平方根的定义确定x的所有取值：正数的平方根有2个，且互为相反数，因此25的平方根有两个值；再根据算术平方根的定义求y的值，算术平方根是非负数，所以(-3)²的算术平方根只有1个正值；最后分两种情况将x、y的值代入x^y计算，注意不要遗漏x为负数的情况。
【解析】
∵x是25的平方根，
∴x=±√25=±5，
∵y是$(-3)^2$的算术平方根，
∴y=$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，
当x=5，y=3时，$x^y=5^3=125$，
当x=-5，y=3时，$x^y=(-5)^3=-125$，
∴$x^y$的值为$\pm125$。
【答案】
$\pm125$
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义，有理数的乘方
【点评】
本题重点考查平方根与算术平方根的概念辨析，解题时需注意区分两个概念的差异，避免因漏考虑正数的负平方根导致漏解，同时要熟练掌握乘方的运算规则。
【难度系数】
0.7
解题首先要依据平方根的定义确定x的所有取值：正数的平方根有2个，且互为相反数，因此25的平方根有两个值；再根据算术平方根的定义求y的值，算术平方根是非负数，所以(-3)²的算术平方根只有1个正值；最后分两种情况将x、y的值代入x^y计算，注意不要遗漏x为负数的情况。
【解析】
∵x是25的平方根，
∴x=±√25=±5，
∵y是$(-3)^2$的算术平方根，
∴y=$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，
当x=5，y=3时，$x^y=5^3=125$，
当x=-5，y=3时，$x^y=(-5)^3=-125$，
∴$x^y$的值为$\pm125$。
【答案】
$\pm125$
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义，有理数的乘方
【点评】
本题重点考查平方根与算术平方根的概念辨析，解题时需注意区分两个概念的差异，避免因漏考虑正数的负平方根导致漏解，同时要熟练掌握乘方的运算规则。
【难度系数】
0.7
9. 求下列各数的平方根：
(1)$\frac{64}{81}$；
(2)$6^2$；
(3)0.49.
(1)$\frac{64}{81}$；
(2)$6^2$；
(3)0.49.
答案
解：
(1) ∵$(±\dfrac{8}{9})^2 = \dfrac{64}{81}$，
∴$\dfrac{64}{81}$的平方根是$±\dfrac{8}{9}$，即$±\sqrt{\dfrac{64}{81}}=±\dfrac{8}{9}$。
(2) ∵$6^2=36$，$(±6)^2=36$，
∴$6^2$的平方根是$±6$，即$±\sqrt{6^2}=±6$。
(3) ∵$(±0.7)^2=0.49$，
∴$0.49$的平方根是$±0.7$，即$±\sqrt{0.49}=±0.7$。
(1) ∵$(±\dfrac{8}{9})^2 = \dfrac{64}{81}$，
∴$\dfrac{64}{81}$的平方根是$±\dfrac{8}{9}$，即$±\sqrt{\dfrac{64}{81}}=±\dfrac{8}{9}$。
(2) ∵$6^2=36$，$(±6)^2=36$，
∴$6^2$的平方根是$±6$，即$±\sqrt{6^2}=±6$。
(3) ∵$(±0.7)^2=0.49$，
∴$0.49$的平方根是$±0.7$，即$±\sqrt{0.49}=±0.7$。
解析
【分析】
解本题的核心依据是平方根的定义：若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$叫做$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根。解题时按以下思路操作即可：①先确定待求平方根的数的大小，若数带有运算先算出运算结果；②找到平方后等于该数的两个互为相反数的数，就是对应的平方根，注意不要遗漏负的结果。
【解析】
解：
(1)
∵$(±\dfrac{8}{9})^2 = \dfrac{64}{81}$，
∴$\dfrac{64}{81}$的平方根是$±\dfrac{8}{9}$，即$±\sqrt{\dfrac{64}{81}}=±\dfrac{8}{9}$。
(2)
∵$6^2=36$，$(±6)^2=36$，
∴$6^2$的平方根是$±6$，即$±\sqrt{6^2}=±6$。
(3)
∵$(±0.7)^2=0.49$，
∴$0.49$的平方根是$±0.7$，即$±\sqrt{0.49}=±0.7$。
【答案】
(1)$±\dfrac{8}{9}$；(2)$±6$；(3)$±0.7$
【知识点】
平方根的定义，开平方运算
【点评】
本题是平方根的基础计算题，易错点是容易遗漏正数的负平方根，对于包含乘方运算的数，要先算出运算结果再求平方根，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
解本题的核心依据是平方根的定义：若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$叫做$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根。解题时按以下思路操作即可：①先确定待求平方根的数的大小，若数带有运算先算出运算结果；②找到平方后等于该数的两个互为相反数的数，就是对应的平方根，注意不要遗漏负的结果。
【解析】
解：
(1)
∵$(±\dfrac{8}{9})^2 = \dfrac{64}{81}$，
∴$\dfrac{64}{81}$的平方根是$±\dfrac{8}{9}$，即$±\sqrt{\dfrac{64}{81}}=±\dfrac{8}{9}$。
(2)
∵$6^2=36$，$(±6)^2=36$，
∴$6^2$的平方根是$±6$，即$±\sqrt{6^2}=±6$。
(3)
∵$(±0.7)^2=0.49$，
∴$0.49$的平方根是$±0.7$，即$±\sqrt{0.49}=±0.7$。
【答案】
(1)$±\dfrac{8}{9}$；(2)$±6$；(3)$±0.7$
【知识点】
平方根的定义，开平方运算
【点评】
本题是平方根的基础计算题，易错点是容易遗漏正数的负平方根，对于包含乘方运算的数，要先算出运算结果再求平方根，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
10. 计算：$\sqrt{25} - \sqrt{81} + \sqrt{\dfrac{121}{49}} × \sqrt{196}.$
答案
解：
原式$=5 - 9 + \dfrac{11}{7} × 14$
$=5 - 9 + 22$
$=18$
原式$=5 - 9 + \dfrac{11}{7} × 14$
$=5 - 9 + 22$
$=18$
解析
【分析】
这是一道实数混合运算题，解题遵循运算优先级规则：先算开方运算，再算乘除运算，最后算加减运算。首先根据算术平方根的定义，分别求出每个二次根式的值，再先计算乘法部分，最后按从左到右的顺序计算加减即可得到结果。
【解析】
第一步，先化简各算术平方根：
$\sqrt{25}$是25的算术平方根，$5^2=25$，故$\sqrt{25}=5$；
$\sqrt{81}$是81的算术平方根，$9^2=81$，故$\sqrt{81}=9$；
$\sqrt{\dfrac{121}{49}}$是$\dfrac{121}{49}$的算术平方根，$(\dfrac{11}{7})^2=\dfrac{121}{49}$，故$\sqrt{\dfrac{121}{49}}=\dfrac{11}{7}$；
$\sqrt{196}$是196的算术平方根，$14^2=196$，故$\sqrt{196}=14$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=5 - 9 + \dfrac{11}{7} × 14\\&=5 - 9 + 22\\&=-4+22\\&=18\end{aligned}$
【答案】
$18$
【知识点】
算术平方根化简，实数混合运算，二次根式乘法
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查算术平方根的化简能力和四则运算顺序的掌握，计算时注意先算开方、乘除，后算加减，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
这是一道实数混合运算题，解题遵循运算优先级规则：先算开方运算，再算乘除运算，最后算加减运算。首先根据算术平方根的定义，分别求出每个二次根式的值，再先计算乘法部分，最后按从左到右的顺序计算加减即可得到结果。
【解析】
第一步，先化简各算术平方根：
$\sqrt{25}$是25的算术平方根，$5^2=25$，故$\sqrt{25}=5$；
$\sqrt{81}$是81的算术平方根，$9^2=81$，故$\sqrt{81}=9$；
$\sqrt{\dfrac{121}{49}}$是$\dfrac{121}{49}$的算术平方根，$(\dfrac{11}{7})^2=\dfrac{121}{49}$，故$\sqrt{\dfrac{121}{49}}=\dfrac{11}{7}$；
$\sqrt{196}$是196的算术平方根，$14^2=196$，故$\sqrt{196}=14$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=5 - 9 + \dfrac{11}{7} × 14\\&=5 - 9 + 22\\&=-4+22\\&=18\end{aligned}$
【答案】
$18$
【知识点】
算术平方根化简，实数混合运算，二次根式乘法
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查算术平方根的化简能力和四则运算顺序的掌握，计算时注意先算开方、乘除，后算加减，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
11. 求下列各式中$x$的值：
(1)$25x^2 -49=0$；
(2)$2(x+1)^2 -49=1$。
(1)$25x^2 -49=0$；
(2)$2(x+1)^2 -49=1$。
答案
解：
(1) 移项，得 $25x^2 = 49$
系数化为1，得 $x^2 = \frac{49}{25}$
根据平方根的定义，得 $x = \pm \frac{7}{5}$
即 $x_1=\frac{7}{5}$，$x_2=-\frac{7}{5}$
(2) 移项，得 $2(x+1)^2 = 1 + 49$
合并同类项，得 $2(x+1)^2 = 50$
系数化为1，得 $(x+1)^2 = 25$
根据平方根的定义，得 $x+1 = \pm5$
当 $x+1=5$ 时，解得 $x=4$；
当 $x+1=-5$ 时，解得 $x=-6$。
所以 $x$ 的值为4或$-6$。
(1) 移项，得 $25x^2 = 49$
系数化为1，得 $x^2 = \frac{49}{25}$
根据平方根的定义，得 $x = \pm \frac{7}{5}$
即 $x_1=\frac{7}{5}$，$x_2=-\frac{7}{5}$
(2) 移项，得 $2(x+1)^2 = 1 + 49$
合并同类项，得 $2(x+1)^2 = 50$
系数化为1，得 $(x+1)^2 = 25$
根据平方根的定义，得 $x+1 = \pm5$
当 $x+1=5$ 时，解得 $x=4$；
当 $x+1=-5$ 时，解得 $x=-6$。
所以 $x$ 的值为4或$-6$。
解析
【分析】
这两道题都是利用平方根的定义求解含平方项的方程，解题遵循“移项→合并同类项→将平方项系数化为1→开平方求根”的步骤：(1)题直接对x²开平方即可得到x的取值；(2)题先把(x+1)看作一个整体，开平方后再求解x的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
(1) 移项，得 $25x^2 = 49$
系数化为1，得 $x^2 = \frac{49}{25}$
根据平方根的定义，得 $x = \pm \frac{7}{5}$
即 $x_1=\frac{7}{5}$，$x_2=-\frac{7}{5}$
(2) 移项，得 $2(x+1)^2 = 1 + 49$
合并同类项，得 $2(x+1)^2 = 50$
系数化为1，得 $(x+1)^2 = 25$
根据平方根的定义，得 $x+1 = \pm5$
当 $x+1=5$ 时，解得 $x=4$；
当 $x+1=-5$ 时，解得 $x=-6$。
所以 $x$ 的值为4或$-6$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{7}{5},x_2=-\frac{7}{5}$；(2)$x=4$或$x=-6$
【知识点】
平方根的定义；直接开平方法解方程；等式的性质
【点评】
本题属于基础解方程题型，核心考查平方根的性质，解题时需注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解，对于含整体平方的式子，可先将整体看作未知数求解，再计算最终结果。
【难度系数】
0.7
这两道题都是利用平方根的定义求解含平方项的方程，解题遵循“移项→合并同类项→将平方项系数化为1→开平方求根”的步骤：(1)题直接对x²开平方即可得到x的取值；(2)题先把(x+1)看作一个整体，开平方后再求解x的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
(1) 移项，得 $25x^2 = 49$
系数化为1，得 $x^2 = \frac{49}{25}$
根据平方根的定义，得 $x = \pm \frac{7}{5}$
即 $x_1=\frac{7}{5}$，$x_2=-\frac{7}{5}$
(2) 移项，得 $2(x+1)^2 = 1 + 49$
合并同类项，得 $2(x+1)^2 = 50$
系数化为1，得 $(x+1)^2 = 25$
根据平方根的定义，得 $x+1 = \pm5$
当 $x+1=5$ 时，解得 $x=4$；
当 $x+1=-5$ 时，解得 $x=-6$。
所以 $x$ 的值为4或$-6$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{7}{5},x_2=-\frac{7}{5}$；(2)$x=4$或$x=-6$
【知识点】
平方根的定义；直接开平方法解方程；等式的性质
【点评】
本题属于基础解方程题型，核心考查平方根的性质，解题时需注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解，对于含整体平方的式子，可先将整体看作未知数求解，再计算最终结果。
【难度系数】
0.7
12. 已知$\sqrt{2a - 18} + |b - 1| = 0$，则$\frac{a}{b}$的算术平方根是（）
A.3
B.$\pm3$
C.$-3$
D.$\frac{1}{3}$
A.3
B.$\pm3$
C.$-3$
D.$\frac{1}{3}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式的构成：等式左边是算术平方根与绝对值的和，结果为0。首先回忆非负数的性质：算术平方根、绝对值都属于非负数，若干个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，据此可分别列方程求出a、b的值；再计算$\frac{a}{b}$的结果，最后根据算术平方根的定义（算术平方根为非负数）求出最终结果，结合选项判断即可。
【解析】
解：
∵ 算术平方根和绝对值均为非负数，即$\sqrt{2a - 18} ≥ 0$，$|b - 1| ≥ 0$，且$\sqrt{2a - 18} + |b - 1| = 0$
∴ 可得两个方程：
$2a - 18 = 0$，$b - 1 = 0$
分别解方程：
由$2a - 18 = 0$得$2a = 18$，解得$a = 9$；
由$b - 1 = 0$得$b = 1$。
则$\frac{a}{b} = \frac{9}{1} = 9$，
根据算术平方根的定义，正数的算术平方根是其正的平方根，因此9的算术平方根为$\sqrt{9}=3$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 算术平方根定义
3. 绝对值的性质
【点评】
本题是代数基础常考题，解题核心是熟练掌握常见非负数的性质，同时要注意区分算术平方根和平方根的差异，算术平方根只有非负结果，避免误选带正负的选项。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知等式的构成：等式左边是算术平方根与绝对值的和，结果为0。首先回忆非负数的性质：算术平方根、绝对值都属于非负数，若干个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，据此可分别列方程求出a、b的值；再计算$\frac{a}{b}$的结果，最后根据算术平方根的定义（算术平方根为非负数）求出最终结果，结合选项判断即可。
【解析】
解：
∵ 算术平方根和绝对值均为非负数，即$\sqrt{2a - 18} ≥ 0$，$|b - 1| ≥ 0$，且$\sqrt{2a - 18} + |b - 1| = 0$
∴ 可得两个方程：
$2a - 18 = 0$，$b - 1 = 0$
分别解方程：
由$2a - 18 = 0$得$2a = 18$，解得$a = 9$；
由$b - 1 = 0$得$b = 1$。
则$\frac{a}{b} = \frac{9}{1} = 9$，
根据算术平方根的定义，正数的算术平方根是其正的平方根，因此9的算术平方根为$\sqrt{9}=3$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 算术平方根定义
3. 绝对值的性质
【点评】
本题是代数基础常考题，解题核心是熟练掌握常见非负数的性质，同时要注意区分算术平方根和平方根的差异，算术平方根只有非负结果，避免误选带正负的选项。
【难度系数】
0.8
