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10. 如图,正方形ABCD的边长为4,P为正方形的边上一动点,其运动路线是A→D→C→B→A,设点P经过的路程为x,以点A,P,D为顶点的三角形的面积是y,则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是
(
(
B
)答案
B
解析
【分析】
我们需要根据动点P在正方形四条边上的不同运动阶段，分别讨论y与x的函数关系，再对应判断图像。首先明确点P的运动路径分为四段：AD段、DC段、CB段、BA段，分别计算每段内△APD的面积表达式，再匹配图像特征即可。
【解析】
正方形ABCD边长为4，按点P的运动路径分四段讨论：
1. 当$0≤ x≤4$时，点P在AD边上运动，此时A、P、D三点共线，无法构成三角形，故$y=0$；
2. 当$4＜x≤8$时，点P在DC边上运动，DP的长度为$x-4$，且AD⊥DC，因此△APD的面积$y=\frac{1}{2}× AD× DP=\frac{1}{2}×4×(x-4)=2x-8$，y随x增大从0线性增长到8；
3. 当$8＜x≤12$时，点P在CB边上运动，CB与AD平行，点P到AD的距离恒等于正方形边长4，因此△APD的面积$y=\frac{1}{2}×4×4=8$，y保持定值不变；
4. 当$12＜x≤16$时，点P在BA边上运动，AP的长度为$16-x$，且AB⊥AD，因此△APD的面积$y=\frac{1}{2}×4×(16-x)=32-2x$，y随x增大从8线性减小到0。
综上，函数图像依次为水平线段（y=0）、上升线段、水平线段（y=8）、下降线段，符合该特征的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
动点问题的函数图像；三角形面积计算；分段函数
【点评】
本题考查动点问题的分段函数图像判断，解题关键是按动点的运动路径合理分段，分别计算每段的函数表达式，结合函数增减性和函数值判断图像即可。
【难度系数】
0.7
我们需要根据动点P在正方形四条边上的不同运动阶段，分别讨论y与x的函数关系，再对应判断图像。首先明确点P的运动路径分为四段：AD段、DC段、CB段、BA段，分别计算每段内△APD的面积表达式，再匹配图像特征即可。
【解析】
正方形ABCD边长为4，按点P的运动路径分四段讨论：
1. 当$0≤ x≤4$时，点P在AD边上运动，此时A、P、D三点共线，无法构成三角形，故$y=0$；
2. 当$4＜x≤8$时，点P在DC边上运动，DP的长度为$x-4$，且AD⊥DC，因此△APD的面积$y=\frac{1}{2}× AD× DP=\frac{1}{2}×4×(x-4)=2x-8$，y随x增大从0线性增长到8；
3. 当$8＜x≤12$时，点P在CB边上运动，CB与AD平行，点P到AD的距离恒等于正方形边长4，因此△APD的面积$y=\frac{1}{2}×4×4=8$，y保持定值不变；
4. 当$12＜x≤16$时，点P在BA边上运动，AP的长度为$16-x$，且AB⊥AD，因此△APD的面积$y=\frac{1}{2}×4×(16-x)=32-2x$，y随x增大从8线性减小到0。
综上，函数图像依次为水平线段（y=0）、上升线段、水平线段（y=8）、下降线段，符合该特征的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
动点问题的函数图像；三角形面积计算；分段函数
【点评】
本题考查动点问题的分段函数图像判断，解题关键是按动点的运动路径合理分段，分别计算每段的函数表达式，结合函数增减性和函数值判断图像即可。
【难度系数】
0.7
11.“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜。”这句谚语反映了新疆地区一天中，
温度
随时间
的变化而变化。答案
温度；时间
解析
【分析】
首先回忆变量的相关知识：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，其中主动变化的量是自变量，随着自变量的变化而变化的量是因变量。解题时先分析谚语对应的变化场景：谚语描述的是新疆一天内的气候变化情况，“早”“午”对应不同的时间，是主动变化的量；“穿皮袄”“穿纱”体现了冷热程度的差异，也就是温度的差异，温度是随着时间变化的量，由此就能确定两个变量的对应关系。
【解析】
这句谚语描述的是新疆地区一天内的气温变化特征：“早”“午”代表不同的时间，是变化过程中的自变量；不同时间人们穿衣的差异体现了温度的不同，温度是随时间变化的因变量，因此该谚语反映了新疆地区一天中，温度随时间的变化而变化。
【答案】
温度；时间
【知识点】
变量的概念；自变量与因变量
【点评】
本题结合生活谚语考查变量的相关应用，情境贴近生活，解题的关键是能从实际场景中识别出变化的量，并区分自变量和因变量。
【难度系数】
0.9
首先回忆变量的相关知识：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，其中主动变化的量是自变量，随着自变量的变化而变化的量是因变量。解题时先分析谚语对应的变化场景：谚语描述的是新疆一天内的气候变化情况，“早”“午”对应不同的时间，是主动变化的量；“穿皮袄”“穿纱”体现了冷热程度的差异，也就是温度的差异，温度是随着时间变化的量，由此就能确定两个变量的对应关系。
【解析】
这句谚语描述的是新疆地区一天内的气温变化特征：“早”“午”代表不同的时间，是变化过程中的自变量；不同时间人们穿衣的差异体现了温度的不同，温度是随时间变化的因变量，因此该谚语反映了新疆地区一天中，温度随时间的变化而变化。
【答案】
温度；时间
【知识点】
变量的概念；自变量与因变量
【点评】
本题结合生活谚语考查变量的相关应用，情境贴近生活，解题的关键是能从实际场景中识别出变化的量，并区分自变量和因变量。
【难度系数】
0.9
12.高空的气温与其距离地面的高度有关.如图是某大山中气温$t(°C)$随着距离地面高度$h(\mathrm{km})$的增加而降低的关系图,观察图象可知该山山脚的气温是
30
$°C$;当距离地面高度超过5
$\mathrm{km}$时,气温就会低于$0°C$.答案
30；5
解析
【分析】
这是一道一次函数图像的实际应用题，解题时首先明确横、纵坐标的含义：横坐标$h$表示距离地面的高度，纵坐标$t$表示对应高度的气温。首先求山脚气温，山脚对应高度$h=0$，只需找到$h=0$时对应的$t$值即可；其次求气温低于$0° C$的高度，$0° C$对应$t=0$，也就是图像与横轴的交点，观察交点对应的$h$值，当$h$超过该值时，图像位于横轴下方，$t$就小于$0° C$。
【解析】
1. 求山脚气温：
山脚是距离地面高度为0的位置，即$h=0$，观察图象，当$h=0$时，$t=30° C$，因此该山山脚的气温是$30° C$。
2. 求气温低于$0° C$对应的高度：
气温低于$0° C$即$t＜0$，对应图象中在横轴（$t=0$）下方的部分。观察图象可得，直线与横轴的交点坐标为$(5,0)$，即当$h=5$时，$t=0$；当$h＞5$时，$t＜0$，因此当距离地面高度超过$5\mathrm{km}$时，气温就会低于$0° C$。
【答案】
30；5
【知识点】
一次函数实际应用，函数图象信息读取
【点评】
本题结合生活实际考查函数图象的读图能力，解题的核心是准确理解坐标轴的实际意义，抓住图象与坐标轴的交点这一特殊点分析问题，整体比较直观简单。
【难度系数】
0.8
这是一道一次函数图像的实际应用题，解题时首先明确横、纵坐标的含义：横坐标$h$表示距离地面的高度，纵坐标$t$表示对应高度的气温。首先求山脚气温，山脚对应高度$h=0$，只需找到$h=0$时对应的$t$值即可；其次求气温低于$0° C$的高度，$0° C$对应$t=0$，也就是图像与横轴的交点，观察交点对应的$h$值，当$h$超过该值时，图像位于横轴下方，$t$就小于$0° C$。
【解析】
1. 求山脚气温：
山脚是距离地面高度为0的位置，即$h=0$，观察图象，当$h=0$时，$t=30° C$，因此该山山脚的气温是$30° C$。
2. 求气温低于$0° C$对应的高度：
气温低于$0° C$即$t＜0$，对应图象中在横轴（$t=0$）下方的部分。观察图象可得，直线与横轴的交点坐标为$(5,0)$，即当$h=5$时，$t=0$；当$h＞5$时，$t＜0$，因此当距离地面高度超过$5\mathrm{km}$时，气温就会低于$0° C$。
【答案】
30；5
【知识点】
一次函数实际应用，函数图象信息读取
【点评】
本题结合生活实际考查函数图象的读图能力，解题的核心是准确理解坐标轴的实际意义，抓住图象与坐标轴的交点这一特殊点分析问题，整体比较直观简单。
【难度系数】
0.8
13.已知点$(a,b)$在函数$y=2x-1$的图象上,则代数式$4a-2b+1$的值等于________.
答案
3
解析
【分析】
解题时首先回忆一次函数图象上点的坐标的性质：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足函数的解析式。因此第一步将点$(a,b)$代入$y=2x-1$，得到$a$与$b$的数量关系；第二步观察待求代数式$4a-2b+1$的结构，发现$4a-2b$是$2a-b$的2倍，因此可以将第一步得到的关系式整体代入，即可快速求出代数式的值，不需要单独求出$a$、$b$的具体数值。
【解析】
解：$\because$点$(a,b)$在函数$y=2x-1$的图象上
$\therefore$将$x=a$，$y=b$代入函数解析式，得：
$b=2a-1$
移项整理得：$2a-b=1$
对代数式$4a-2b+1$变形可得：
$4a-2b+1=2(2a-b)+1$
将$2a-b=1$代入上式，得：
$2×1+1=3$
【答案】
3
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数图象与点坐标的对应关系，结合整体代入的思想简化计算，解题时不需要求解单个未知数的值，熟练掌握相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一次函数图象上点的坐标的性质：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足函数的解析式。因此第一步将点$(a,b)$代入$y=2x-1$，得到$a$与$b$的数量关系；第二步观察待求代数式$4a-2b+1$的结构，发现$4a-2b$是$2a-b$的2倍，因此可以将第一步得到的关系式整体代入，即可快速求出代数式的值，不需要单独求出$a$、$b$的具体数值。
【解析】
解：$\because$点$(a,b)$在函数$y=2x-1$的图象上
$\therefore$将$x=a$，$y=b$代入函数解析式，得：
$b=2a-1$
移项整理得：$2a-b=1$
对代数式$4a-2b+1$变形可得：
$4a-2b+1=2(2a-b)+1$
将$2a-b=1$代入上式，得：
$2×1+1=3$
【答案】
3
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数图象与点坐标的对应关系，结合整体代入的思想简化计算，解题时不需要求解单个未知数的值，熟练掌握相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
14.点燃一支蜡烛后,蜡烛的高度 h(cm)与燃烧时间 t(min)之间的关系如下表:
| t/min | 0 | 2 |
| 6 | 8 | 10 | … |
| h/cm | 30 | 29 | 28 | 27 | 26 | 25 | … |
写出蜡烛的高度 h(cm)与燃烧时间 t(min)之间的关系式:
| t/min | 0 | 2 |
| 6 | 8 | 10 | … || h/cm | 30 | 29 | 28 | 27 | 26 | 25 | … |
写出蜡烛的高度 h(cm)与燃烧时间 t(min)之间的关系式:
$h=30-0.5t$
,这支蜡烛最多能燃烧的时间为 60
min.答案
$h=30-0.5t$；60
解析
【分析】
首先观察表格数据，先找高度h随时间t的变化规律：t每增加2min，蜡烛高度h就减少1cm，说明蜡烛是匀速燃烧的，符合一次函数的特征。首先可以先算出蜡烛每分钟燃烧的高度，再结合初始高度（t=0时h=30cm）写出函数关系式；要求最多燃烧时间，就是求蜡烛高度h=0时对应的t的值，代入关系式计算即可。
【解析】
1. 求h与t的关系式：
观察表格，当t=0时，h=30cm，即蜡烛初始高度为30cm；
t每增加2min，h减少1cm，因此每分钟燃烧的高度为$1÷2=0.5\ \mathrm{cm/min}$；
燃烧t分钟后，燃烧掉的高度为$0.5t\ \mathrm{cm}$，因此剩余高度$h=30-0.5t$。
2. 求最多燃烧时间：
蜡烛烧完时高度$h=0$，代入关系式得：
$0=30-0.5t$
解得$t=60$，即最多能燃烧60min。
【答案】
$h=30-0.5t$；60
【知识点】
一次函数的应用；函数关系式求解；一次函数求值
【点评】
本题结合生活中的蜡烛燃烧场景，考查从表格数据中提取规律、建立函数模型的能力，解题关键是找到蜡烛的燃烧速度和初始高度，计算时注意结合实际意义求解自变量的取值。
【难度系数】
0.8
首先观察表格数据，先找高度h随时间t的变化规律：t每增加2min，蜡烛高度h就减少1cm，说明蜡烛是匀速燃烧的，符合一次函数的特征。首先可以先算出蜡烛每分钟燃烧的高度，再结合初始高度（t=0时h=30cm）写出函数关系式；要求最多燃烧时间，就是求蜡烛高度h=0时对应的t的值，代入关系式计算即可。
【解析】
1. 求h与t的关系式：
观察表格，当t=0时，h=30cm，即蜡烛初始高度为30cm；
t每增加2min，h减少1cm，因此每分钟燃烧的高度为$1÷2=0.5\ \mathrm{cm/min}$；
燃烧t分钟后，燃烧掉的高度为$0.5t\ \mathrm{cm}$，因此剩余高度$h=30-0.5t$。
2. 求最多燃烧时间：
蜡烛烧完时高度$h=0$，代入关系式得：
$0=30-0.5t$
解得$t=60$，即最多能燃烧60min。
【答案】
$h=30-0.5t$；60
【知识点】
一次函数的应用；函数关系式求解；一次函数求值
【点评】
本题结合生活中的蜡烛燃烧场景，考查从表格数据中提取规律、建立函数模型的能力，解题关键是找到蜡烛的燃烧速度和初始高度，计算时注意结合实际意义求解自变量的取值。
【难度系数】
0.8
15.如图1,点P从△ABC的顶点A出发,沿着A→B→C的方向运动,到达点C后停止.设点P的运动时间为x,AP的长度为y,图2是y与x的关系图象,其中点E是曲线部分的最低点,则△ABC的面积是
$\dfrac{9\sqrt{3}}{2}+6$
.答案
$\dfrac{9\sqrt{3}}{2}+6$
解析
【分析】
解题时先将函数图象与点P的运动过程对应：①点P在AB上运动时，AP长度逐渐增大，对应图2的上升直线段，直线段终点的y值即为AB的长度；②点P在BC上运动时，AP长度先减小后增大，对应图2的曲线段，曲线最低点的y值是AP垂直BC时的长度，即BC边上的高，曲线终点的y值即为AC的长度。再利用勾股定理分别计算BC被垂足分成的两段长度，求和得到BC的长，最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
由图象可得：
1. 当点P到达B点时，AP=AB=5；当点P到达C点时，AP=AC=6；曲线最低点E对应AP⊥BC，此时AP=3，即BC边上的高为3，设垂足为H，则AH=3。
2. 在Rt△ABH中，由勾股定理得：$BH=\sqrt{AB^2 - AH^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$；
3. 在Rt△ACH中，由勾股定理得：$CH=\sqrt{AC^2 - AH^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$；
4. 则$BC=BH + CH=4 + 3\sqrt{3}$，
$△ ABC$的面积为：$S=\frac{1}{2} × BC × AH = \frac{1}{2} × (4 + 3\sqrt{3}) × 3 = 6 + \frac{9\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{9\sqrt{3}}{2}+6$
【知识点】
动点函数图象，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的数形结合题型，解题核心是明确函数图象中特殊点对应的几何意义，将图象信息转化为几何图形的边长、高等已知条件，再结合相关几何定理计算即可。
【难度系数】
0.6
解题时先将函数图象与点P的运动过程对应：①点P在AB上运动时，AP长度逐渐增大，对应图2的上升直线段，直线段终点的y值即为AB的长度；②点P在BC上运动时，AP长度先减小后增大，对应图2的曲线段，曲线最低点的y值是AP垂直BC时的长度，即BC边上的高，曲线终点的y值即为AC的长度。再利用勾股定理分别计算BC被垂足分成的两段长度，求和得到BC的长，最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
由图象可得：
1. 当点P到达B点时，AP=AB=5；当点P到达C点时，AP=AC=6；曲线最低点E对应AP⊥BC，此时AP=3，即BC边上的高为3，设垂足为H，则AH=3。
2. 在Rt△ABH中，由勾股定理得：$BH=\sqrt{AB^2 - AH^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$；
3. 在Rt△ACH中，由勾股定理得：$CH=\sqrt{AC^2 - AH^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$；
4. 则$BC=BH + CH=4 + 3\sqrt{3}$，
$△ ABC$的面积为：$S=\frac{1}{2} × BC × AH = \frac{1}{2} × (4 + 3\sqrt{3}) × 3 = 6 + \frac{9\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{9\sqrt{3}}{2}+6$
【知识点】
动点函数图象，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是典型的数形结合题型，解题核心是明确函数图象中特殊点对应的几何意义，将图象信息转化为几何图形的边长、高等已知条件，再结合相关几何定理计算即可。
【难度系数】
0.6
