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17. 如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为点B，D。
(1)△ABC与△ADC全等吗？
(2)若AB=4，CD=3，求四边形ABCD的面积。
(1)△ABC与△ADC全等吗？
(2)若AB=4，CD=3，求四边形ABCD的面积。
答案
17.解:(1)因为AC平分$∠BAD$,$CB⊥ AB$,$CD⊥ AD$,所以$∠BAC=∠DAC$,$∠B=∠D=90°$。
又因为$AC=AC$,所以$△ ABC≌△ ADC$。
(2)因为$△ ABC≌△ ADC$,所以$BC=CD=3$,$S_{△ ABC}=S_{△ ADC}$，
所以$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=2S_{△ ABC}=2×\frac{1}{2}× AB× BC=4×3=12$。
又因为$AC=AC$,所以$△ ABC≌△ ADC$。
(2)因为$△ ABC≌△ ADC$,所以$BC=CD=3$,$S_{△ ABC}=S_{△ ADC}$，
所以$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=2S_{△ ABC}=2×\frac{1}{2}× AB× BC=4×3=12$。
解析
【分析】
(1)判断两个三角形是否全等，先梳理已知条件：AC是∠BAD的角平分线，可得一组对应角相等；CB⊥AB、CD⊥AD可得两个直角相等；再加上两个三角形的公共边AC，符合全等三角形AAS的判定条件，即可证明全等。
(2)求四边形面积时，利用全等三角形的性质可得对应边BC=CD，且两个三角形面积相等，因此四边形面积等于2倍的△ABC的面积，代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
(1) 因为AC平分$∠BAD$，$CB⊥AB$，$CD⊥AD$，
所以$∠BAC=∠DAC$，$∠B=∠D=90°$，
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}∠B=∠D \\∠BAC=∠DAC \\AC=AC\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ ADC$（AAS）。
(2) 由$△ ABC≌△ ADC$可得：$BC=CD=3$，$S_{△ ABC}=S_{△ ADC}$，
因此$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=2S_{△ ABC}$，
代入$AB=4$、$BC=3$得：
$S_{四边形ABCD}=2×\frac{1}{2}×AB×BC=4×3=12$。
【答案】
(1) $△ ABC$与$△ ADC$全等；(2) 四边形$ABCD$的面积为$\boxed{12}$。
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 全等三角形的判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将角平分线、直角三角形性质、全等三角形的判定与性质结合考查，解题的关键是先证明三角形全等，再通过全等的性质转化边长和面积关系，整体难度较低，侧重对基础知识点应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
(1)判断两个三角形是否全等，先梳理已知条件：AC是∠BAD的角平分线，可得一组对应角相等；CB⊥AB、CD⊥AD可得两个直角相等；再加上两个三角形的公共边AC，符合全等三角形AAS的判定条件，即可证明全等。
(2)求四边形面积时，利用全等三角形的性质可得对应边BC=CD，且两个三角形面积相等，因此四边形面积等于2倍的△ABC的面积，代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
(1) 因为AC平分$∠BAD$，$CB⊥AB$，$CD⊥AD$，
所以$∠BAC=∠DAC$，$∠B=∠D=90°$，
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}∠B=∠D \\∠BAC=∠DAC \\AC=AC\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ ADC$（AAS）。
(2) 由$△ ABC≌△ ADC$可得：$BC=CD=3$，$S_{△ ABC}=S_{△ ADC}$，
因此$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=2S_{△ ABC}$，
代入$AB=4$、$BC=3$得：
$S_{四边形ABCD}=2×\frac{1}{2}×AB×BC=4×3=12$。
【答案】
(1) $△ ABC$与$△ ADC$全等；(2) 四边形$ABCD$的面积为$\boxed{12}$。
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 全等三角形的判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将角平分线、直角三角形性质、全等三角形的判定与性质结合考查，解题的关键是先证明三角形全等，再通过全等的性质转化边长和面积关系，整体难度较低，侧重对基础知识点应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
18.某数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表：
| 课题 | 测量学校教学楼高度 |
| --- | --- |
| 测量工具 | 测角仪、皮尺等 |
| 测量方案示意图 |
（理想状态:地面水平,AB垂直于地面,点B,C,D在水平地面上） |
| 测量步骤 | (1)在教学楼外水平地面上,选定一点C；
(2)测量$∠ ACB$的度数；
(3)测量BC的长度；
(4)放置一根与BC长度相同的标杆DE,DE垂直于水平地面(B,C,D三点共线)；
(5)测量$∠ ECD$的度数,再测量CD的长度 |
| 测量数据 | $∠ ACB=78.2°,∠ ECD=11.8°,BC=DE=2.5\ \mathrm{m},CD=12\ \mathrm{m}$ |
请你根据兴趣小组的测量方案及数据,求教学楼高度AB的长。
| 课题 | 测量学校教学楼高度 |
| --- | --- |
| 测量工具 | 测角仪、皮尺等 |
| 测量方案示意图 |
（理想状态:地面水平,AB垂直于地面,点B,C,D在水平地面上） || 测量步骤 | (1)在教学楼外水平地面上,选定一点C；
(2)测量$∠ ACB$的度数；
(3)测量BC的长度；
(4)放置一根与BC长度相同的标杆DE,DE垂直于水平地面(B,C,D三点共线)；
(5)测量$∠ ECD$的度数,再测量CD的长度 |
| 测量数据 | $∠ ACB=78.2°,∠ ECD=11.8°,BC=DE=2.5\ \mathrm{m},CD=12\ \mathrm{m}$ |
请你根据兴趣小组的测量方案及数据,求教学楼高度AB的长。
答案
18.解:由题意知$AB⊥ BC$,$DE⊥ BC$,
所以$∠ABC=∠CDE=90°$,
所以$∠BAC=90°-∠ACB=90°-78.2°=11.8°$。
又因为$∠ECD=11.8°$,所以$∠BAC=∠DCE$。
在$△ ABC$与$△ CDE$中,$\begin{cases} ∠BAC=∠DCE,\\ ∠ABC=∠CDE,\\ BC=DE, \end{cases}$
所以$△ ABC≌△ CDE$(AAS),所以$AB=CD$。
因为$CD=12\ \mathrm{m}$,所以$AB=12\ \mathrm{m}$。
答:教学楼高度$AB$的长为12 m。
所以$∠ABC=∠CDE=90°$,
所以$∠BAC=90°-∠ACB=90°-78.2°=11.8°$。
又因为$∠ECD=11.8°$,所以$∠BAC=∠DCE$。
在$△ ABC$与$△ CDE$中,$\begin{cases} ∠BAC=∠DCE,\\ ∠ABC=∠CDE,\\ BC=DE, \end{cases}$
所以$△ ABC≌△ CDE$(AAS),所以$AB=CD$。
因为$CD=12\ \mathrm{m}$,所以$AB=12\ \mathrm{m}$。
答:教学楼高度$AB$的长为12 m。
解析
【分析】
解题时首先根据垂直关系确定两个三角形都是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余算出∠BAC的度数，发现∠BAC和∠ECD相等；再结合已知的BC=DE、两个直角相等的条件，可证明△ABC和△CDE全等；最后根据全等三角形对应边相等，即可将求AB的长度转化为求已知的CD长度。
【解析】
由题意知$AB⊥ BC$，$DE⊥ BC$，
所以$∠ABC=∠CDE=90°$，
所以$∠BAC=90°-∠ACB=90°-78.2°=11.8°$。
又因为$∠ECD=11.8°$，所以$∠BAC=∠DCE$。
在$△ ABC$与$△ CDE$中，
$\begin{cases} ∠BAC=∠DCE,\\ ∠ABC=∠CDE,\\ BC=DE, \end{cases}$
所以$△ ABC≌△ CDE$（AAS），所以$AB=CD$。
因为$CD=12\ \mathrm{m}$，所以$AB=12\ \mathrm{m}$。
答：教学楼高度$AB$的长为12 m。
【答案】
$12\ \mathrm{m}$
【知识点】
全等三角形AAS判定；全等三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合实际测量场景，考查全等三角形相关知识的应用，解题的核心是通过角度计算找到相等的角，进而证明三角形全等，将未知的楼高转化为已知的线段长度，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据垂直关系确定两个三角形都是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余算出∠BAC的度数，发现∠BAC和∠ECD相等；再结合已知的BC=DE、两个直角相等的条件，可证明△ABC和△CDE全等；最后根据全等三角形对应边相等，即可将求AB的长度转化为求已知的CD长度。
【解析】
由题意知$AB⊥ BC$，$DE⊥ BC$，
所以$∠ABC=∠CDE=90°$，
所以$∠BAC=90°-∠ACB=90°-78.2°=11.8°$。
又因为$∠ECD=11.8°$，所以$∠BAC=∠DCE$。
在$△ ABC$与$△ CDE$中，
$\begin{cases} ∠BAC=∠DCE,\\ ∠ABC=∠CDE,\\ BC=DE, \end{cases}$
所以$△ ABC≌△ CDE$（AAS），所以$AB=CD$。
因为$CD=12\ \mathrm{m}$，所以$AB=12\ \mathrm{m}$。
答：教学楼高度$AB$的长为12 m。
【答案】
$12\ \mathrm{m}$
【知识点】
全等三角形AAS判定；全等三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合实际测量场景，考查全等三角形相关知识的应用，解题的核心是通过角度计算找到相等的角，进而证明三角形全等，将未知的楼高转化为已知的线段长度，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
