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12.如图，BD是等边三角形ABC的中线，以D为圆心、DB长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE。求∠CDE的度数。
答案
12.解:如图
,因为 BD 为等边三角形 ABC 的中线,所以 BD⊥AC,∠1=60°,所以∠ACE=120°,∠3=30°。因为 BD=DE,所以∠E=∠3=30°。因为∠2+∠E=180°−∠DCE=∠1=60°,所以∠2=30°,即∠CDE=30°。
解析
【分析】
本题需要结合等边三角形、等腰三角形的性质以及三角形角的数量关系求解。首先回忆等边三角形三线合一的性质，BD是等边△ABC的中线，可推出BD平分∠ABC、BD⊥AC、∠ACB=60°，由此可算出∠DBC的度数和∠DCE的度数；再根据同圆半径相等得到BD=DE，利用等腰三角形等边对等角的性质可得∠E和∠DBC相等；最后结合三角形内角和定理，就能求出∠CDE的度数。
【解析】
解：如图，
∵BD为等边三角形ABC的中线，
∴BD⊥AC，∠ACB=60°，BD平分∠ABC，
∴∠DCE=180°-∠ACB=120°，∠3=∠DBC=30°，
∵BD、DE均为以D为圆心的圆的半径，
∴BD=DE，
∴∠E=∠3=30°，
在△CDE中，根据三角形内角和为180°可得：
∠CDE=180°-∠DCE-∠E=180°-120°-30°=30°。
【答案】
如图，∠CDE=30°
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是熟练运用等边三角形三线合一、等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形角的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题需要结合等边三角形、等腰三角形的性质以及三角形角的数量关系求解。首先回忆等边三角形三线合一的性质，BD是等边△ABC的中线，可推出BD平分∠ABC、BD⊥AC、∠ACB=60°，由此可算出∠DBC的度数和∠DCE的度数；再根据同圆半径相等得到BD=DE，利用等腰三角形等边对等角的性质可得∠E和∠DBC相等；最后结合三角形内角和定理，就能求出∠CDE的度数。
【解析】
解：如图
，∵BD为等边三角形ABC的中线，
∴BD⊥AC，∠ACB=60°，BD平分∠ABC，
∴∠DCE=180°-∠ACB=120°，∠3=∠DBC=30°，
∵BD、DE均为以D为圆心的圆的半径，
∴BD=DE，
∴∠E=∠3=30°，
在△CDE中，根据三角形内角和为180°可得：
∠CDE=180°-∠DCE-∠E=180°-120°-30°=30°。
【答案】
如图
，∠CDE=30°【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是熟练运用等边三角形三线合一、等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形角的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
13.如图,第1张透明纸上画有$∠ AOB$,第2张透明纸上画有直线$l$及直线$l$外一点$P$。
进行如下操作:
①折叠第1张纸,可折出$∠ AOB$的平分线;
②折叠第2张纸,可折出经过点$P$的直线$l$的垂线。
可以实现的是
（
）
A.只有①
B.只有②
C.①②都可以实现
D.①②都无法实现
进行如下操作:
①折叠第1张纸,可折出$∠ AOB$的平分线;
②折叠第2张纸,可折出经过点$P$的直线$l$的垂线。
可以实现的是
（
）A.只有①
B.只有②
C.①②都可以实现
D.①②都无法实现
答案
13.C
解析
【分析】
解题时可结合折叠的性质分析两个操作是否可行：首先回忆折叠的核心性质：折叠后重合的部分完全相等，对应角相等，折痕是重合部分的对称轴。对于操作①，要得到角平分线，只需将角的两边折叠重合，此时折痕就能把原角分成两个相等的角，符合角平分线的定义；对于操作②，要得到过P的l的垂线，只需让直线l折叠后自身重合，且保证折痕经过P点，此时折痕就与l垂直，符合垂线的要求，由此可判断两个操作都能实现。
【解析】
根据折叠的性质逐一分析两个操作：
1. 分析操作①：折叠第1张纸，使边OA与边OB完全重合，此时过点O的折痕将∠AOB分成两个大小相等的角，根据角平分线的定义，该折痕就是∠AOB的平分线，因此操作①可以实现。
2. 分析操作②：折叠第2张纸，调整折叠方式使直线l的两部分完全重合，且折痕经过点P，根据折叠的性质，此时折痕与直线l互相垂直，即该折痕是过点P的直线l的垂线，因此操作②可以实现。
综上，①②都可以实现，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；角平分线的定义；垂线的定义
【点评】
本题结合动手折叠操作考查基础几何概念，要求学生能够将实践操作与对应的几何性质相结合，侧重对概念理解和动手应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时可结合折叠的性质分析两个操作是否可行：首先回忆折叠的核心性质：折叠后重合的部分完全相等，对应角相等，折痕是重合部分的对称轴。对于操作①，要得到角平分线，只需将角的两边折叠重合，此时折痕就能把原角分成两个相等的角，符合角平分线的定义；对于操作②，要得到过P的l的垂线，只需让直线l折叠后自身重合，且保证折痕经过P点，此时折痕就与l垂直，符合垂线的要求，由此可判断两个操作都能实现。
【解析】
根据折叠的性质逐一分析两个操作：
1. 分析操作①：折叠第1张纸，使边OA与边OB完全重合，此时过点O的折痕将∠AOB分成两个大小相等的角，根据角平分线的定义，该折痕就是∠AOB的平分线，因此操作①可以实现。
2. 分析操作②：折叠第2张纸，调整折叠方式使直线l的两部分完全重合，且折痕经过点P，根据折叠的性质，此时折痕与直线l互相垂直，即该折痕是过点P的直线l的垂线，因此操作②可以实现。
综上，①②都可以实现，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；角平分线的定义；垂线的定义
【点评】
本题结合动手折叠操作考查基础几何概念，要求学生能够将实践操作与对应的几何性质相结合，侧重对概念理解和动手应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
14.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠1=∠2,BC=12 cm,点D到AB的距离为5 cm,则BD的长为
7
cm。答案
14.7
解析
【分析】
首先观察已知条件，∠1=∠2说明AD是∠CAB的角平分线，∠C=90°说明DC垂直于AC，同时题目给出了点D到AB的距离。我们可以先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，求出CD的长度，再结合BC的总长度，用线段差求出BD的长度。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，可知DE是点D到AB的距离，即DE=5cm。
∵∠1=∠2，∠C=90°即DC⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DC=DE=5cm。
又
∵BC=12cm，
∴BD=BC-DC=12-5=7cm。
【答案】
7
【知识点】
角平分线的性质、线段和差计算、点到直线的距离
【点评】
本题属于基础几何应用题，解题关键是通过角平分线的性质将未知的CD长度转化为已知的点D到AB的距离，熟练掌握角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，∠1=∠2说明AD是∠CAB的角平分线，∠C=90°说明DC垂直于AC，同时题目给出了点D到AB的距离。我们可以先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，求出CD的长度，再结合BC的总长度，用线段差求出BD的长度。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，可知DE是点D到AB的距离，即DE=5cm。
∵∠1=∠2，∠C=90°即DC⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DC=DE=5cm。
又
∵BC=12cm，
∴BD=BC-DC=12-5=7cm。
【答案】
7
【知识点】
角平分线的性质、线段和差计算、点到直线的距离
【点评】
本题属于基础几何应用题，解题关键是通过角平分线的性质将未知的CD长度转化为已知的点D到AB的距离，熟练掌握角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
15.下图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，网格中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形。
答案
15.解:画出下列情形中的一种即可。
解析
【分析】
解决本题首先要明确轴对称图形的核心特征：存在一条直线（对称轴），将图形沿这条直线对折后，直线两侧的部分可以完全重合。解题时首先观察已有3个阴影小等边三角形的位置，我们可以先尝试确定可能的对称轴，再找对称轴另一侧与现有阴影对应的空白小三角形位置，将其涂色即可；也可以逐个验证空白三角形，判断补上该三角形后整体是否满足轴对称的特征，任选1个符合要求的位置作答即可。
【解析】
根据轴对称图形的定义：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形。观察现有3个阴影三角形的位置，我们可在空白三角形中选取对应位置涂色，使得4个阴影三角形沿某条直线对折后完全重合，共有4种符合要求的涂法，任选其一即可。
【答案】
【知识点】
轴对称图形的概念，网格作图
【点评】
本题属于开放性作图题，重点考查对轴对称图形概念的理解和实际应用，需要结合网格中等边三角形的排列特点寻找符合要求的位置，解法多样，能有效锻炼学生的观察能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确轴对称图形的核心特征：存在一条直线（对称轴），将图形沿这条直线对折后，直线两侧的部分可以完全重合。解题时首先观察已有3个阴影小等边三角形的位置，我们可以先尝试确定可能的对称轴，再找对称轴另一侧与现有阴影对应的空白小三角形位置，将其涂色即可；也可以逐个验证空白三角形，判断补上该三角形后整体是否满足轴对称的特征，任选1个符合要求的位置作答即可。
【解析】
根据轴对称图形的定义：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形。观察现有3个阴影三角形的位置，我们可在空白三角形中选取对应位置涂色，使得4个阴影三角形沿某条直线对折后完全重合，共有4种符合要求的涂法，任选其一即可。
【答案】
【知识点】
轴对称图形的概念，网格作图
【点评】
本题属于开放性作图题，重点考查对轴对称图形概念的理解和实际应用，需要结合网格中等边三角形的排列特点寻找符合要求的位置，解法多样，能有效锻炼学生的观察能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.7
