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13.如图，已知M是△ABC的边BC上一点，且BM=2CM，线段AM与△ABC的中线BN交于点O，连接MN。若△ABC的面积为12，则△CMN的面积是 （
A.2
B.4
C.3
D.1
A
）A.2
B.4
C.3
D.1
答案
13.A
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：BN是△ABC的中线，BM=2CM，△ABC面积为12。第一步根据中线的性质，中线将三角形分成面积相等的两部分，可求出△CBN的面积；第二步观察到△BMN和△CMN是同高三角形，它们的面积比等于底BM与CM的比，结合△CBN的面积是这两个三角形面积之和，即可求出△CMN的面积，注意图中的交点O是干扰条件，无需使用。
【解析】
解：
∵BN是△ABC的中线，
∴N是AC的中点，△ABN和△CBN等底同高，面积相等，
∴$ S_{△ CBN} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 12 = 6 $。
∵BM=2CM，即$ BM:CM=2:1 $，
△BMN和△CMN的高相同（均为点N到边BC的垂线段长度），
∴同高三角形的面积比等于底的比，即$ S_{△ BMN}:S_{△ CMN}=BM:CM=2:1 $。
设$ S_{△ CMN}=x $，则$ S_{△ BMN}=2x $，
由$ S_{△ CBN}=S_{△ BMN}+S_{△ CMN} $，可得：
$ 2x + x = 6 $，
解得$ x=2 $，即$ S_{△ CMN}=2 $。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的面积性质，同高三角形面积与底的比例关系
【点评】
本题是三角形面积与线段比例结合的基础题型，解题核心是抓住“同高三角形面积比等于对应底的比”这一规律，同时要注意识别题目中的干扰条件，避免多余思考。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确已知条件：BN是△ABC的中线，BM=2CM，△ABC面积为12。第一步根据中线的性质，中线将三角形分成面积相等的两部分，可求出△CBN的面积；第二步观察到△BMN和△CMN是同高三角形，它们的面积比等于底BM与CM的比，结合△CBN的面积是这两个三角形面积之和，即可求出△CMN的面积，注意图中的交点O是干扰条件，无需使用。
【解析】
解：
∵BN是△ABC的中线，
∴N是AC的中点，△ABN和△CBN等底同高，面积相等，
∴$ S_{△ CBN} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 12 = 6 $。
∵BM=2CM，即$ BM:CM=2:1 $，
△BMN和△CMN的高相同（均为点N到边BC的垂线段长度），
∴同高三角形的面积比等于底的比，即$ S_{△ BMN}:S_{△ CMN}=BM:CM=2:1 $。
设$ S_{△ CMN}=x $，则$ S_{△ BMN}=2x $，
由$ S_{△ CBN}=S_{△ BMN}+S_{△ CMN} $，可得：
$ 2x + x = 6 $，
解得$ x=2 $，即$ S_{△ CMN}=2 $。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的面积性质，同高三角形面积与底的比例关系
【点评】
本题是三角形面积与线段比例结合的基础题型，解题核心是抓住“同高三角形面积比等于对应底的比”这一规律，同时要注意识别题目中的干扰条件，避免多余思考。
【难度系数】
0.7
14.如图,在$△ ABC$中,AD为中线,DE和DF分别为$△ ADB$和$△ ADC$的高。若$AB=6$,$AC=8$,$DF=3$,则DE的长度为
4
。答案
14.4
解析
【分析】
解题首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线会将原三角形分成两个面积相等的小三角形，因为这两个小三角形底相等、高相同。接下来两个小三角形的面积还可以分别以AB、AC为底，对应高为DE、DF来计算，利用两个小三角形面积相等的关系，就能列出关于DE的等式，进而求解出DE的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，因此面积相等，即$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$。
∵DE是△ADB的高，DF是△ADC的高，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF$。
将AB=6，AC=8，DF=3代入等式，可得：
$\frac{1}{2} × 6 × DE = \frac{1}{2} × 8 × 3$
化简得$3DE=12$，解得$DE=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用三角形中线平分面积的特点，通过不同的面积表示方法建立等量关系求解未知线段，属于基础的面积应用类题目。
【难度系数】
0.7
解题首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线会将原三角形分成两个面积相等的小三角形，因为这两个小三角形底相等、高相同。接下来两个小三角形的面积还可以分别以AB、AC为底，对应高为DE、DF来计算，利用两个小三角形面积相等的关系，就能列出关于DE的等式，进而求解出DE的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，因此面积相等，即$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$。
∵DE是△ADB的高，DF是△ADC的高，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF$。
将AB=6，AC=8，DF=3代入等式，可得：
$\frac{1}{2} × 6 × DE = \frac{1}{2} × 8 × 3$
化简得$3DE=12$，解得$DE=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用三角形中线平分面积的特点，通过不同的面积表示方法建立等量关系求解未知线段，属于基础的面积应用类题目。
【难度系数】
0.7
15.如图，小强站在河边的A点处，在河的对面（小强的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后他左转$90°$直行，当小强看到电线塔、树在一条直线上时（即电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线上），他一共走了90步。如果小强的一步大约是50 cm，估计小强在点A处时他与电线塔的距离为
25
m。答案
15.25
解析
【分析】
解题时先从实际场景中提取几何条件：首先AB为南北方向，AC、CD为正西方向，可得∠A和∠D均为直角；AC与CD长度相等均为20步；B、C、E共线可得一组对顶角相等。由此可通过ASA判定△ABC和△DEC全等，得到AB=DE，再计算DE的长度即可得到A到B的距离。
【解析】
1. 由题意可知：$AC=20$步，$CD=20$步，因此$AC=CD$；
2. AB沿正北方向，AC沿正西方向，故$∠ A=90°$；小强在D点左转90°直行，故$∠ D=90°$，即$∠ A=∠ D$；
3. 由于B、C、E三点共线，$∠ ACB$与$∠ DCE$是对顶角，因此$∠ ACB=∠ DCE$；
4. 在$△ ABC$和$△ DEC$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ D \\AC=DC \\∠ ACB=∠ DCE\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEC(\mathrm{ASA})$，可得$AB=DE$；
5. 计算DE对应的步数：总步数90步减去AC、CD的步数，即$DE=90-20-20=50$步；
6. 每步约50cm，因此$DE=50×50\mathrm{cm}=2500\mathrm{cm}=25\mathrm{m}$，故$AB=25\mathrm{m}$。
【答案】
25
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，全等三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查全等三角形的应用，解题的核心是从实际情境中抽象出几何图形，找到全等三角形的判定条件，将未知距离转化为可直接计算的线段长度。
【难度系数】
0.7
解题时先从实际场景中提取几何条件：首先AB为南北方向，AC、CD为正西方向，可得∠A和∠D均为直角；AC与CD长度相等均为20步；B、C、E共线可得一组对顶角相等。由此可通过ASA判定△ABC和△DEC全等，得到AB=DE，再计算DE的长度即可得到A到B的距离。
【解析】
1. 由题意可知：$AC=20$步，$CD=20$步，因此$AC=CD$；
2. AB沿正北方向，AC沿正西方向，故$∠ A=90°$；小强在D点左转90°直行，故$∠ D=90°$，即$∠ A=∠ D$；
3. 由于B、C、E三点共线，$∠ ACB$与$∠ DCE$是对顶角，因此$∠ ACB=∠ DCE$；
4. 在$△ ABC$和$△ DEC$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ D \\AC=DC \\∠ ACB=∠ DCE\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEC(\mathrm{ASA})$，可得$AB=DE$；
5. 计算DE对应的步数：总步数90步减去AC、CD的步数，即$DE=90-20-20=50$步；
6. 每步约50cm，因此$DE=50×50\mathrm{cm}=2500\mathrm{cm}=25\mathrm{m}$，故$AB=25\mathrm{m}$。
【答案】
25
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，全等三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查全等三角形的应用，解题的核心是从实际情境中抽象出几何图形，找到全等三角形的判定条件，将未知距离转化为可直接计算的线段长度。
【难度系数】
0.7
16.一个三角形中,第一条边比第二条边长 3 cm,第二条边又比第三条边短 7 cm,这个三角形的周长为 28 cm,求这个三角形中最短边的长。
答案
16.解:设第二条边的长为$x$ cm,则第一条边、第三条边的长分别为$(x+3)\mathrm{cm},(x+7)\mathrm{cm}$。根据题意,得$x+(x+3)+(x+7)=28$,解得$x=6$,即这个三角形中最短边的长为6 cm。
解析
【分析】
本题是利用一元一次方程求解三角形边长的应用题，核心等量关系为三角形周长=三条边长之和。首先梳理三条边的数量关系：第一条边比第二条边长3cm，第二条边比第三条边短7cm，可知三条边的长度都与第二条边的长度相关，因此选择设第二条边的长度为未知数x，分别表示出另外两条边的长度，再结合周长为28cm的条件列方程求解，最后验证得到最短边长度即可。
【解析】
解：设第二条边的长为$x$ cm，则第一条边的长为$(x+3)\mathrm{cm}$，第三条边的长为$(x+7)\mathrm{cm}$。
根据三角形周长公式列方程得：
$x+(x+3)+(x+7)=28$
合并同类项得：$3x+10=28$
移项计算得：$3x=18$
系数化为1得：$x=6$
对比三条边长度：$6\mathrm{cm}＜6+3=9\mathrm{cm}＜6+7=13\mathrm{cm}$，可知最短边为第二条边。
【答案】
6 cm
【知识点】
一元一次方程的应用、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础的方程类应用题，解题关键是理清各边的数量关系，选择和其余两个量关联度最高的量设为未知数，结合周长公式列方程求解即可，计算难度低，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
本题是利用一元一次方程求解三角形边长的应用题，核心等量关系为三角形周长=三条边长之和。首先梳理三条边的数量关系：第一条边比第二条边长3cm，第二条边比第三条边短7cm，可知三条边的长度都与第二条边的长度相关，因此选择设第二条边的长度为未知数x，分别表示出另外两条边的长度，再结合周长为28cm的条件列方程求解，最后验证得到最短边长度即可。
【解析】
解：设第二条边的长为$x$ cm，则第一条边的长为$(x+3)\mathrm{cm}$，第三条边的长为$(x+7)\mathrm{cm}$。
根据三角形周长公式列方程得：
$x+(x+3)+(x+7)=28$
合并同类项得：$3x+10=28$
移项计算得：$3x=18$
系数化为1得：$x=6$
对比三条边长度：$6\mathrm{cm}＜6+3=9\mathrm{cm}＜6+7=13\mathrm{cm}$，可知最短边为第二条边。
【答案】
6 cm
【知识点】
一元一次方程的应用、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础的方程类应用题，解题关键是理清各边的数量关系，选择和其余两个量关联度最高的量设为未知数，结合周长公式列方程求解即可，计算难度低，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
