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一、选择题
1. 下列计算正确的是 （
A.$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2$
B.$3+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{5}$
D.$\sqrt{9}+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}$
1. 下列计算正确的是 （
D
）A.$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2$
B.$3+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{5}$
D.$\sqrt{9}+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}$
答案
1. D
解析
【分析】
这道题考查二次根式的加减运算规则，解题时首先要明确：只有被开方数相同的最简二次根式（即同类二次根式）才能合并，合并时仅将系数相加减，被开方数保持不变，非同类二次根式不能合并；同时遇到能化简的二次根式要先化简再计算。我们只需逐个分析每个选项的运算是否符合规则即可。
【解析】
我们逐一判断各选项：
A选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{2}$是同类二次根式，合并得$\sqrt{2}+\sqrt{2}=(1+1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}≠2$，故A错误；
B选项：3是有理数，$\sqrt{2}$是最简二次根式，二者不是同类二次根式，不能合并，$3+\sqrt{2}≠3\sqrt{2}$，故B错误；
C选项：$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$的被开方数不同，不是同类二次根式，不能直接合并，也不能将被开方数相加，$\sqrt{3}+\sqrt{2}≠\sqrt{5}$，故C错误；
D选项：先化简$\sqrt{9}=3$，因此$\sqrt{9}+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}$，运算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减；同类二次根式；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心是掌握同类二次根式才能合并的规则，运算前注意先将二次根式化为最简形式，避免出现随意合并非同类二次根式、直接相加被开方数的常见错误。
【难度系数】
0.9
这道题考查二次根式的加减运算规则，解题时首先要明确：只有被开方数相同的最简二次根式（即同类二次根式）才能合并，合并时仅将系数相加减，被开方数保持不变，非同类二次根式不能合并；同时遇到能化简的二次根式要先化简再计算。我们只需逐个分析每个选项的运算是否符合规则即可。
【解析】
我们逐一判断各选项：
A选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{2}$是同类二次根式，合并得$\sqrt{2}+\sqrt{2}=(1+1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}≠2$，故A错误；
B选项：3是有理数，$\sqrt{2}$是最简二次根式，二者不是同类二次根式，不能合并，$3+\sqrt{2}≠3\sqrt{2}$，故B错误；
C选项：$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$的被开方数不同，不是同类二次根式，不能直接合并，也不能将被开方数相加，$\sqrt{3}+\sqrt{2}≠\sqrt{5}$，故C错误；
D选项：先化简$\sqrt{9}=3$，因此$\sqrt{9}+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}$，运算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减；同类二次根式；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心是掌握同类二次根式才能合并的规则，运算前注意先将二次根式化为最简形式，避免出现随意合并非同类二次根式、直接相加被开方数的常见错误。
【难度系数】
0.9
2. [2025·许昌模拟]$\sqrt{4}$的平方根是 (
A.$2$
B.$\sqrt{2}$
C.$\pm\sqrt{2}$
D.$\pm2$
C
)A.$2$
B.$\sqrt{2}$
C.$\pm\sqrt{2}$
D.$\pm2$
答案
2. C
解析
【分析】
这道题容易因概念混淆出错，解题需分两步思考：首先要明确$\sqrt{4}$表示的是4的算术平方根，需要先算出它的具体数值，不能直接把4当成所求的底数求平方根；再根据平方根的性质，求算出的数值的平方根，正数的平方根有两个且互为相反数，即可得到正确结果，避开直接求4的平方根错选D的误区。
【解析】
解：第一步先化简$\sqrt{4}$：$\sqrt{4}$是4的算术平方根，因此$\sqrt{4}=2$；
第二步求2的平方根：根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，所以2的平方根为$\pm\sqrt{2}$，即$\sqrt{4}$的平方根是$\pm\sqrt{2}$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的计算，平方根的定义
【点评】
本题是高频易错题，解题核心是先明确所求平方根的底数，要先化简$\sqrt{4}$再计算，很多同学容易忽略化简步骤，直接求4的平方根误选D，平时学习要注意区分平方根和算术平方根的概念差异。
【难度系数】
0.6
这道题容易因概念混淆出错，解题需分两步思考：首先要明确$\sqrt{4}$表示的是4的算术平方根，需要先算出它的具体数值，不能直接把4当成所求的底数求平方根；再根据平方根的性质，求算出的数值的平方根，正数的平方根有两个且互为相反数，即可得到正确结果，避开直接求4的平方根错选D的误区。
【解析】
解：第一步先化简$\sqrt{4}$：$\sqrt{4}$是4的算术平方根，因此$\sqrt{4}=2$；
第二步求2的平方根：根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，所以2的平方根为$\pm\sqrt{2}$，即$\sqrt{4}$的平方根是$\pm\sqrt{2}$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的计算，平方根的定义
【点评】
本题是高频易错题，解题核心是先明确所求平方根的底数，要先化简$\sqrt{4}$再计算，很多同学容易忽略化简步骤，直接求4的平方根误选D，平时学习要注意区分平方根和算术平方根的概念差异。
【难度系数】
0.6
3. 下列式子中,不是二次根式的是 (
A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{16}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\dfrac{1}{x}$
D
)A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{16}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\dfrac{1}{x}$
答案
3. D
解析
【分析】
解题的核心是牢记二次根式的定义，判断一个式子是否为二次根式，需要同时满足两个条件：①式子中含有二次根号“$\sqrt{}$”；②根号下的被开方数必须是非负数。我们可以对照这两个条件逐一分析每个选项，排除符合二次根式定义的选项，剩下的就是本题答案。
【解析】
首先明确二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，需同时满足含二次根号、被开方数非负两个要求。
选项A：$\sqrt{4}$含有二次根号，被开方数4＞0，满足二次根式的条件，是二次根式，不符合题意；
选项B：$\sqrt{16}$含有二次根号，被开方数16＞0，满足二次根式的条件，是二次根式，不符合题意；
选项C：$\sqrt{8}$含有二次根号，被开方数8＞0，满足二次根式的条件，是二次根式，不符合题意；
选项D：$\dfrac{1}{x}$不含二次根号，属于分式，不满足二次根式的定义，不是二次根式，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对二次根式定义的掌握，解题时只要紧扣二次根式的两个判定条件，就能快速区分出不符合要求的式子。
【难度系数】
0.9
解题的核心是牢记二次根式的定义，判断一个式子是否为二次根式，需要同时满足两个条件：①式子中含有二次根号“$\sqrt{}$”；②根号下的被开方数必须是非负数。我们可以对照这两个条件逐一分析每个选项，排除符合二次根式定义的选项，剩下的就是本题答案。
【解析】
首先明确二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，需同时满足含二次根号、被开方数非负两个要求。
选项A：$\sqrt{4}$含有二次根号，被开方数4＞0，满足二次根式的条件，是二次根式，不符合题意；
选项B：$\sqrt{16}$含有二次根号，被开方数16＞0，满足二次根式的条件，是二次根式，不符合题意；
选项C：$\sqrt{8}$含有二次根号，被开方数8＞0，满足二次根式的条件，是二次根式，不符合题意；
选项D：$\dfrac{1}{x}$不含二次根号，属于分式，不满足二次根式的定义，不是二次根式，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对二次根式定义的掌握，解题时只要紧扣二次根式的两个判定条件，就能快速区分出不符合要求的式子。
【难度系数】
0.9
4. 若$\sqrt{\dfrac{1}{4}a + 1}$有意义，则$a$能取的最小整数为（
A.$0$
B.$-4$
C.$4$
D.$-8$
B
）A.$0$
B.$-4$
C.$4$
D.$-8$
答案
4. B
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。我们先根据这个条件列出关于a的不等式，解出a的取值范围后，再在范围内找到最小的整数，即可得到正确选项。
【解析】
要使$\sqrt{\dfrac{1}{4}a + 1}$有意义，被开方数需满足非负的要求，列不等式如下：
$\dfrac{1}{4}a + 1 ≥ 0$
移项可得：$\dfrac{1}{4}a ≥ -1$
不等式两边同时乘4（正数，不等号方向不变），解得：$a ≥ -4$
因此a可取的最小整数为-4。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是牢记二次根式的被开方数为非负数，只要正确列出并求解不等式，就能快速得到答案，计算时注意不等式两边乘正数时不等号方向不改变。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。我们先根据这个条件列出关于a的不等式，解出a的取值范围后，再在范围内找到最小的整数，即可得到正确选项。
【解析】
要使$\sqrt{\dfrac{1}{4}a + 1}$有意义，被开方数需满足非负的要求，列不等式如下：
$\dfrac{1}{4}a + 1 ≥ 0$
移项可得：$\dfrac{1}{4}a ≥ -1$
不等式两边同时乘4（正数，不等号方向不变），解得：$a ≥ -4$
因此a可取的最小整数为-4。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是牢记二次根式的被开方数为非负数，只要正确列出并求解不等式，就能快速得到答案，计算时注意不等式两边乘正数时不等号方向不改变。
【难度系数】
0.8
5. $\sqrt{x+1} · \sqrt{x-1} = \sqrt{x^2 - 1}$成立的条件是 （
A.$x ≥ 1$
B.$x ≥ -1$
C.$-1 ≤ x ≤ 1$
D.$x ≥ 1$或$x ≤ -1$
A
）A.$x ≥ 1$
B.$x ≥ -1$
C.$-1 ≤ x ≤ 1$
D.$x ≥ 1$或$x ≤ -1$
答案
5. A
解析
【分析】
要确定等式成立的条件，首先回忆二次根式的相关性质：二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，且二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的要求是$a≥0$且$b≥0$。因此我们只需要让等式左边两个二次根式的被开方数都满足非负条件，解出对应的不等式组的解集，就是等式成立的条件。
【解析】
根据二次根式有意义的条件及乘法法则的适用要求，等式左边的两个二次根式需同时满足：
$\begin{cases}x+1≥0 \\x-1≥0\end{cases}$
解第一个不等式得：$x≥-1$
解第二个不等式得：$x≥1$
取两个解集的公共部分，得$x≥1$。
此时验证等式右侧：当$x≥1$时，$x^2-1≥0$，右侧二次根式有意义，等式成立。因此对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则；解一元一次不等式组
【点评】
本题易错点是仅考虑等式右侧被开方数非负，解得$x≥1$或$x≤-1$从而误选D，解题时要注意二次根式的乘法法则成立的前提是参与运算的每个二次根式都有意义，不能只看化简后的结果。
【难度系数】
0.7
要确定等式成立的条件，首先回忆二次根式的相关性质：二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，且二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的要求是$a≥0$且$b≥0$。因此我们只需要让等式左边两个二次根式的被开方数都满足非负条件，解出对应的不等式组的解集，就是等式成立的条件。
【解析】
根据二次根式有意义的条件及乘法法则的适用要求，等式左边的两个二次根式需同时满足：
$\begin{cases}x+1≥0 \\x-1≥0\end{cases}$
解第一个不等式得：$x≥-1$
解第二个不等式得：$x≥1$
取两个解集的公共部分，得$x≥1$。
此时验证等式右侧：当$x≥1$时，$x^2-1≥0$，右侧二次根式有意义，等式成立。因此对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则；解一元一次不等式组
【点评】
本题易错点是仅考虑等式右侧被开方数非负，解得$x≥1$或$x≤-1$从而误选D，解题时要注意二次根式的乘法法则成立的前提是参与运算的每个二次根式都有意义，不能只看化简后的结果。
【难度系数】
0.7
1. (1)$\sqrt{169×196}=$
(3)$\sqrt{0.01×0.49}=$
182
; (2)$\sqrt{4^2×3}=$4√3
;(3)$\sqrt{0.01×0.49}=$
0.07
; (4)$\sqrt{3^2×5^2}=$15
.答案
1. (1)182 (2)$4\sqrt{3}$ (3)0.07 (4)15
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法相关运算，解题核心是运用积的算术平方根的性质：对于非负数a、b，有$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$。解题时先将根号下的乘积拆分为各个因式的算术平方根的乘积，再分别计算每个因式的算术平方根，最后将所得结果相乘即可。
【解析】
(1) 根据积的算术平方根的性质可得：$\sqrt{169×196}=\sqrt{169}×\sqrt{196}$，其中$\sqrt{169}=13$，$\sqrt{196}=14$，因此原式$=13×14=182$；
(2) 拆分根号下的乘积可得：$\sqrt{4^2×3}=\sqrt{4^2}×\sqrt{3}$，其中$\sqrt{4^2}=4$，因此原式$=4\sqrt{3}$；
(3) 拆分运算得：$\sqrt{0.01×0.49}=\sqrt{0.01}×\sqrt{0.49}$，其中$\sqrt{0.01}=0.1$，$\sqrt{0.49}=0.7$，因此原式$=0.1×0.7=0.07$；
(4) 方法一：$\sqrt{3^2×5^2}=\sqrt{3^2}×\sqrt{5^2}=3×5=15$；方法二：先合并根号下的乘积得$\sqrt{3^2×5^2}=\sqrt{(3×5)^2}=\sqrt{15^2}=15$。
【答案】
(1)182；(2)$4\sqrt{3}$；(3)0.07；(4)15
【知识点】
1. 积的算术平方根的性质 2. 算术平方根的计算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心是对积的算术平方根性质的灵活运用，计算时注意准确求解各数的算术平方根，避免出现低级计算错误。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的乘法相关运算，解题核心是运用积的算术平方根的性质：对于非负数a、b，有$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$。解题时先将根号下的乘积拆分为各个因式的算术平方根的乘积，再分别计算每个因式的算术平方根，最后将所得结果相乘即可。
【解析】
(1) 根据积的算术平方根的性质可得：$\sqrt{169×196}=\sqrt{169}×\sqrt{196}$，其中$\sqrt{169}=13$，$\sqrt{196}=14$，因此原式$=13×14=182$；
(2) 拆分根号下的乘积可得：$\sqrt{4^2×3}=\sqrt{4^2}×\sqrt{3}$，其中$\sqrt{4^2}=4$，因此原式$=4\sqrt{3}$；
(3) 拆分运算得：$\sqrt{0.01×0.49}=\sqrt{0.01}×\sqrt{0.49}$，其中$\sqrt{0.01}=0.1$，$\sqrt{0.49}=0.7$，因此原式$=0.1×0.7=0.07$；
(4) 方法一：$\sqrt{3^2×5^2}=\sqrt{3^2}×\sqrt{5^2}=3×5=15$；方法二：先合并根号下的乘积得$\sqrt{3^2×5^2}=\sqrt{(3×5)^2}=\sqrt{15^2}=15$。
【答案】
(1)182；(2)$4\sqrt{3}$；(3)0.07；(4)15
【知识点】
1. 积的算术平方根的性质 2. 算术平方根的计算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心是对积的算术平方根性质的灵活运用，计算时注意准确求解各数的算术平方根，避免出现低级计算错误。
【难度系数】
0.9
