登录
2. [2025·河南]请写出一个使$\sqrt{5-x}$在实数范围内有意义的x的值：
1(答案不唯一)
.答案
2. 1(答案不唯一)
解析
【分析】
要确定使$\sqrt{5-x}$在实数范围内有意义的x的值，首先需明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数。解题思路如下：第一步，找出该二次根式的被开方数为$5-x$；第二步，根据被开方数≥0列不等式，求解得到x的取值范围；第三步，在取值范围内任选一个数即可作为答案。
【解析】
根据二次根式在实数范围内有意义的条件，被开方数必须大于等于0，因此可得：
$5 - x ≥ 0$
解这个不等式，移项得：
$x ≤ 5$
只要选取小于等于5的任意实数都满足要求，例如取$x=1$。
【答案】
1(答案不唯一)
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础考查题，重点对二次根式的性质进行检验，只要牢记被开方数为非负数的要求，就能快速求出x的取值范围，任选符合范围的数值即可，解题灵活性较高。
【难度系数】
0.9
要确定使$\sqrt{5-x}$在实数范围内有意义的x的值，首先需明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数。解题思路如下：第一步，找出该二次根式的被开方数为$5-x$；第二步，根据被开方数≥0列不等式，求解得到x的取值范围；第三步，在取值范围内任选一个数即可作为答案。
【解析】
根据二次根式在实数范围内有意义的条件，被开方数必须大于等于0，因此可得：
$5 - x ≥ 0$
解这个不等式，移项得：
$x ≤ 5$
只要选取小于等于5的任意实数都满足要求，例如取$x=1$。
【答案】
1(答案不唯一)
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础考查题，重点对二次根式的性质进行检验，只要牢记被开方数为非负数的要求，就能快速求出x的取值范围，任选符合范围的数值即可，解题灵活性较高。
【难度系数】
0.9
3. 若$M=\sqrt{4-x}+\sqrt{x-4}+3$，$N=x-3$，则$M+N$的值为________.
答案
3. 4
解析
【分析】
解题时首先观察M的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，因此可以列出关于x的不等式组，求解得到x的唯一取值；再将x的值分别代入M、N的表达式求出两者的值，最后相加即可得到M+N的结果。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{4-x}$和$\sqrt{x-4}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$\begin{cases}4-x≥0 \\ x-4≥0\end{cases}$
解不等式$4-x≥0$得$x≤4$，解不等式$x-4≥0$得$x≥4$，因此$x=4$。
将$x=4$代入$M$的表达式：
$M=\sqrt{4-4}+\sqrt{4-4}+3=0+0+3=3$
将$x=4$代入$N$的表达式：
$N=4-3=1$
因此$M+N=3+1=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次根式有意义的条件；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次根式被开方数的非负性的应用，解题的突破口是通过两个被开方数的取值限制确定x的唯一值，熟练掌握二次根式的相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察M的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，因此可以列出关于x的不等式组，求解得到x的唯一取值；再将x的值分别代入M、N的表达式求出两者的值，最后相加即可得到M+N的结果。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{4-x}$和$\sqrt{x-4}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$\begin{cases}4-x≥0 \\ x-4≥0\end{cases}$
解不等式$4-x≥0$得$x≤4$，解不等式$x-4≥0$得$x≥4$，因此$x=4$。
将$x=4$代入$M$的表达式：
$M=\sqrt{4-4}+\sqrt{4-4}+3=0+0+3=3$
将$x=4$代入$N$的表达式：
$N=4-3=1$
因此$M+N=3+1=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次根式有意义的条件；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次根式被开方数的非负性的应用，解题的突破口是通过两个被开方数的取值限制确定x的唯一值，熟练掌握二次根式的相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
4. 比较大小：$\frac{1}{3}\sqrt{11}$ ______ $\frac{1}{2}\sqrt{5}.$
答案
4. ＜
解析
【分析】
要比较两个带系数的正二次根式的大小，可利用两个正数比较大小的规律：正数的平方越大，原数越大，通过计算两个数的平方比较大小；也可以利用二次根式的性质，把根号外的系数移到根号内，只需比较被开方数的大小即可，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
我们选用平方法解题：
已知两个数均为正数，正数的平方越大，对应原数越大。
第一步：计算左边式子的平方：
$(\frac{1}{3}\sqrt{11})^2 = (\frac{1}{3})^2 × (\sqrt{11})^2 = \frac{1}{9} × 11 = \frac{11}{9}$
第二步：计算右边式子的平方：
$(\frac{1}{2}\sqrt{5})^2 = (\frac{1}{2})^2 × (\sqrt{5})^2 = \frac{1}{4} × 5 = \frac{5}{4}$
第三步：比较两个平方结果的大小，通分后得：
$\frac{11}{9} = \frac{44}{36}$，$\frac{5}{4} = \frac{45}{36}$，所以$\frac{44}{36} ＜ \frac{45}{36}$，即$(\frac{1}{3}\sqrt{11})^2 ＜ (\frac{1}{2}\sqrt{5})^2$
因此可得$\frac{1}{3}\sqrt{11} ＜ \frac{1}{2}\sqrt{5}$。
【答案】
＜
【知识点】
二次根式的性质，实数大小比较
【点评】
本题考查二次根式比较大小的常用方法，平方法和移系数入根号法都是解决这类问题的基础技巧，熟练掌握二次根式的相关性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要比较两个带系数的正二次根式的大小，可利用两个正数比较大小的规律：正数的平方越大，原数越大，通过计算两个数的平方比较大小；也可以利用二次根式的性质，把根号外的系数移到根号内，只需比较被开方数的大小即可，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
我们选用平方法解题：
已知两个数均为正数，正数的平方越大，对应原数越大。
第一步：计算左边式子的平方：
$(\frac{1}{3}\sqrt{11})^2 = (\frac{1}{3})^2 × (\sqrt{11})^2 = \frac{1}{9} × 11 = \frac{11}{9}$
第二步：计算右边式子的平方：
$(\frac{1}{2}\sqrt{5})^2 = (\frac{1}{2})^2 × (\sqrt{5})^2 = \frac{1}{4} × 5 = \frac{5}{4}$
第三步：比较两个平方结果的大小，通分后得：
$\frac{11}{9} = \frac{44}{36}$，$\frac{5}{4} = \frac{45}{36}$，所以$\frac{44}{36} ＜ \frac{45}{36}$，即$(\frac{1}{3}\sqrt{11})^2 ＜ (\frac{1}{2}\sqrt{5})^2$
因此可得$\frac{1}{3}\sqrt{11} ＜ \frac{1}{2}\sqrt{5}$。
【答案】
＜
【知识点】
二次根式的性质，实数大小比较
【点评】
本题考查二次根式比较大小的常用方法，平方法和移系数入根号法都是解决这类问题的基础技巧，熟练掌握二次根式的相关性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
三、计算题
1. $[2024· 河南]\sqrt{2}×\sqrt{50}-(1-\sqrt{3})^0.$
2. $\sqrt{0.49}-\sqrt{(-3)^2}.$
1. $[2024· 河南]\sqrt{2}×\sqrt{50}-(1-\sqrt{3})^0.$
2. $\sqrt{0.49}-\sqrt{(-3)^2}.$
答案
1. 9
2. -2.3
2. -2.3
解析
【分析】
这两道题均为实数的基础运算题，解题思路如下：第1题先根据二次根式的乘法法则计算乘法部分，再根据非零数的零次幂等于1计算零指数幂部分，最后做减法即可；第2题先分别计算两个算术平方根的值，注意算术平方根结果为非负数，再做减法运算。
【解析】
1. 计算$\sqrt{2}×\sqrt{50}-(1-\sqrt{3})^0$：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），得$\sqrt{2}×\sqrt{50}=\sqrt{2×50}=\sqrt{100}=10$；
根据零指数幂性质，非零数的0次幂为1，得$(1-\sqrt{3})^0=1$；
所以原式$=10 - 1 = 9$。
2. 计算$\sqrt{0.49}-\sqrt{(-3)^2}$：
先算$\sqrt{0.49}$，因为$0.7^2=0.49$，所以$\sqrt{0.49}=0.7$；
再算$\sqrt{(-3)^2}$，先计算平方得$(-3)^2=9$，再求算术平方根得$\sqrt{9}=3$；
所以原式$=0.7 - 3 = -2.3$。
【答案】
1. 9
2. -2.3
【知识点】
二次根式运算、零指数幂性质、算术平方根化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，考察实数运算的基本规则，解题时需注意运算顺序，先计算开方、乘方类运算，再计算加减，同时要牢记算术平方根的非负性、零指数幂的适用条件，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
这两道题均为实数的基础运算题，解题思路如下：第1题先根据二次根式的乘法法则计算乘法部分，再根据非零数的零次幂等于1计算零指数幂部分，最后做减法即可；第2题先分别计算两个算术平方根的值，注意算术平方根结果为非负数，再做减法运算。
【解析】
1. 计算$\sqrt{2}×\sqrt{50}-(1-\sqrt{3})^0$：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），得$\sqrt{2}×\sqrt{50}=\sqrt{2×50}=\sqrt{100}=10$；
根据零指数幂性质，非零数的0次幂为1，得$(1-\sqrt{3})^0=1$；
所以原式$=10 - 1 = 9$。
2. 计算$\sqrt{0.49}-\sqrt{(-3)^2}$：
先算$\sqrt{0.49}$，因为$0.7^2=0.49$，所以$\sqrt{0.49}=0.7$；
再算$\sqrt{(-3)^2}$，先计算平方得$(-3)^2=9$，再求算术平方根得$\sqrt{9}=3$；
所以原式$=0.7 - 3 = -2.3$。
【答案】
1. 9
2. -2.3
【知识点】
二次根式运算、零指数幂性质、算术平方根化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，考察实数运算的基本规则，解题时需注意运算顺序，先计算开方、乘方类运算，再计算加减，同时要牢记算术平方根的非负性、零指数幂的适用条件，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
3. 已知$\sqrt{3} \approx 1.732,\sqrt{2} \approx 1.414$，求$\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 0.232$（结果保留小数点后两位）。
答案
3. -1.33
解析
【分析】
本题属于实数的近似计算题，解题思路如下：首先明确题目给出的$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$的近似值，将其代入原式，按照实数四则运算的顺序先计算乘法部分，再依次计算减法，也可通过调整运算顺序简化计算过程，最后根据四舍五入规则将结果保留到小数点后两位即可。
【解析】
解：将$\sqrt{3} \approx 1.732$，$\sqrt{2} \approx 1.414$代入原式，得：
$\begin{aligned}\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 0.232 &\approx 1.732 - 2×1.414 - 0.232 \\&= 1.732 - 2.828 - 0.232 \\&= (1.732 - 0.232) - 2.828 \\&= 1.5 - 2.828 \\&= -1.328\end{aligned}$
按照四舍五入规则保留小数点后两位，千分位数字为8，向百分位进1，最终结果为$-1.33$。
【答案】
-1.33
【知识点】
二次根式近似计算、实数四则运算、近似数取值
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查近似值代入运算能力和近似数的处理规则，计算时注意运算顺序和符号即可得分，需注意负数保留小数时四舍五入规则与正数一致，仅看保留位数后一位的数字判断是否进位。
【难度系数】
0.8
本题属于实数的近似计算题，解题思路如下：首先明确题目给出的$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$的近似值，将其代入原式，按照实数四则运算的顺序先计算乘法部分，再依次计算减法，也可通过调整运算顺序简化计算过程，最后根据四舍五入规则将结果保留到小数点后两位即可。
【解析】
解：将$\sqrt{3} \approx 1.732$，$\sqrt{2} \approx 1.414$代入原式，得：
$\begin{aligned}\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 0.232 &\approx 1.732 - 2×1.414 - 0.232 \\&= 1.732 - 2.828 - 0.232 \\&= (1.732 - 0.232) - 2.828 \\&= 1.5 - 2.828 \\&= -1.328\end{aligned}$
按照四舍五入规则保留小数点后两位，千分位数字为8，向百分位进1，最终结果为$-1.33$。
【答案】
-1.33
【知识点】
二次根式近似计算、实数四则运算、近似数取值
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查近似值代入运算能力和近似数的处理规则，计算时注意运算顺序和符号即可得分，需注意负数保留小数时四舍五入规则与正数一致，仅看保留位数后一位的数字判断是否进位。
【难度系数】
0.8
四、解答题
1. 已知实数 $ m,n $ 满足 $ n=\frac{\sqrt{m^2 - 4} + \sqrt{4 - m^2}}{m - 2} $，求 $ \sqrt{mn} $ 的值.
1. 已知实数 $ m,n $ 满足 $ n=\frac{\sqrt{m^2 - 4} + \sqrt{4 - m^2}}{m - 2} $，求 $ \sqrt{mn} $ 的值.
答案
1. 解:由题意可知$\begin{cases} m^2-4≥0,\\4-m^2≥0,\\m-2≠0.\end{cases}$
$\therefore m=-2.\therefore n=\dfrac{0+0}{-2-2}=0.\therefore \sqrt{mn}=0.$
$\therefore m=-2.\therefore n=\dfrac{0+0}{-2-2}=0.\therefore \sqrt{mn}=0.$
解析
【分析】
要计算$\sqrt{mn}$的值，首先需要求出$m$、$n$的取值。观察$n$的表达式，其中包含二次根式和分式，需先根据代数式有意义的条件列不等式组：二次根式的被开方数必须是非负数，因此$m^2-4≥0$且$4-m^2≥0$；同时分式的分母不能为0，因此$m-2≠0$。先通过不等式组求出$m$的取值，再代入表达式求出$n$的值，最后代入$\sqrt{mn}$计算即可。
【解析】
解：根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0的条件，列不等式组：
$\begin{cases} m^2-4≥0 \\ 4-m^2≥0 \\ m-2≠0 \end{cases}$
由前两个不等式可得：$m^2-4=0$，即$m^2=4$，解得$m=2$或$m=-2$；
结合第三个不等式$m≠2$，因此$m=-2$。
将$m=-2$代入$n$的表达式：
$n=\frac{\sqrt{(-2)^2 -4}+\sqrt{4-(-2)^2}}{-2-2}=\frac{0+0}{-4}=0$
则$\sqrt{mn}=\sqrt{(-2)×0}=\sqrt{0}=0$
【答案】
0
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 分式有意义的条件
3. 二次根式化简计算
【点评】
本题重点考查代数式有意义的条件的应用，解题的关键是不要遗漏分母不为0的限制条件，准确求出参数$m$的取值后代入计算即可，是常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
要计算$\sqrt{mn}$的值，首先需要求出$m$、$n$的取值。观察$n$的表达式，其中包含二次根式和分式，需先根据代数式有意义的条件列不等式组：二次根式的被开方数必须是非负数，因此$m^2-4≥0$且$4-m^2≥0$；同时分式的分母不能为0，因此$m-2≠0$。先通过不等式组求出$m$的取值，再代入表达式求出$n$的值，最后代入$\sqrt{mn}$计算即可。
【解析】
解：根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0的条件，列不等式组：
$\begin{cases} m^2-4≥0 \\ 4-m^2≥0 \\ m-2≠0 \end{cases}$
由前两个不等式可得：$m^2-4=0$，即$m^2=4$，解得$m=2$或$m=-2$；
结合第三个不等式$m≠2$，因此$m=-2$。
将$m=-2$代入$n$的表达式：
$n=\frac{\sqrt{(-2)^2 -4}+\sqrt{4-(-2)^2}}{-2-2}=\frac{0+0}{-4}=0$
则$\sqrt{mn}=\sqrt{(-2)×0}=\sqrt{0}=0$
【答案】
0
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 分式有意义的条件
3. 二次根式化简计算
【点评】
本题重点考查代数式有意义的条件的应用，解题的关键是不要遗漏分母不为0的限制条件，准确求出参数$m$的取值后代入计算即可，是常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 已知$|2018-m|+\sqrt{m-2019}=m$，求$m-2018^2$的值.
答案
2. 解:$\because m-2019≥0,\therefore m≥2019.$
$\therefore 2018-m≤-1.$
原方程可化为$m-2018+\sqrt{m-2019}=m,$
即$\sqrt{m-2019}=2018.$
$\therefore m-2019=2018^2.\therefore m-2018^2=2019.$
$\therefore 2018-m≤-1.$
原方程可化为$m-2018+\sqrt{m-2019}=m,$
即$\sqrt{m-2019}=2018.$
$\therefore m-2019=2018^2.\therefore m-2018^2=2019.$
解析
【分析】
解题时首先要抓住二次根式的隐含条件：被开方数必须是非负数，由此先确定m的取值范围；再根据m的取值范围判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号化简原方程；最后对化简后的方程变形，即可直接求出目标代数式的值，无需单独计算m的具体数值。
【解析】
解：要使$\sqrt{m-2019}$有意义，则被开方数满足：
$m-2019≥0$，解得$m≥2019$
$\therefore 2018-m＜0$，根据绝对值的性质可得$|2018-m|=m-2018$
将其代入原方程得：
$m-2018+\sqrt{m-2019}=m$
移项消去等号两边的m，得：
$\sqrt{m-2019}=2018$
两边同时平方得：
$m-2019=2018^2$
移项即可得：
$m-2018^2=2019$
【答案】
$\boxed{2019}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的化简；等式的性质
【点评】
本题属于代数化简求值类的典型题型，解题的核心是先挖掘二次根式的隐含限制条件确定字母取值范围，再结合绝对值的性质化简方程，无需计算大数的平方即可快速求出结果，有效避免了复杂运算。
【难度系数】
0.7
解题时首先要抓住二次根式的隐含条件：被开方数必须是非负数，由此先确定m的取值范围；再根据m的取值范围判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号化简原方程；最后对化简后的方程变形，即可直接求出目标代数式的值，无需单独计算m的具体数值。
【解析】
解：要使$\sqrt{m-2019}$有意义，则被开方数满足：
$m-2019≥0$，解得$m≥2019$
$\therefore 2018-m＜0$，根据绝对值的性质可得$|2018-m|=m-2018$
将其代入原方程得：
$m-2018+\sqrt{m-2019}=m$
移项消去等号两边的m，得：
$\sqrt{m-2019}=2018$
两边同时平方得：
$m-2019=2018^2$
移项即可得：
$m-2018^2=2019$
【答案】
$\boxed{2019}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的化简；等式的性质
【点评】
本题属于代数化简求值类的典型题型，解题的核心是先挖掘二次根式的隐含限制条件确定字母取值范围，再结合绝对值的性质化简方程，无需计算大数的平方即可快速求出结果，有效避免了复杂运算。
【难度系数】
0.7
3. 当a是怎样的实数时，$\sqrt{2a+1}+1$的取值最小？求出这个最小值.
答案
3. 解:$\because 2a+1≥0,\therefore a≥-\dfrac{1}{2}.$
当$a=-\dfrac{1}{2}$时，$\sqrt{2a+1}+1$的取值最小，最小值为1.
当$a=-\dfrac{1}{2}$时，$\sqrt{2a+1}+1$的取值最小，最小值为1.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的性质：算术平方根具有非负性，即$\sqrt{x}≥0$（$x≥0$）。要求$\sqrt{2a+1}+1$的最小值，首先根据二次根式有意义的条件确定被开方数的取值范围，得到$a$的取值边界；再利用算术平方根的非负性，可知$\sqrt{2a+1}$的最小值为0，此时对应的$a$的值就是使原式取最小值的取值，代入原式即可算出最小值。
【解析】
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，可得：
$2a+1≥0$，
解得$a≥-\dfrac{1}{2}$。
由算术平方根的非负性可知$\sqrt{2a+1}≥0$，因此当$\sqrt{2a+1}=0$时，$\sqrt{2a+1}+1$的取值最小。
此时$2a+1=0$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$，
代入原式可得最小值为$0+1=1$。
【答案】
当$a=-\dfrac{1}{2}$时，$\sqrt{2a+1}+1$的取值最小，最小值为1。
【知识点】
1.二次根式的非负性
2.二次根式有意义的条件
3.代数式最值求解
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题，解题核心是抓住算术平方根的非负性确定根号部分的最小值，进而求出整个代数式的最值，掌握二次根式的基本性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次根式的性质：算术平方根具有非负性，即$\sqrt{x}≥0$（$x≥0$）。要求$\sqrt{2a+1}+1$的最小值，首先根据二次根式有意义的条件确定被开方数的取值范围，得到$a$的取值边界；再利用算术平方根的非负性，可知$\sqrt{2a+1}$的最小值为0，此时对应的$a$的值就是使原式取最小值的取值，代入原式即可算出最小值。
【解析】
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，可得：
$2a+1≥0$，
解得$a≥-\dfrac{1}{2}$。
由算术平方根的非负性可知$\sqrt{2a+1}≥0$，因此当$\sqrt{2a+1}=0$时，$\sqrt{2a+1}+1$的取值最小。
此时$2a+1=0$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$，
代入原式可得最小值为$0+1=1$。
【答案】
当$a=-\dfrac{1}{2}$时，$\sqrt{2a+1}+1$的取值最小，最小值为1。
【知识点】
1.二次根式的非负性
2.二次根式有意义的条件
3.代数式最值求解
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题，解题核心是抓住算术平方根的非负性确定根号部分的最小值，进而求出整个代数式的最值，掌握二次根式的基本性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
