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22. 如图,在长方形ABCD中,AB=CD=4 cm,BC=3 cm,动点P从点A出发,先以1 cm/s的速度沿A→B运动,然后以2 cm/s的速度沿B→C运动,到C点停止运动,设点P运动的时间为t s.
(1)若点P在边BC上,求t的取值范围;
(2)是否存在这样的t,使得三角形BPD的面积S大于3 cm²?如果存在,请求出t的取值范围;如果不存在,请说明理由.
(1)若点P在边BC上,求t的取值范围;
(2)是否存在这样的t,使得三角形BPD的面积S大于3 cm²?如果存在,请求出t的取值范围;如果不存在,请说明理由.
答案
22.(1)$4≤t≤5.5$
(2)分两种情况讨论:
①当点 $ P $ 在 $ AB $ 上时,如图 1 所示.
假设存在三角形 $ BPD $ 的面积满足条件,即运动时间为 $ t $ s,则
$ S_{\mathrm{三角形}BPD}=\dfrac{1}{2}(4-t)×3=\dfrac{3}{2}(4-t)＞3 $,解得 $ t＜2 $.
又因为点 $ P $ 在 $ AB $ 上运动,$ 0≤t≤4 $,所以 $ 0≤t＜2 $.
②当点 $ P $ 在 $ BC $ 上时,如图 2 所示.
假设存在三角形 $ BPD $ 的面积满足条件,即运动时间为 $ t $ s,则
$ S_{\mathrm{三角形}BPD}=\dfrac{1}{2}(t-4)×2×4=4t-16＞3 $,解得 $ t＞4.75 $.
又因为点 $ P $ 在 $ BC $ 上运动,$ 4≤t≤5.5 $,所以 $ 4.75＜t≤5.5 $.
综上所述,存在这样的 $ t $,使得三角形 $ BPD $ 的面积满足条件,此时 $ 0≤t＜2 $ 或 $ 4.75＜t≤5.5 $.
解析
【分析】
(1) 求解点P在BC上的t的取值范围，首先需要计算点P走完AB段的时间，再计算走完AB和BC全程的总时间，两个时间端点即可确定P在BC上的t的区间。
(2) 判断是否存在t使△BPD的面积大于$3\ \mathrm{cm^2}$，需按动点P的位置分两类讨论：①P在AB上时，△BPD的底为PB，高为长方形的宽AD，用t表示PB长度，结合三角形面积公式列不等式求解，再结合P在AB上的t的范围对结果取舍；②P在BC上时，△BPD的底为PB，高为长方形的长CD，用t表示PB长度，列不等式求解后结合P在BC上的t的范围取舍，最后综合两类情况的结论即可。
【解析】
(1) 点P在AB段的运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，AB长$4\ \mathrm{cm}$，因此走完AB段的时间为$4÷1=4\ \mathrm{s}$；
BC长$3\ \mathrm{cm}$，P在BC段的运动速度为$2\ \mathrm{cm/s}$，因此走完BC段的时间为$3÷2=1.5\ \mathrm{s}$，走完全程的总时间为$4+1.5=5.5\ \mathrm{s}$，因此点P在边BC上时，t的取值范围是$4\le t\le5.5$。
(2) 存在这样的t，分两种情况讨论：
①当点P在AB上时，如图1所示。设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，此时$PB=(4-t)\ \mathrm{cm}$，△BPD中PB边上的高等于AD的长度$3\ \mathrm{cm}$，则：
$S_{△ BPD}=\dfrac{1}{2}(4-t)×3=\dfrac{3}{2}(4-t)$
令$S＞3$，即$\dfrac{3}{2}(4-t)＞3$，解得$t＜2$。
又因为点P在AB上运动时$0\le t\le4$，因此此时t的取值范围为$0\le t＜2$。
②当点P在BC上时，如图2所示。设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，此时P在BC上运动的时长为$(t-4)\ \mathrm{s}$，因此$PB=2(t-4)\ \mathrm{cm}$，△BPD中PB边上的高等于CD的长度$4\ \mathrm{cm}$，则：
$S_{△ BPD}=\dfrac{1}{2}×2(t-4)×4=4t-16$
令$S＞3$，即$4t-16＞3$，解得$t＞4.75$。
又因为点P在BC上运动时$4\le t\le5.5$，因此此时t的取值范围为$4.75＜ t\le5.5$。
综上，存在满足条件的t，t的取值范围为$0\le t＜2$或$4.75＜ t\le5.5$。
【答案】
(1)$4≤t≤5.5$
(2)存在这样的$t$,使得三角形$BPD$的面积满足条件,此时$0≤t＜2$或$4.75＜t≤5.5$。
【知识点】
动点分类讨论，三角形面积计算，一元一次不等式应用
【点评】
本题是动态几何结合不等式的典型基础题，解题关键是根据动点的运动位置合理分类，正确用含时间t的代数式表示三角形的对应边长，结合面积公式列不等式求解，注意求解后要结合动点的实际运动区间对结果进行取舍，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解点P在BC上的t的取值范围，首先需要计算点P走完AB段的时间，再计算走完AB和BC全程的总时间，两个时间端点即可确定P在BC上的t的区间。
(2) 判断是否存在t使△BPD的面积大于$3\ \mathrm{cm^2}$，需按动点P的位置分两类讨论：①P在AB上时，△BPD的底为PB，高为长方形的宽AD，用t表示PB长度，结合三角形面积公式列不等式求解，再结合P在AB上的t的范围对结果取舍；②P在BC上时，△BPD的底为PB，高为长方形的长CD，用t表示PB长度，列不等式求解后结合P在BC上的t的范围取舍，最后综合两类情况的结论即可。
【解析】
(1) 点P在AB段的运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，AB长$4\ \mathrm{cm}$，因此走完AB段的时间为$4÷1=4\ \mathrm{s}$；
BC长$3\ \mathrm{cm}$，P在BC段的运动速度为$2\ \mathrm{cm/s}$，因此走完BC段的时间为$3÷2=1.5\ \mathrm{s}$，走完全程的总时间为$4+1.5=5.5\ \mathrm{s}$，因此点P在边BC上时，t的取值范围是$4\le t\le5.5$。
(2) 存在这样的t，分两种情况讨论：
①当点P在AB上时，如图1所示
。设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，此时$PB=(4-t)\ \mathrm{cm}$，△BPD中PB边上的高等于AD的长度$3\ \mathrm{cm}$，则：$S_{△ BPD}=\dfrac{1}{2}(4-t)×3=\dfrac{3}{2}(4-t)$
令$S＞3$，即$\dfrac{3}{2}(4-t)＞3$，解得$t＜2$。
又因为点P在AB上运动时$0\le t\le4$，因此此时t的取值范围为$0\le t＜2$。
②当点P在BC上时，如图2所示
。设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，此时P在BC上运动的时长为$(t-4)\ \mathrm{s}$，因此$PB=2(t-4)\ \mathrm{cm}$，△BPD中PB边上的高等于CD的长度$4\ \mathrm{cm}$，则：$S_{△ BPD}=\dfrac{1}{2}×2(t-4)×4=4t-16$
令$S＞3$，即$4t-16＞3$，解得$t＞4.75$。
又因为点P在BC上运动时$4\le t\le5.5$，因此此时t的取值范围为$4.75＜ t\le5.5$。
综上，存在满足条件的t，t的取值范围为$0\le t＜2$或$4.75＜ t\le5.5$。
【答案】
(1)$4≤t≤5.5$
(2)存在这样的$t$,使得三角形$BPD$的面积满足条件,此时$0≤t＜2$或$4.75＜t≤5.5$。
【知识点】
动点分类讨论，三角形面积计算，一元一次不等式应用
【点评】
本题是动态几何结合不等式的典型基础题，解题关键是根据动点的运动位置合理分类，正确用含时间t的代数式表示三角形的对应边长，结合面积公式列不等式求解，注意求解后要结合动点的实际运动区间对结果进行取舍，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
23. 某城市义务绿化小队决定在植树节当天进行义务植树活动，现决定采购“女贞”和“小叶黄杨”两种类型的树苗共1 000棵.已知一棵“女贞”树苗比一棵“小叶黄杨”树苗贵4元，100元可以购买5棵“女贞”和35棵“小叶黄杨”树苗.
(1)求“女贞”树苗和“小叶黄杨”树苗的单价；
(2)若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的$\frac{1}{3}$，则至少购买“女贞”树苗多少棵？
(3)在(2)的条件下，若购买树苗的预算不超过3 010元，则一共有几种购买方案？哪一种最省钱？
(1)求“女贞”树苗和“小叶黄杨”树苗的单价；
(2)若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的$\frac{1}{3}$，则至少购买“女贞”树苗多少棵？
(3)在(2)的条件下，若购买树苗的预算不超过3 010元，则一共有几种购买方案？哪一种最省钱？
答案
23.(1)设“女贞”树苗的单价为 $ x $ 元,“小叶黄杨”树苗的单价为 $ y $ 元.
根据题意,得$\begin{cases} x-y=4, \\ 5x+35y=100, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=6, \\ y=2. \end{cases}$
答:“女贞”树苗的单价为 6 元,“小叶黄杨”树苗的单价为 2 元.
(2)设购买“女贞”树苗 $ a $ 棵,则购买“小叶黄杨”树苗$(1\ 000-a)$棵.
由题意可得 $ a≥\dfrac{1}{3}(1\ 000-a) $,解得 $ a≥250 $.
答:至少购买“女贞”树苗 250 棵.
(3)由题意可列不等式 $ 6a+2(1\ 000-a)≤3\ 010 $,解得 $ a≤252\dfrac{1}{2} $.
由(2)可知 $ a≥250 $,$ \therefore 250≤a≤252\dfrac{1}{2} $.
$ \because a $ 为整数,$ \therefore a $ 的取值可以是 250,251,252.
即有三种购买方案:
方案一,购买“女贞”树苗 250 棵,“小叶黄杨”树苗 750 棵,费用为 $ 6×250+2×750=3\ 000 $(元).
方案二,购买“女贞”树苗 251 棵,“小叶黄杨”树苗 749 棵,费用为 $ 6×251+2×749=3\ 004 $(元).
方案三,购买“女贞”树苗 252 棵,“小叶黄杨”树苗 748 棵,费用为 $ 6×252+2×748=3\ 008 $(元).
$ \because 3\ 000＜3\ 004＜3\ 008 $,$ \therefore $ 方案一最省钱.
答:一共有三种购买方案,最省钱的方案是购买“女贞”树苗 250 棵,购买“小叶黄杨”树苗 750 棵.
根据题意,得$\begin{cases} x-y=4, \\ 5x+35y=100, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=6, \\ y=2. \end{cases}$
答:“女贞”树苗的单价为 6 元,“小叶黄杨”树苗的单价为 2 元.
(2)设购买“女贞”树苗 $ a $ 棵,则购买“小叶黄杨”树苗$(1\ 000-a)$棵.
由题意可得 $ a≥\dfrac{1}{3}(1\ 000-a) $,解得 $ a≥250 $.
答:至少购买“女贞”树苗 250 棵.
(3)由题意可列不等式 $ 6a+2(1\ 000-a)≤3\ 010 $,解得 $ a≤252\dfrac{1}{2} $.
由(2)可知 $ a≥250 $,$ \therefore 250≤a≤252\dfrac{1}{2} $.
$ \because a $ 为整数,$ \therefore a $ 的取值可以是 250,251,252.
即有三种购买方案:
方案一,购买“女贞”树苗 250 棵,“小叶黄杨”树苗 750 棵,费用为 $ 6×250+2×750=3\ 000 $(元).
方案二,购买“女贞”树苗 251 棵,“小叶黄杨”树苗 749 棵,费用为 $ 6×251+2×749=3\ 004 $(元).
方案三,购买“女贞”树苗 252 棵,“小叶黄杨”树苗 748 棵,费用为 $ 6×252+2×748=3\ 008 $(元).
$ \because 3\ 000＜3\ 004＜3\ 008 $,$ \therefore $ 方案一最省钱.
答:一共有三种购买方案,最省钱的方案是购买“女贞”树苗 250 棵,购买“小叶黄杨”树苗 750 棵.
解析
【分析】
(1) 求解两种树苗单价可利用题干给出的两个等量关系：①1棵女贞树苗比1棵小叶黄杨树苗贵4元；②5棵女贞树苗加35棵小叶黄杨树苗总价为100元，设两个未知数列二元一次方程组即可求解。
(2) 求至少购买女贞树苗的数量，已知两种树苗总数量为1000棵，设女贞树苗数量为a，可表示出小叶黄杨树苗的数量，结合“女贞树苗数量不少于小叶黄杨数量的$\frac{1}{3}$”的不等关系列一元一次不等式，求解得到a的最小整数值即可。
(3) 结合预算不超过3010元的限制再列关于a的不等式，结合第(2)问得到的a的取值范围，找出范围内的整数a即可得到方案总数；由于女贞树苗单价更高，购买的女贞树苗越少总费用越低，也可直接计算各方案费用对比得到最省钱方案。
【解析】
(1) 设“女贞”树苗的单价为$x$元，“小叶黄杨”树苗的单价为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x-y=4 \\ 5x+35y=100 \end{cases}$
将$x=y+4$代入第二个方程，得$5(y+4)+35y=100$，解得$y=2$，再代入得$x=6$。
(2) 设购买“女贞”树苗$a$棵，则购买“小叶黄杨”树苗$(1000-a)$棵。
由题意得：$a≥ \dfrac{1}{3}(1000-a)$
解不等式：$3a≥ 1000-a$，$4a≥ 1000$，解得$a≥ 250$，即$a$的最小值为250。
(3) 由预算限制列不等式：$6a+2(1000-a)≤ 3010$
解不等式：$4a+2000≤ 3010$，$4a≤ 1010$，解得$a≤ 252.5$。
结合(2)的结论$a≥ 250$，且$a$为正整数，得$a$可取250、251、252，共3种取值，对应3种购买方案：
方案一：女贞250棵，小叶黄杨750棵，费用为$6×250+2×750=3000$元；
方案二：女贞251棵，小叶黄杨749棵，费用为$6×251+2×749=3004$元；
方案三：女贞252棵，小叶黄杨748棵，费用为$6×252+2×748=3008$元。
对比费用可知方案一总费用最低。
【答案】
(1)“女贞”树苗单价为6元，“小叶黄杨”树苗单价为2元；
(2)至少购买“女贞”树苗250棵；
(3)一共有3种购买方案，最省钱的方案是购买“女贞”树苗250棵，“小叶黄杨”树苗750棵。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次不等式应用、最优方案选择
【点评】
本题以植树采购的生活场景为载体，综合考查了从题干提取等量关系、不等关系解决实际问题的能力，同时渗透了最优决策的思维，题型经典，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 求解两种树苗单价可利用题干给出的两个等量关系：①1棵女贞树苗比1棵小叶黄杨树苗贵4元；②5棵女贞树苗加35棵小叶黄杨树苗总价为100元，设两个未知数列二元一次方程组即可求解。
(2) 求至少购买女贞树苗的数量，已知两种树苗总数量为1000棵，设女贞树苗数量为a，可表示出小叶黄杨树苗的数量，结合“女贞树苗数量不少于小叶黄杨数量的$\frac{1}{3}$”的不等关系列一元一次不等式，求解得到a的最小整数值即可。
(3) 结合预算不超过3010元的限制再列关于a的不等式，结合第(2)问得到的a的取值范围，找出范围内的整数a即可得到方案总数；由于女贞树苗单价更高，购买的女贞树苗越少总费用越低，也可直接计算各方案费用对比得到最省钱方案。
【解析】
(1) 设“女贞”树苗的单价为$x$元，“小叶黄杨”树苗的单价为$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x-y=4 \\ 5x+35y=100 \end{cases}$
将$x=y+4$代入第二个方程，得$5(y+4)+35y=100$，解得$y=2$，再代入得$x=6$。
(2) 设购买“女贞”树苗$a$棵，则购买“小叶黄杨”树苗$(1000-a)$棵。
由题意得：$a≥ \dfrac{1}{3}(1000-a)$
解不等式：$3a≥ 1000-a$，$4a≥ 1000$，解得$a≥ 250$，即$a$的最小值为250。
(3) 由预算限制列不等式：$6a+2(1000-a)≤ 3010$
解不等式：$4a+2000≤ 3010$，$4a≤ 1010$，解得$a≤ 252.5$。
结合(2)的结论$a≥ 250$，且$a$为正整数，得$a$可取250、251、252，共3种取值，对应3种购买方案：
方案一：女贞250棵，小叶黄杨750棵，费用为$6×250+2×750=3000$元；
方案二：女贞251棵，小叶黄杨749棵，费用为$6×251+2×749=3004$元；
方案三：女贞252棵，小叶黄杨748棵，费用为$6×252+2×748=3008$元。
对比费用可知方案一总费用最低。
【答案】
(1)“女贞”树苗单价为6元，“小叶黄杨”树苗单价为2元；
(2)至少购买“女贞”树苗250棵；
(3)一共有3种购买方案，最省钱的方案是购买“女贞”树苗250棵，“小叶黄杨”树苗750棵。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次不等式应用、最优方案选择
【点评】
本题以植树采购的生活场景为载体，综合考查了从题干提取等量关系、不等关系解决实际问题的能力，同时渗透了最优决策的思维，题型经典，实用性较强。
【难度系数】
0.7
