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24.青青商场销售甲、乙两种商品,甲种商品每件进价为15元,售价为20元;乙种商品每件进价为35元,售价为45元.
(1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件,恰好用去2 700元,则购进甲、乙两种商品各多少件?
(2)该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润(利润=售价-进价)不少于750元,且不超过760元,请你帮助该商场设计相应的进货方案;
(3)在节假日期间,该商场对甲、乙两种商品进行优惠促销,活动如下:
按上述优惠活动,若小明第一天只购买甲种商品,一次性付款200元,第二天只购买乙种商品,打折后一次性付款324元,那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件?(通过计算求出所有符合要求的结果)
(1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件,恰好用去2 700元,则购进甲、乙两种商品各多少件?
(2)该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润(利润=售价-进价)不少于750元,且不超过760元,请你帮助该商场设计相应的进货方案;
(3)在节假日期间,该商场对甲、乙两种商品进行优惠促销,活动如下:
按上述优惠活动,若小明第一天只购买甲种商品,一次性付款200元,第二天只购买乙种商品,打折后一次性付款324元,那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件?(通过计算求出所有符合要求的结果)
答案
24.(1)设该商场购进甲种商品 $ x $ 件,根据题意,得 $ 15x+35(100-x)=2\ 700 $,解得 $ x=40 $(件).
乙种商品有 $ 100-40=60 $(件).
答:购进甲、乙两种商品分别为 40 件和 60 件.
(2)设该商场购进甲种商品 $ a $ 件,则购进乙种商品$(100-a)$件,依题意有
$\begin{cases} (20-15)a+(45-35)(100-a)≥750, \\ (20-15)a+(45-35)(100-a)≤760, \end{cases}$ 解得 $ 48≤a≤50 $.
依题意,$ a $ 应为正整数,则 $ a=48 $ 或 $ a=49 $ 或 $ a=50 $.
所以该商场共有三种进货方案:
方案一,购进甲种商品 48 件,乙种商品 52 件;
方案二,购进甲种商品 49 件,乙种商品 51 件;
方案三,购进甲种商品 50 件,乙种商品 50 件.
(3)根据题意知第一天只购进甲种商品且不享受优惠,则 $ 200÷20=10 $(件).
第二天只购进乙种商品有以下两种情况:
情况一,购买乙种商品打九折,$ 324÷90\%÷45=8 $(件),并验证打折前总额为 $ 45×8=360 $(元),符合打折条件;
情况二,购买乙种商品打八折,$ 324÷80\%÷45=9 $(件),并验证打折前总额为 $ 45×9=405 $(元),符合打折条件.
所以一共可购买甲、乙两种商品 $ 10+8=18 $(件),或 $ 10+9=19 $(件).
答:这两天小明在该商场购买甲、乙两种商品一共 18 件或 19 件.
乙种商品有 $ 100-40=60 $(件).
答:购进甲、乙两种商品分别为 40 件和 60 件.
(2)设该商场购进甲种商品 $ a $ 件,则购进乙种商品$(100-a)$件,依题意有
$\begin{cases} (20-15)a+(45-35)(100-a)≥750, \\ (20-15)a+(45-35)(100-a)≤760, \end{cases}$ 解得 $ 48≤a≤50 $.
依题意,$ a $ 应为正整数,则 $ a=48 $ 或 $ a=49 $ 或 $ a=50 $.
所以该商场共有三种进货方案:
方案一,购进甲种商品 48 件,乙种商品 52 件;
方案二,购进甲种商品 49 件,乙种商品 51 件;
方案三,购进甲种商品 50 件,乙种商品 50 件.
(3)根据题意知第一天只购进甲种商品且不享受优惠,则 $ 200÷20=10 $(件).
第二天只购进乙种商品有以下两种情况:
情况一,购买乙种商品打九折,$ 324÷90\%÷45=8 $(件),并验证打折前总额为 $ 45×8=360 $(元),符合打折条件;
情况二,购买乙种商品打八折,$ 324÷80\%÷45=9 $(件),并验证打折前总额为 $ 45×9=405 $(元),符合打折条件.
所以一共可购买甲、乙两种商品 $ 10+8=18 $(件),或 $ 10+9=19 $(件).
答:这两天小明在该商场购买甲、乙两种商品一共 18 件或 19 件.
解析
【分析】
(1) 第一问可设购进甲种商品的件数为未知数，乙种商品件数用总件数减去甲的件数表示，根据“甲商品总进价+乙商品总进价=2700元”的等量关系列一元一次方程求解即可。
(2) 第二问先计算甲、乙两种商品的单件利润，设甲的进货量为a件，乙的进货量用(100-a)表示，结合总利润的范围列一元一次不等式组，求出a的取值范围后取正整数解，即可得到所有进货方案。
(3) 第三问为分段优惠问题，第一天付款200元未超过300元，无优惠，直接用付款额除以甲的单价得到甲的购买量；第二天购买乙商品付款324元，需分“打九折（总金额300~400元）”和“打八折（总金额超过400元）”两种情况讨论，分别计算乙的购买量后与第一天的数量相加，注意要验证结果是否符合对应打折区间的要求。
【解析】
(1) 设购进甲种商品$x$件，则购进乙种商品$(100-x)$件，根据题意列方程：
$15x+35(100-x)=2700$
展开得$15x+3500-35x=2700$
移项合并得$-20x=-800$
解得$x=40$
则乙种商品数量：$100-40=60$（件）
(2) 设购进甲种商品$a$件，则购进乙种商品$(100-a)$件，甲单件利润为$20-15=5$元，乙单件利润为$45-35=10$元，根据总利润范围列不等式组：
$\begin{cases} 5a+10(100-a)≥750 \\ 5a+10(100-a)≤760 \end{cases}$
解第一个不等式得$a≤50$，解第二个不等式得$a≥48$，故解集为$48≤a≤50$。
因为$a$为正整数，所以$a=48、49、50$，对应三种方案：
方案一：甲48件，乙$100-48=52$件；
方案二：甲49件，乙$100-49=51$件；
方案三：甲50件，乙$100-50=50$件。
(3) 第一天购买甲商品无优惠，购买数量：$200÷20=10$（件）。
第二天购买乙商品分两种情况：
情况一：享受九折优惠，打折前总金额为$324÷90\%=360$元，$300＜360≤400$符合要求，购买乙数量：$360÷45=8$件，总数量$10+8=18$件；
情况二：享受八折优惠，打折前总金额为$324÷80\%=405$元，$405＞400$符合要求，购买乙数量：$405÷45=9$件，总数量$10+9=19$件。
【答案】
(1) 购进甲种商品40件，乙种商品60件；
(2) 共三种进货方案：方案一：甲48件，乙52件；方案二：甲49件，乙51件；方案三：甲50件，乙50件；
(3) 一共购买甲、乙两种商品18件或19件。
【知识点】
一元一次方程应用，一元一次不等式组应用，分类讨论
【点评】
本题属于销售类综合应用题，前两问考查方程、不等式组的基础应用，难度较低；第三问为分段优惠问题，需要结合不同优惠区间分类讨论，注意不要遗漏符合条件的情况，计算后要验证结果是否符合对应优惠规则。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问可设购进甲种商品的件数为未知数，乙种商品件数用总件数减去甲的件数表示，根据“甲商品总进价+乙商品总进价=2700元”的等量关系列一元一次方程求解即可。
(2) 第二问先计算甲、乙两种商品的单件利润，设甲的进货量为a件，乙的进货量用(100-a)表示，结合总利润的范围列一元一次不等式组，求出a的取值范围后取正整数解，即可得到所有进货方案。
(3) 第三问为分段优惠问题，第一天付款200元未超过300元，无优惠，直接用付款额除以甲的单价得到甲的购买量；第二天购买乙商品付款324元，需分“打九折（总金额300~400元）”和“打八折（总金额超过400元）”两种情况讨论，分别计算乙的购买量后与第一天的数量相加，注意要验证结果是否符合对应打折区间的要求。
【解析】
(1) 设购进甲种商品$x$件，则购进乙种商品$(100-x)$件，根据题意列方程：
$15x+35(100-x)=2700$
展开得$15x+3500-35x=2700$
移项合并得$-20x=-800$
解得$x=40$
则乙种商品数量：$100-40=60$（件）
(2) 设购进甲种商品$a$件，则购进乙种商品$(100-a)$件，甲单件利润为$20-15=5$元，乙单件利润为$45-35=10$元，根据总利润范围列不等式组：
$\begin{cases} 5a+10(100-a)≥750 \\ 5a+10(100-a)≤760 \end{cases}$
解第一个不等式得$a≤50$，解第二个不等式得$a≥48$，故解集为$48≤a≤50$。
因为$a$为正整数，所以$a=48、49、50$，对应三种方案：
方案一：甲48件，乙$100-48=52$件；
方案二：甲49件，乙$100-49=51$件；
方案三：甲50件，乙$100-50=50$件。
(3) 第一天购买甲商品无优惠，购买数量：$200÷20=10$（件）。
第二天购买乙商品分两种情况：
情况一：享受九折优惠，打折前总金额为$324÷90\%=360$元，$300＜360≤400$符合要求，购买乙数量：$360÷45=8$件，总数量$10+8=18$件；
情况二：享受八折优惠，打折前总金额为$324÷80\%=405$元，$405＞400$符合要求，购买乙数量：$405÷45=9$件，总数量$10+9=19$件。
【答案】
(1) 购进甲种商品40件，乙种商品60件；
(2) 共三种进货方案：方案一：甲48件，乙52件；方案二：甲49件，乙51件；方案三：甲50件，乙50件；
(3) 一共购买甲、乙两种商品18件或19件。
【知识点】
一元一次方程应用，一元一次不等式组应用，分类讨论
【点评】
本题属于销售类综合应用题，前两问考查方程、不等式组的基础应用，难度较低；第三问为分段优惠问题，需要结合不同优惠区间分类讨论，注意不要遗漏符合条件的情况，计算后要验证结果是否符合对应优惠规则。
【难度系数】
0.6
