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三、用心做一做，显显自己的能力！（解答应写出具体步骤）
16. 求出下列函数中自变量$ x $的取值范围：
(1)$ y=3x-1 $；
(2)$ y=\dfrac{1}{x-2} $；
(3)$ y=\sqrt{2+x} $。
16. 求出下列函数中自变量$ x $的取值范围：
(1)$ y=3x-1 $；
(2)$ y=\dfrac{1}{x-2} $；
(3)$ y=\sqrt{2+x} $。
答案
(1)$x$是任意实数.
(2)$x≠2.$
(3)$x≥-2.$
(2)$x≠2.$
(3)$x≥-2.$
解析
【分析】
求函数自变量x的取值范围，需根据函数表达式的形式，结合对应代数式有意义的条件判断：①若表达式是整式，自变量可取全体实数；②若表达式是分式，需保证分母不为0；③若表达式含二次根式，需保证被开方数是非负数。接下来对应三个小问的表达式类型，分别套用规则求解即可。
【解析】
(1) 函数$y=3x-1$的表达式是整式，整式对自变量的取值没有限制，因此自变量$x$的取值范围是任意实数；
(2) 函数$y=\dfrac{1}{x-2}$的表达式是分式，要使分式有意义，分母不能为0，列不等式得：
$x-2≠0$
解得$x≠2$，因此自变量$x$的取值范围是$x≠2$；
(3) 函数$y=\sqrt{2+x}$的表达式含二次根式，要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数，列不等式得：
$2+x≥0$
解得$x≥-2$，因此自变量$x$的取值范围是$x≥-2$。
【答案】
(1)$x$是任意实数.
(2)$x≠2.$
(3)$x≥-2.$
【知识点】
函数自变量取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是函数自变量取值范围的基础题型，核心是掌握不同类型代数式有意义的限制条件，熟练对应规则即可快速解答，是后续学习函数相关知识的必备基础。
【难度系数】
0.9
求函数自变量x的取值范围，需根据函数表达式的形式，结合对应代数式有意义的条件判断：①若表达式是整式，自变量可取全体实数；②若表达式是分式，需保证分母不为0；③若表达式含二次根式，需保证被开方数是非负数。接下来对应三个小问的表达式类型，分别套用规则求解即可。
【解析】
(1) 函数$y=3x-1$的表达式是整式，整式对自变量的取值没有限制，因此自变量$x$的取值范围是任意实数；
(2) 函数$y=\dfrac{1}{x-2}$的表达式是分式，要使分式有意义，分母不能为0，列不等式得：
$x-2≠0$
解得$x≠2$，因此自变量$x$的取值范围是$x≠2$；
(3) 函数$y=\sqrt{2+x}$的表达式含二次根式，要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数，列不等式得：
$2+x≥0$
解得$x≥-2$，因此自变量$x$的取值范围是$x≥-2$。
【答案】
(1)$x$是任意实数.
(2)$x≠2.$
(3)$x≥-2.$
【知识点】
函数自变量取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是函数自变量取值范围的基础题型，核心是掌握不同类型代数式有意义的限制条件，熟练对应规则即可快速解答，是后续学习函数相关知识的必备基础。
【难度系数】
0.9
17.分别求出下列函数在$x=2$和$x=-3$时的函数值：
(1)$y=(x+1)(x-2)$；
(2)$y=2x^2 - 3x + 2$；
(3)$y=\dfrac{x+2}{x-1}$.
(1)$y=(x+1)(x-2)$；
(2)$y=2x^2 - 3x + 2$；
(3)$y=\dfrac{x+2}{x-1}$.
答案
(1)当$x=2$时,$y=(x+1)(x-2)=(2+1)(2-2)=0$；
当$x=-3$时,$y=(x+1)(x-2)=(-3+1)(-3-2)=10$.
(2)当$x=2$时,$y=2x^2-3x+2=4$；当$x=-3$时,$y=2x^2-3x+2=29$.
(3)当$x=2$时,$y=\dfrac{x+2}{x-1}=4$；当$x=-3$时,$y=\dfrac{x+2}{x-1}=\dfrac{1}{4}$.
当$x=-3$时,$y=(x+1)(x-2)=(-3+1)(-3-2)=10$.
(2)当$x=2$时,$y=2x^2-3x+2=4$；当$x=-3$时,$y=2x^2-3x+2=29$.
(3)当$x=2$时,$y=\dfrac{x+2}{x-1}=4$；当$x=-3$时,$y=\dfrac{x+2}{x-1}=\dfrac{1}{4}$.
解析
【分析】
求函数在给定x取值处的函数值，核心方法是将x的取值代入对应的函数表达式，按照四则运算规则逐步计算结果即可。计算时需要注意：代入负数计算时要适当添加括号避免符号错误，代入分式前要先确认分母不为0，本题中x=2和x=-3代入各分式分母均不为0，可直接代入计算，我们逐一对三个函数代入两个x值计算即可。
【解析】
(1) 对于$y=(x+1)(x-2)$：
当$x=2$时，代入得$y=(2+1)(2-2)=3×0=0$；
当$x=-3$时，代入得$y=(-3+1)(-3-2)=(-2)×(-5)=10$。
(2) 对于$y=2x^2 - 3x + 2$：
当$x=2$时，代入得$y=2×2^2 - 3×2 + 2=8 - 6 + 2=4$；
当$x=-3$时，代入得$y=2×(-3)^2 - 3×(-3) + 2=18 + 9 + 2=29$。
(3) 对于$y=\dfrac{x+2}{x-1}$：
当$x=2$时，代入得$y=\dfrac{2+2}{2-1}=\dfrac{4}{1}=4$；
当$x=-3$时，代入得$y=\dfrac{-3+2}{-3-1}=\dfrac{-1}{-4}=\dfrac{1}{4}$。
【答案】
(1)当$x=2$时,$y=0$；当$x=-3$时,$y=10$。
(2)当$x=2$时,$y=4$；当$x=-3$时,$y=29$。
(3)当$x=2$时,$y=4$；当$x=-3$时,$y=\dfrac{1}{4}$。
【知识点】
函数值计算，代数式求值，有理数运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查代入求值的运算能力，计算时要注意负数参与乘方、乘法运算时的符号问题，分式运算要先确认分母不为零再计算，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.85
求函数在给定x取值处的函数值，核心方法是将x的取值代入对应的函数表达式，按照四则运算规则逐步计算结果即可。计算时需要注意：代入负数计算时要适当添加括号避免符号错误，代入分式前要先确认分母不为0，本题中x=2和x=-3代入各分式分母均不为0，可直接代入计算，我们逐一对三个函数代入两个x值计算即可。
【解析】
(1) 对于$y=(x+1)(x-2)$：
当$x=2$时，代入得$y=(2+1)(2-2)=3×0=0$；
当$x=-3$时，代入得$y=(-3+1)(-3-2)=(-2)×(-5)=10$。
(2) 对于$y=2x^2 - 3x + 2$：
当$x=2$时，代入得$y=2×2^2 - 3×2 + 2=8 - 6 + 2=4$；
当$x=-3$时，代入得$y=2×(-3)^2 - 3×(-3) + 2=18 + 9 + 2=29$。
(3) 对于$y=\dfrac{x+2}{x-1}$：
当$x=2$时，代入得$y=\dfrac{2+2}{2-1}=\dfrac{4}{1}=4$；
当$x=-3$时，代入得$y=\dfrac{-3+2}{-3-1}=\dfrac{-1}{-4}=\dfrac{1}{4}$。
【答案】
(1)当$x=2$时,$y=0$；当$x=-3$时,$y=10$。
(2)当$x=2$时,$y=4$；当$x=-3$时,$y=29$。
(3)当$x=2$时,$y=4$；当$x=-3$时,$y=\dfrac{1}{4}$。
【知识点】
函数值计算，代数式求值，有理数运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查代入求值的运算能力，计算时要注意负数参与乘方、乘法运算时的符号问题，分式运算要先确认分母不为零再计算，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.85
18. 星期天晚上,小红从家里出去散步,下图描述了她散步过程中离家的距离 s(m)与散步所用时间 t(min)之间的关系.依据图象回答问题:
(1)任取变量 t 的一个值,变量 s 有几个值与它对应? 变量 s 是 t 的函数吗?
(2)小红最远走到离家多远的地方? 路上小红休息了吗? 如果休息了,那么她休息了多长时间?
(3)小红回家的速度是多少?
(4)若小红一直保持出发时的速度,并且中途不休息,则相同的散步时间内,她最远可以走到离家多远的地方?
第 18 题图
(1)任取变量 t 的一个值,变量 s 有几个值与它对应? 变量 s 是 t 的函数吗?
(2)小红最远走到离家多远的地方? 路上小红休息了吗? 如果休息了,那么她休息了多长时间?
(3)小红回家的速度是多少?
(4)若小红一直保持出发时的速度,并且中途不休息,则相同的散步时间内,她最远可以走到离家多远的地方?
第 18 题图
答案
(1)唯一确定的值,是
(2)500 m. 路上小红休息了,休息了6 min
(3)$\dfrac{250}{3}$ m/min
(4)675 m
(2)500 m. 路上小红休息了,休息了6 min
(3)$\dfrac{250}{3}$ m/min
(4)675 m
解析
【分析】
本题是基于路程-时间（s-t）图像的综合题，解题思路如下：①对于第(1)问，结合函数的定义判断即可，函数的核心是自变量每取一个确定值，因变量有唯一确定值对应；②第(2)问，s-t图像中纵坐标的最大值就是最远距离，水平线段代表路程不变，即处于静止休息状态，水平线段对应的时间差就是休息时长；③第(3)问，回家阶段对应图像下降段，用回家的总路程除以回家花费的时间即可得到速度；④第(4)问，先算出出发时的速度，再结合总散步时间，由于散步结束要回到家，总路程为速度乘总时间，最远单程距离就是总路程的一半。
【解析】
(1) 观察图像可知，任取一个时间$t$的值，离家距离$s$都有唯一确定的值和它对应；根据函数的定义：在一个变化过程中，对于自变量的每一个确定值，因变量有唯一确定值与之对应，则因变量是自变量的函数，因此变量$s$是$t$的函数。
(2) 图像中纵坐标的最大值为500m，因此小红最远走到离家500m的地方；图像中$t$在$4\mathrm{min}∼10\mathrm{min}$范围内时，$s$始终为300m不变，说明这段时间小红处于静止状态，即休息了，休息时长为$10-4=6(\mathrm{min})$。
(3) 小红从12min开始回家，到18min到家，回家花费的时间为$18-12=6(\mathrm{min})$，回家的路程为500m，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，可得回家速度为$v=\frac{500}{6}=\frac{250}{3}(\mathrm{m/min})$。
(4) 小红出发时的速度：前4min走了300m，因此出发速度$v_1=\frac{300}{4}=75(\mathrm{m/min})$；总散步时间为18min，若中途不休息且保持该速度，走往返路程的总距离为$75×18=1350(\mathrm{m})$，因此最远走到离家的距离为$1350÷2=675(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 唯一确定的值，是
(2) 500 m，路上小红休息了，休息了6 min
(3) $\dfrac{250}{3}$ m/min
(4) 675 m
【知识点】
函数的概念，s-t图像的应用，行程问题计算
【点评】
本题结合生活散步场景考查函数图像的实际应用，需要学生掌握s-t图像中上升段、水平段、下降段的实际含义，能结合速度、路程、时间的关系计算相关量，注重对图像解读能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题是基于路程-时间（s-t）图像的综合题，解题思路如下：①对于第(1)问，结合函数的定义判断即可，函数的核心是自变量每取一个确定值，因变量有唯一确定值对应；②第(2)问，s-t图像中纵坐标的最大值就是最远距离，水平线段代表路程不变，即处于静止休息状态，水平线段对应的时间差就是休息时长；③第(3)问，回家阶段对应图像下降段，用回家的总路程除以回家花费的时间即可得到速度；④第(4)问，先算出出发时的速度，再结合总散步时间，由于散步结束要回到家，总路程为速度乘总时间，最远单程距离就是总路程的一半。
【解析】
(1) 观察图像可知，任取一个时间$t$的值，离家距离$s$都有唯一确定的值和它对应；根据函数的定义：在一个变化过程中，对于自变量的每一个确定值，因变量有唯一确定值与之对应，则因变量是自变量的函数，因此变量$s$是$t$的函数。
(2) 图像中纵坐标的最大值为500m，因此小红最远走到离家500m的地方；图像中$t$在$4\mathrm{min}∼10\mathrm{min}$范围内时，$s$始终为300m不变，说明这段时间小红处于静止状态，即休息了，休息时长为$10-4=6(\mathrm{min})$。
(3) 小红从12min开始回家，到18min到家，回家花费的时间为$18-12=6(\mathrm{min})$，回家的路程为500m，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，可得回家速度为$v=\frac{500}{6}=\frac{250}{3}(\mathrm{m/min})$。
(4) 小红出发时的速度：前4min走了300m，因此出发速度$v_1=\frac{300}{4}=75(\mathrm{m/min})$；总散步时间为18min，若中途不休息且保持该速度，走往返路程的总距离为$75×18=1350(\mathrm{m})$，因此最远走到离家的距离为$1350÷2=675(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 唯一确定的值，是
(2) 500 m，路上小红休息了，休息了6 min
(3) $\dfrac{250}{3}$ m/min
(4) 675 m
【知识点】
函数的概念，s-t图像的应用，行程问题计算
【点评】
本题结合生活散步场景考查函数图像的实际应用，需要学生掌握s-t图像中上升段、水平段、下降段的实际含义，能结合速度、路程、时间的关系计算相关量，注重对图像解读能力的考查。
【难度系数】
0.7
