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一、选择题
1. 对于所有实数 $a,b$，下列等式总能成立的是 （
A.$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b$
B.$\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$
C.$\sqrt{(a^2 + b^2)^2} = a^2 + b^2$
D.$\sqrt{(a + b)^2} = a + b$
1. 对于所有实数 $a,b$，下列等式总能成立的是 （
C
）A.$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b$
B.$\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$
C.$\sqrt{(a^2 + b^2)^2} = a^2 + b^2$
D.$\sqrt{(a + b)^2} = a + b$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查二次根式的性质，解题时可结合二次根式的化简规则、完全平方公式以及平方的非负性，逐个分析选项是否对所有实数a、b均成立，也可通过举反例快速排除错误选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：根据完全平方公式，$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}·\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$，只有当$ab=0$时结果才等于$a+b$，且$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$有意义的前提是$a≥0$、$b≥0$，不满足“对所有实数a,b成立”，故A错误。
选项B：举反例，当$a=1$，$b=1$时，左边$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，右边$1+1=2$，$\sqrt{2}≠2$，故B错误。
选项C：由于任意实数的平方都是非负数，因此$a^2+b^2≥0$，根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$\sqrt{(a^2+b^2)^2}=|a^2+b^2|=a^2+b^2$，对所有实数a,b均成立，故C正确。
选项D：根据二次根式的性质，$\sqrt{(a+b)^2}=|a+b|$，只有当$a+b≥0$时结果才等于$a+b$，举反例：当$a=-1$，$b=-1$时，左边$\sqrt{(-1-1)^2}=2$，右边$-1-1=-2$，二者不相等，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题侧重对基础性质的考查，解题的关键是牢记二次根式的化简结果具有非负性，遇到判断恒成立的题型时，举反例是快速排除错误选项的常用技巧。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的性质，解题时可结合二次根式的化简规则、完全平方公式以及平方的非负性，逐个分析选项是否对所有实数a、b均成立，也可通过举反例快速排除错误选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：根据完全平方公式，$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}·\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$，只有当$ab=0$时结果才等于$a+b$，且$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$有意义的前提是$a≥0$、$b≥0$，不满足“对所有实数a,b成立”，故A错误。
选项B：举反例，当$a=1$，$b=1$时，左边$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，右边$1+1=2$，$\sqrt{2}≠2$，故B错误。
选项C：由于任意实数的平方都是非负数，因此$a^2+b^2≥0$，根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$\sqrt{(a^2+b^2)^2}=|a^2+b^2|=a^2+b^2$，对所有实数a,b均成立，故C正确。
选项D：根据二次根式的性质，$\sqrt{(a+b)^2}=|a+b|$，只有当$a+b≥0$时结果才等于$a+b$，举反例：当$a=-1$，$b=-1$时，左边$\sqrt{(-1-1)^2}=2$，右边$-1-1=-2$，二者不相等，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题侧重对基础性质的考查，解题的关键是牢记二次根式的化简结果具有非负性，遇到判断恒成立的题型时，举反例是快速排除错误选项的常用技巧。
【难度系数】
0.8
2. [2023·河北]若$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{7}$，则$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}=$（
A.$2$
B.$4$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{2}$
A
）A.$2$
B.$4$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{2}$
答案
2. A
解析
【分析】
本题是二次根式的化简求值题，解题思路如下：首先观察所求代数式的结构，已知a、b都是算术平方根，取值均为正数，可先利用二次根式的性质对原式进行化简，再代入a、b的数值计算，既能简化计算步骤，也能减少计算失误。
【解析】
解：
∵$a=\sqrt{2}＞0$，$b=\sqrt{7}＞0$
∴根据二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}(x≥0,y＞0)$、$\sqrt{x^2}=x(x≥0)$，对原式化简可得：
$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}=\dfrac{\sqrt{14}·\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{\sqrt{14}a}{b}$
将$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{7}$代入上式：
$\dfrac{\sqrt{14}×\sqrt{2}}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{7}}×\sqrt{2}=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$
因此结果为2，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质、二次根式乘除运算、代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式的性质与运算规则，解题时先化简再代入可大幅降低计算难度，需要注意的是对$\sqrt{x^2}$化简时要先判断x的正负，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
本题是二次根式的化简求值题，解题思路如下：首先观察所求代数式的结构，已知a、b都是算术平方根，取值均为正数，可先利用二次根式的性质对原式进行化简，再代入a、b的数值计算，既能简化计算步骤，也能减少计算失误。
【解析】
解：
∵$a=\sqrt{2}＞0$，$b=\sqrt{7}＞0$
∴根据二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}(x≥0,y＞0)$、$\sqrt{x^2}=x(x≥0)$，对原式化简可得：
$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}=\dfrac{\sqrt{14}·\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{\sqrt{14}a}{b}$
将$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{7}$代入上式：
$\dfrac{\sqrt{14}×\sqrt{2}}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{7}}×\sqrt{2}=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$
因此结果为2，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质、二次根式乘除运算、代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式的性质与运算规则，解题时先化简再代入可大幅降低计算难度，需要注意的是对$\sqrt{x^2}$化简时要先判断x的正负，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
3. [2025·驻马店三模]下列运算正确的是
(
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=2$
C.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=3$
D.$(\sqrt{-2})^2=2$
(
B
)A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=2$
C.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=3$
D.$(\sqrt{-2})^2=2$
答案
3. B
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关运算与性质，解题时需逐个分析选项，结合二次根式的运算法则、同类二次根式的定义、二次根式有意义的条件来判断正误：①只有同类二次根式才能合并，以此判断A、C选项；②根据二次根式的除法法则判断B选项；③根据二次根式的被开方数必须为非负数判断D选项，最终选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接相加合并，$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，故A错误；
B选项：根据二次根式的除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷ b}(a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=\sqrt{8÷2}=\sqrt{4}=2$，故B正确；
C选项：合并同类二次根式，$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}≠3$，故C错误；
D选项：二次根式的被开方数必须是非负数，$-2＜0$，$\sqrt{-2}$无意义，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算、同类二次根式、二次根式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式运算法则和基本性质的掌握，解题时要注意区分可合并的同类二次根式，同时不要忽略二次根式被开方数的取值限制。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的相关运算与性质，解题时需逐个分析选项，结合二次根式的运算法则、同类二次根式的定义、二次根式有意义的条件来判断正误：①只有同类二次根式才能合并，以此判断A、C选项；②根据二次根式的除法法则判断B选项；③根据二次根式的被开方数必须为非负数判断D选项，最终选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接相加合并，$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，故A错误；
B选项：根据二次根式的除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷ b}(a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=\sqrt{8÷2}=\sqrt{4}=2$，故B正确；
C选项：合并同类二次根式，$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}≠3$，故C错误；
D选项：二次根式的被开方数必须是非负数，$-2＜0$，$\sqrt{-2}$无意义，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算、同类二次根式、二次根式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式运算法则和基本性质的掌握，解题时要注意区分可合并的同类二次根式，同时不要忽略二次根式被开方数的取值限制。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. [2024·郑州外国语学校中招学情诊断]写出一个比$\sqrt{7}$大的整数：
1. [2024·郑州外国语学校中招学情诊断]写出一个比$\sqrt{7}$大的整数：
3(答案不唯一,大于或等于3的整数即可)
.答案
1. 3(答案不唯一,大于或等于3的整数即可)
解析
【分析】
要找出比$\sqrt{7}$大的整数，首先需要估算$\sqrt{7}$的取值范围。我们可以通过对比7和相邻完全平方数的大小确定$\sqrt{7}$的范围：2的平方是4，3的平方是9，7介于4和9之间，根据算术平方根的性质，被开方数越大，对应的算术平方根越大，就能推出$\sqrt{7}$介于2和3之间，因此大于等于3的整数都符合要求。
【解析】
解：
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$，
∴ $\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，
因此所有大于或等于3的整数都比$\sqrt{7}$大，例如3。
【答案】
3(答案不唯一,大于或等于3的整数即可)
【知识点】
1. 无理数大小估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础开放类填空题，考查无理数估算的基本方法，解题核心是借助完全平方数确定无理数的取值范围，只要填写的整数符合要求即可得分。
【难度系数】
0.9
要找出比$\sqrt{7}$大的整数，首先需要估算$\sqrt{7}$的取值范围。我们可以通过对比7和相邻完全平方数的大小确定$\sqrt{7}$的范围：2的平方是4，3的平方是9，7介于4和9之间，根据算术平方根的性质，被开方数越大，对应的算术平方根越大，就能推出$\sqrt{7}$介于2和3之间，因此大于等于3的整数都符合要求。
【解析】
解：
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$，
∴ $\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，
因此所有大于或等于3的整数都比$\sqrt{7}$大，例如3。
【答案】
3(答案不唯一,大于或等于3的整数即可)
【知识点】
1. 无理数大小估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础开放类填空题，考查无理数估算的基本方法，解题核心是借助完全平方数确定无理数的取值范围，只要填写的整数符合要求即可得分。
【难度系数】
0.9
2. 如图,数轴上点A表示的数为a,化简:$a+\sqrt{a^2-12a+36}=$
6
.答案
2. 6
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先观察数轴，确定a的取值范围为0＜a＜6；第二步观察根号内的多项式，发现可以用完全平方公式变形为(a-6)²；第三步根据二次根式的性质√x²=|x|，将原式转化为a+|a-6|；第四步根据a＜6判断a-6的正负，去绝对值后合并同类项即可得到结果。
【解析】
由数轴可得：$0 ＜ a ＜ 6$，因此$a - 6 ＜ 0$。
先化简根号内的式子：
$a^2 - 12a + 36 = (a - 6)^2$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2} = |x|$，可得：
$\sqrt{a^2 - 12a + 36} = \sqrt{(a - 6)^2} = |a - 6|$
因为$a - 6 ＜ 0$，所以$|a - 6| = 6 - a$，代入原式计算：
$a + \sqrt{a^2 - 12a + 36} = a + (6 - a) = 6$
【答案】
6
【知识点】
完全平方公式，二次根式化简，绝对值性质
【点评】
本题是基础综合题，解题的核心是先通过数轴确定未知数的取值范围，再结合二次根式和绝对值的性质化简计算，熟练掌握相关基础性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步先观察数轴，确定a的取值范围为0＜a＜6；第二步观察根号内的多项式，发现可以用完全平方公式变形为(a-6)²；第三步根据二次根式的性质√x²=|x|，将原式转化为a+|a-6|；第四步根据a＜6判断a-6的正负，去绝对值后合并同类项即可得到结果。
【解析】
由数轴可得：$0 ＜ a ＜ 6$，因此$a - 6 ＜ 0$。
先化简根号内的式子：
$a^2 - 12a + 36 = (a - 6)^2$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2} = |x|$，可得：
$\sqrt{a^2 - 12a + 36} = \sqrt{(a - 6)^2} = |a - 6|$
因为$a - 6 ＜ 0$，所以$|a - 6| = 6 - a$，代入原式计算：
$a + \sqrt{a^2 - 12a + 36} = a + (6 - a) = 6$
【答案】
6
【知识点】
完全平方公式，二次根式化简，绝对值性质
【点评】
本题是基础综合题，解题的核心是先通过数轴确定未知数的取值范围，再结合二次根式和绝对值的性质化简计算，熟练掌握相关基础性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 计算：$\sqrt{2} × ( \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} ) = \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }.$
答案
3. 3
解析
【分析】
本题属于二次根式的混合运算题，有两种常用解题思路：①优先使用乘法分配律展开计算，这种方法更简便，可避免通分步骤，只需把$\sqrt{2}$分别与括号内的两个项相乘，再把所得结果相加即可；②先计算括号内的加法，将括号内的二次根式通分化简后，再和括号外的$\sqrt{2}$相乘。两种方法均符合二次根式运算要求，优先选择分配律可提高计算效率。
【解析】
方法一（利用乘法分配律计算）：
根据乘法分配律$a(b+c)=ab+ac$，展开原式得：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{2}×\sqrt{2} + \sqrt{2}×\frac{1}{\sqrt{2}}\\&=2 + 1\\&=3\end{aligned}$
方法二（先算括号内再算乘法）：
先将括号内的项通分化简：
$\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$
再计算乘法：
$原式=\sqrt{2}×\frac{3}{\sqrt{2}}=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 二次根式乘法运算
2. 乘法分配律
3. 二次根式化简
【点评】
本题是二次根式混合运算的基础题型，核心考查运算律在二次根式计算中的灵活运用，只要熟练掌握二次根式的运算法则，计算时细心即可得分，是二次根式运算的常考基础题。
【难度系数】
0.9
本题属于二次根式的混合运算题，有两种常用解题思路：①优先使用乘法分配律展开计算，这种方法更简便，可避免通分步骤，只需把$\sqrt{2}$分别与括号内的两个项相乘，再把所得结果相加即可；②先计算括号内的加法，将括号内的二次根式通分化简后，再和括号外的$\sqrt{2}$相乘。两种方法均符合二次根式运算要求，优先选择分配律可提高计算效率。
【解析】
方法一（利用乘法分配律计算）：
根据乘法分配律$a(b+c)=ab+ac$，展开原式得：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{2}×\sqrt{2} + \sqrt{2}×\frac{1}{\sqrt{2}}\\&=2 + 1\\&=3\end{aligned}$
方法二（先算括号内再算乘法）：
先将括号内的项通分化简：
$\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$
再计算乘法：
$原式=\sqrt{2}×\frac{3}{\sqrt{2}}=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 二次根式乘法运算
2. 乘法分配律
3. 二次根式化简
【点评】
本题是二次根式混合运算的基础题型，核心考查运算律在二次根式计算中的灵活运用，只要熟练掌握二次根式的运算法则，计算时细心即可得分，是二次根式运算的常考基础题。
【难度系数】
0.9
4. 计算:(1)$\frac{1}{3\sqrt{2}}=$
$\frac{\sqrt{2}}{6}$
;(2)$\frac{1}{\sqrt{12}}=$$\frac{\sqrt{3}}{6}$
;(3)$\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=$$\frac{\sqrt{2}}{2}$
.答案
4. (1)$\frac{\sqrt{2}}{6}$ (2)$\frac{\sqrt{3}}{6}$ (3)$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
这三道题均考查二次根式的化简，核心解题思路是通过分母有理化将分母中的根号去掉，最终结果要化为最简二次根式（分母不含根号，被开方数不含能开得尽方的因数）。解题步骤可根据题目特点选择：①若分母是单个含根号的式子，直接给分子分母同乘分母中的二次根式，利用$\sqrt{a}·\sqrt{a}=a$（$a≥0$）消去分母的根号；②也可先对二次根式进行化简，再约分或有理化，简化计算过程。
【解析】
(1) 对$\frac{1}{3\sqrt{2}}$进行分母有理化，分子、分母同时乘$\sqrt{2}$：
$\frac{1}{3\sqrt{2}}=\frac{1×\sqrt{2}}{3\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3×2}=\frac{\sqrt{2}}{6}$
(2) 先化简分母$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，再进行分母有理化，分子、分母同时乘$\sqrt{3}$：
$\frac{1}{\sqrt{12}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{1×\sqrt{3}}{2\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2×3}=\frac{\sqrt{3}}{6}$
(3) 先拆分分子的被开方数约分计算：
$\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2×5}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
也可通过分母有理化计算，结果一致。
【答案】
(1)$\frac{\sqrt{2}}{6}$；(2)$\frac{\sqrt{3}}{6}$；(3)$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
分母有理化、二次根式化简、二次根式乘除运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和分母有理化的方法，注意最终运算结果要化为最简二次根式，避免出现分母含根号或者被开方数含可开方因数的错误。
【难度系数】
0.8
这三道题均考查二次根式的化简，核心解题思路是通过分母有理化将分母中的根号去掉，最终结果要化为最简二次根式（分母不含根号，被开方数不含能开得尽方的因数）。解题步骤可根据题目特点选择：①若分母是单个含根号的式子，直接给分子分母同乘分母中的二次根式，利用$\sqrt{a}·\sqrt{a}=a$（$a≥0$）消去分母的根号；②也可先对二次根式进行化简，再约分或有理化，简化计算过程。
【解析】
(1) 对$\frac{1}{3\sqrt{2}}$进行分母有理化，分子、分母同时乘$\sqrt{2}$：
$\frac{1}{3\sqrt{2}}=\frac{1×\sqrt{2}}{3\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3×2}=\frac{\sqrt{2}}{6}$
(2) 先化简分母$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，再进行分母有理化，分子、分母同时乘$\sqrt{3}$：
$\frac{1}{\sqrt{12}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{1×\sqrt{3}}{2\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2×3}=\frac{\sqrt{3}}{6}$
(3) 先拆分分子的被开方数约分计算：
$\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2×5}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
也可通过分母有理化计算，结果一致。
【答案】
(1)$\frac{\sqrt{2}}{6}$；(2)$\frac{\sqrt{3}}{6}$；(3)$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
分母有理化、二次根式化简、二次根式乘除运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和分母有理化的方法，注意最终运算结果要化为最简二次根式，避免出现分母含根号或者被开方数含可开方因数的错误。
【难度系数】
0.8
(1)$\sqrt{9}=$
3
;(2)若$x+1=2\,018^{2}+2\,019^{2}$,则$\sqrt{2x+1}=$4 037
.答案
5. (1)3 (2)4 037
解析
【分析】
第(1)题直接依据算术平方根的定义求解即可，算术平方根是指一个非负数的正的平方根，因此只需找到平方等于9的非负数即可。第(2)题先根据已知条件将x用含2018、2019的式子表示，再代入$\sqrt{2x+1}$的被开方数中，把2019转化为$2018+1$，利用完全平方公式展开整理，凑成完全平方的形式，最后根据算术平方根的性质开方得到结果。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义，因为$3^2=9$，且算术平方根为非负数，所以$\sqrt{9}=3$。
(2) 已知$x+1=2018^2+2019^2$，移项得$x=2018^2+2019^2 - 1$。
将$x$代入$2x+1$：
$\begin{aligned}2x+1&=2×(2018^2+2019^2 -1)+1\\&=2×2018^2 + 2×2019^2 -1\end{aligned}$
因为$2019=2018+1$，所以$2019^2=(2018+1)^2=2018^2 + 2×2018 +1$，代入上式：
$\begin{aligned}2x+1&=2×2018^2 + 2×(2018^2 + 2×2018 +1) -1\\&=2×2018^2 + 2×2018^2 +4×2018 +2 -1\\&=4×2018^2 +4×2018 +1\\&=(2×2018 +1)^2\\&=4037^2\end{aligned}$
因此$\sqrt{2x+1}=\sqrt{4037^2}=4037$（算术平方根取非负值）。
【答案】
(1)3；(2)4037
【知识点】
算术平方根的定义；完全平方公式
【点评】
本题基础题和中档题结合，第一问直接考查算术平方根的基础概念，第二问需要通过代数变形凑出完全平方式再开方，能很好地检验学生对完全平方公式的灵活运用能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
第(1)题直接依据算术平方根的定义求解即可，算术平方根是指一个非负数的正的平方根，因此只需找到平方等于9的非负数即可。第(2)题先根据已知条件将x用含2018、2019的式子表示，再代入$\sqrt{2x+1}$的被开方数中，把2019转化为$2018+1$，利用完全平方公式展开整理，凑成完全平方的形式，最后根据算术平方根的性质开方得到结果。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义，因为$3^2=9$，且算术平方根为非负数，所以$\sqrt{9}=3$。
(2) 已知$x+1=2018^2+2019^2$，移项得$x=2018^2+2019^2 - 1$。
将$x$代入$2x+1$：
$\begin{aligned}2x+1&=2×(2018^2+2019^2 -1)+1\\&=2×2018^2 + 2×2019^2 -1\end{aligned}$
因为$2019=2018+1$，所以$2019^2=(2018+1)^2=2018^2 + 2×2018 +1$，代入上式：
$\begin{aligned}2x+1&=2×2018^2 + 2×(2018^2 + 2×2018 +1) -1\\&=2×2018^2 + 2×2018^2 +4×2018 +2 -1\\&=4×2018^2 +4×2018 +1\\&=(2×2018 +1)^2\\&=4037^2\end{aligned}$
因此$\sqrt{2x+1}=\sqrt{4037^2}=4037$（算术平方根取非负值）。
【答案】
(1)3；(2)4037
【知识点】
算术平方根的定义；完全平方公式
【点评】
本题基础题和中档题结合，第一问直接考查算术平方根的基础概念，第二问需要通过代数变形凑出完全平方式再开方，能很好地检验学生对完全平方公式的灵活运用能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
三、计算题
1. $\sqrt{16} - \sqrt{4} + \sqrt{20}$.
2. $(\sqrt{5} + \sqrt{6}) × \sqrt{12}$.
1. $\sqrt{16} - \sqrt{4} + \sqrt{20}$.
2. $(\sqrt{5} + \sqrt{6}) × \sqrt{12}$.
答案
1. $2+2\sqrt{5}$ 2. $2\sqrt{15}+6\sqrt{2}$
解析
【分析】
这两道题均属于二次根式的基础运算题，解题思路如下：①第1题先根据二次根式的性质将每个根式化简为最简二次根式，再合并同类项即可；②第2题先利用乘法分配律将括号展开，再按照二次根式的乘法法则计算，最后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
1. 先分别化简各二次根式：$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$
代入原式计算：
$\begin{split}\mathrm{原式}&=4-2+2\sqrt{5}\\&=2+2\sqrt{5}\end{split}$
2. 利用乘法分配律展开后计算二次根式乘法，再化简：
$\begin{split}\mathrm{原式}&=\sqrt{5}×\sqrt{12}+\sqrt{6}×\sqrt{12}\\&=\sqrt{5×12}+\sqrt{6×12}\\&=\sqrt{60}+\sqrt{72}\\&=2\sqrt{15}+6\sqrt{2}\end{split}$
【答案】
1. $2+2\sqrt{5}$ 2. $2\sqrt{15}+6\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简，二次根式运算，乘法分配律
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，核心考查最简二次根式的化简方法和二次根式的运算规则，熟练掌握相关性质和运算律即可快速正确求解。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于二次根式的基础运算题，解题思路如下：①第1题先根据二次根式的性质将每个根式化简为最简二次根式，再合并同类项即可；②第2题先利用乘法分配律将括号展开，再按照二次根式的乘法法则计算，最后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
1. 先分别化简各二次根式：$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$
代入原式计算：
$\begin{split}\mathrm{原式}&=4-2+2\sqrt{5}\\&=2+2\sqrt{5}\end{split}$
2. 利用乘法分配律展开后计算二次根式乘法，再化简：
$\begin{split}\mathrm{原式}&=\sqrt{5}×\sqrt{12}+\sqrt{6}×\sqrt{12}\\&=\sqrt{5×12}+\sqrt{6×12}\\&=\sqrt{60}+\sqrt{72}\\&=2\sqrt{15}+6\sqrt{2}\end{split}$
【答案】
1. $2+2\sqrt{5}$ 2. $2\sqrt{15}+6\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简，二次根式运算，乘法分配律
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，核心考查最简二次根式的化简方法和二次根式的运算规则，熟练掌握相关性质和运算律即可快速正确求解。
【难度系数】
0.8
