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四、解答题
1. 某工厂要制作一批体积为$1\ \mathrm{m}^3$的产品包装盒，其高为$0.2\ \mathrm{m}$，按设计需要，底面应做成正方形，底面边长应是多少？
1. 某工厂要制作一批体积为$1\ \mathrm{m}^3$的产品包装盒，其高为$0.2\ \mathrm{m}$，按设计需要，底面应做成正方形，底面边长应是多少？
答案
1. $\sqrt{5}\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
解题首先回忆长方体体积计算公式：长方体体积=底面积×高。首先结合已知的体积和高，先求出包装盒的底面积；又已知底面是正方形，正方形面积=边长²，因此要求底面边长，只需要求底面积的正的平方根即可，因为边长为正数，所以直接取算术平方根即可。
【解析】
解：设底面边长为$ x \ \mathrm{m} $。
根据长方体体积公式，结合底面为正方形的条件，底面积为$ x^2 \ \mathrm{m}^2 $，可列方程：
$0.2x^2 = 1$
解方程得：
$x^2 = 1÷0.2 = 5$
由于边长是正数，不符合实际意义的负根舍去，因此$x=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}\ \mathrm{m}$
【知识点】
长方体体积计算，正方形面积公式，算术平方根的应用
【点评】
本题是结合实际场景的基础计算题，解题核心是利用体积公式建立方程，同时要注意实际问题中未知数的取值范围，需舍去不符合实际的负根。
【难度系数】
0.8
解题首先回忆长方体体积计算公式：长方体体积=底面积×高。首先结合已知的体积和高，先求出包装盒的底面积；又已知底面是正方形，正方形面积=边长²，因此要求底面边长，只需要求底面积的正的平方根即可，因为边长为正数，所以直接取算术平方根即可。
【解析】
解：设底面边长为$ x \ \mathrm{m} $。
根据长方体体积公式，结合底面为正方形的条件，底面积为$ x^2 \ \mathrm{m}^2 $，可列方程：
$0.2x^2 = 1$
解方程得：
$x^2 = 1÷0.2 = 5$
由于边长是正数，不符合实际意义的负根舍去，因此$x=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}\ \mathrm{m}$
【知识点】
长方体体积计算，正方形面积公式，算术平方根的应用
【点评】
本题是结合实际场景的基础计算题，解题核心是利用体积公式建立方程，同时要注意实际问题中未知数的取值范围，需舍去不符合实际的负根。
【难度系数】
0.8
2. 阅读材料：
小明在学习二次根式的化简后，遇到了这样一个需要化简的式子：$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$.该如何化简呢？思考后，他发现 $3+2\sqrt{2}=1+2\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=(1+\sqrt{2})^2$.于是 $\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{(1+\sqrt{2})^2}=1+\sqrt{2}$.善于思考的小明继续深入探索，当 $a+b\sqrt{2}=(m+n\sqrt{2})^2$ 时（其中 $a,b,m,n$ 均为正整数），则 $a+b\sqrt{2}=m^2+2\sqrt{2}mn+2n^2$.此时 $a=m^2+2n^2, b=2mn$.于是 $\sqrt{a+b\sqrt{2}}=m+n\sqrt{2}$.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)设 $a,b,m,n$ 均为正整数，且 $\sqrt{a+b\sqrt{3}}=m+n\sqrt{3}$，用含 $m,n$ 的式子分别表示 $a,b$，结果是 $a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_$.
(2)利用(1)中的结论，选择一组正整数填空：$\sqrt{(\quad)+(\quad)\sqrt{3}}=\_\_\_\_\_\_+\_\_\_\_\_\_\sqrt{3}$.
(3)化简：$\sqrt{6+2\sqrt{5}}$.
小明在学习二次根式的化简后，遇到了这样一个需要化简的式子：$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$.该如何化简呢？思考后，他发现 $3+2\sqrt{2}=1+2\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=(1+\sqrt{2})^2$.于是 $\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{(1+\sqrt{2})^2}=1+\sqrt{2}$.善于思考的小明继续深入探索，当 $a+b\sqrt{2}=(m+n\sqrt{2})^2$ 时（其中 $a,b,m,n$ 均为正整数），则 $a+b\sqrt{2}=m^2+2\sqrt{2}mn+2n^2$.此时 $a=m^2+2n^2, b=2mn$.于是 $\sqrt{a+b\sqrt{2}}=m+n\sqrt{2}$.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)设 $a,b,m,n$ 均为正整数，且 $\sqrt{a+b\sqrt{3}}=m+n\sqrt{3}$，用含 $m,n$ 的式子分别表示 $a,b$，结果是 $a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_$.
(2)利用(1)中的结论，选择一组正整数填空：$\sqrt{(\quad)+(\quad)\sqrt{3}}=\_\_\_\_\_\_+\_\_\_\_\_\_\sqrt{3}$.
(3)化简：$\sqrt{6+2\sqrt{5}}$.
答案
2. (1)$m^2+3n^2$ $2mn$
(2)7 4 2 1(答案不唯一)
(3)解:$\sqrt{6+2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}+1)^2} =\sqrt{5}+1.$
(2)7 4 2 1(答案不唯一)
(3)解:$\sqrt{6+2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}+1)^2} =\sqrt{5}+1.$
解析
【分析】
本题是二次根式化简的阅读探究题，解题思路如下：
(1) 要推导a、b的表达式，只需将等式$\sqrt{a+b\sqrt{3}}=m+n\sqrt{3}$两边同时平方，展开右侧的完全平方，再将等式两边的有理部分、无理部分的系数分别对应相等，即可得到结果；
(2) 任选一组正整数m、n，代入第(1)问得到的a、b公式计算，就能写出符合要求的式子，答案不唯一；
(3) 参考材料给出的方法，把被开方数$6+2\sqrt{5}$拆成两个数的平方和加这两个数乘积的2倍，凑成完全平方形式，再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=x(x≥0)$化简即可。
【解析】
(1) 已知$\sqrt{a+b\sqrt{3}}=m+n\sqrt{3}$，两边同时平方得：
$a + b\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^2$
展开右侧：$(m + n\sqrt{3})^2 = m^2 + 2mn\sqrt{3} + (n\sqrt{3})^2 = m^2 + 3n^2 + 2mn\sqrt{3}$
因为a、b、m、n均为正整数，等式两边有理部分和无理部分系数分别对应相等，因此$a=m^2+3n^2$，$b=2mn$。
(2) 取$m=2,n=1$，代入上述公式计算：
$a=2^2+3×1^2=7$，$b=2×2×1=4$
因此可得$\sqrt{7+4\sqrt{3}}=2+1\sqrt{3}$（答案不唯一，取其他正整数m、n均符合要求）。
(3) 先将被开方数凑成完全平方形式：
$6+2\sqrt{5}=1+2\sqrt{5}+5=1^2 + 2×1×\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2=(1+\sqrt{5})^2$
因为$1+\sqrt{5}＞0$，所以$\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{(1+\sqrt{5})^2}=1+\sqrt{5}=\sqrt{5}+1$。
【答案】
(1) $m^2+3n^2$；$2mn$
(2) 7；4；2；1（答案不唯一）
(3) $\sqrt{5}+1$
【知识点】
二次根式的化简；完全平方公式；二次根式的性质
【点评】
本题属于阅读探究类题型，需要先读懂材料给出的复合二次根式化简方法，通过类比迁移解决新的问题，核心是灵活运用完全平方公式将被开方数配方，再结合二次根式的性质化简，侧重考查知识迁移能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式化简的阅读探究题，解题思路如下：
(1) 要推导a、b的表达式，只需将等式$\sqrt{a+b\sqrt{3}}=m+n\sqrt{3}$两边同时平方，展开右侧的完全平方，再将等式两边的有理部分、无理部分的系数分别对应相等，即可得到结果；
(2) 任选一组正整数m、n，代入第(1)问得到的a、b公式计算，就能写出符合要求的式子，答案不唯一；
(3) 参考材料给出的方法，把被开方数$6+2\sqrt{5}$拆成两个数的平方和加这两个数乘积的2倍，凑成完全平方形式，再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=x(x≥0)$化简即可。
【解析】
(1) 已知$\sqrt{a+b\sqrt{3}}=m+n\sqrt{3}$，两边同时平方得：
$a + b\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^2$
展开右侧：$(m + n\sqrt{3})^2 = m^2 + 2mn\sqrt{3} + (n\sqrt{3})^2 = m^2 + 3n^2 + 2mn\sqrt{3}$
因为a、b、m、n均为正整数，等式两边有理部分和无理部分系数分别对应相等，因此$a=m^2+3n^2$，$b=2mn$。
(2) 取$m=2,n=1$，代入上述公式计算：
$a=2^2+3×1^2=7$，$b=2×2×1=4$
因此可得$\sqrt{7+4\sqrt{3}}=2+1\sqrt{3}$（答案不唯一，取其他正整数m、n均符合要求）。
(3) 先将被开方数凑成完全平方形式：
$6+2\sqrt{5}=1+2\sqrt{5}+5=1^2 + 2×1×\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2=(1+\sqrt{5})^2$
因为$1+\sqrt{5}＞0$，所以$\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{(1+\sqrt{5})^2}=1+\sqrt{5}=\sqrt{5}+1$。
【答案】
(1) $m^2+3n^2$；$2mn$
(2) 7；4；2；1（答案不唯一）
(3) $\sqrt{5}+1$
【知识点】
二次根式的化简；完全平方公式；二次根式的性质
【点评】
本题属于阅读探究类题型，需要先读懂材料给出的复合二次根式化简方法，通过类比迁移解决新的问题，核心是灵活运用完全平方公式将被开方数配方，再结合二次根式的性质化简，侧重考查知识迁移能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.7
五、趣味题
你能在下图中找出不符合排列规律的图形吗？
A
B
D
E
你能在下图中找出不符合排列规律的图形吗？
A
B
D
E
答案
C （排列规律是小圆圈的数量等于多边形的边数）
解析
【分析】
本题是图形规律探究题，首先观察所有图形的共同结构：每个圆内都包含若干小圆圈和1个多边形，因此考虑两类元素的数量对应关系。解题时第一步先逐个统计每个选项中小圆圈的数量，再统计对应内部多边形的边数，寻找二者的等量规律；第二步将所有选项代入规律验证，找到不符合规律的图形即可。
【解析】
我们分别统计每个选项中小圆圈的个数和内部多边形的边数，验证“小圆圈数量=多边形边数”的规律：
1. 选项A：小圆圈共3个，内部是三角形，边数为3，3=3，符合规律；
2. 选项B：小圆圈共5个，内部多边形边数为5，5=5，符合规律；
3. 选项C：小圆圈共5个，内部是四边形，边数为4，5≠4，不符合规律；
4. 选项D：小圆圈共5个，内部多边形边数为5，5=5，符合规律；
5. 选项E：小圆圈共4个，内部是四边形，边数为4，4=4，符合规律。
综上，不符合排列规律的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究、多边形边数识别
【点评】
本题属于趣味图形题，解题核心是准确观察图形元素，找到不同元素之间的数量对应关系，需要细心计数、归纳共性，能够有效锻炼观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
本题是图形规律探究题，首先观察所有图形的共同结构：每个圆内都包含若干小圆圈和1个多边形，因此考虑两类元素的数量对应关系。解题时第一步先逐个统计每个选项中小圆圈的数量，再统计对应内部多边形的边数，寻找二者的等量规律；第二步将所有选项代入规律验证，找到不符合规律的图形即可。
【解析】
我们分别统计每个选项中小圆圈的个数和内部多边形的边数，验证“小圆圈数量=多边形边数”的规律：
1. 选项A：小圆圈共3个，内部是三角形，边数为3，3=3，符合规律；
2. 选项B：小圆圈共5个，内部多边形边数为5，5=5，符合规律；
3. 选项C：小圆圈共5个，内部是四边形，边数为4，5≠4，不符合规律；
4. 选项D：小圆圈共5个，内部多边形边数为5，5=5，符合规律；
5. 选项E：小圆圈共4个，内部是四边形，边数为4，4=4，符合规律。
综上，不符合排列规律的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究、多边形边数识别
【点评】
本题属于趣味图形题，解题核心是准确观察图形元素，找到不同元素之间的数量对应关系，需要细心计数、归纳共性，能够有效锻炼观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
