24.为了提高学生的身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划利用每日的“阳光大课间”开展跳绳活动，并准备购买甲、乙两款跳绳。已知甲款跳绳的单价比乙款跳绳的单价少5元，用250元购买甲款跳绳的数量与用300元购买乙款跳绳的数量相同。
(1)求甲、乙两款跳绳的单价各是多少元；
(2)该校计划购买甲、乙两款跳绳共50条，且甲款跳绳的数量不超过乙款跳绳数量的一半，求购买这批跳绳的最少费用。

解：
(1) 设甲款跳绳的单价为$x$元，则乙款跳绳的单价为$(x+5)$元。
根据题意列方程：
$\frac{250}{x} = \frac{300}{x+5}$
方程两边同乘$x(x+5)$，得：
$250(x+5) = 300x$
解得：$x=25$
检验：当$x=25$时，$x(x+5) ≠ 0$，$x=25$是原分式方程的解，且符合题意。
乙款跳绳的单价为$25+5=30$元。
(2) 设购买甲款跳绳$m$条，购买这批跳绳的总费用为$w$元，则购买乙款跳绳$(50-m)$条。
根据题意得：
$m ≤ \frac{1}{2}(50 - m)$
解得：$m ≤ \frac{50}{3}$
$\because m$为正整数，
$\therefore m$的最大取值为16。
总费用表达式为：
$w = 25m + 30(50 - m) = -5m + 1500$
$\because -5 ＜ 0$，
$\therefore w$随$m$的增大而减小，
当$m=16$时，$w$取得最小值，最小值为$-5×16 + 1500 = 1420$元。
答：(1) 甲款跳绳的单价为25元，乙款跳绳的单价为30元；(2) 购买这批跳绳的最少费用为1420元。

25. 材料1:将一个形如$x^2 + px + q$的二次三项式因式分解时,若能满足$q=mn$且$p=m+n$,则可以把$x^2 + px + q$因式分解成$(x+m)(x+n)$。例如:①$x^2 +3x +2=(x+1)(x+2)$;②$x^2 -2x -8=(x-4)(x+2)$。
材料2:因式分解:$(x+y)^2 +2(x+y)+1$。
解:将“$x+y$”看成一个整体,令$x+y=A$,则原式$=A^2 +2A +1=(A+1)^2$,再将“A”还原,得原式$=(x+y+1)^2$。
上述解题用到“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法,请你解答下列问题:
(1)根据材料1,把$x^2 -x -2$分解因式;
(2)结合材料1和材料2,解答下面各题:
①分解因式:$(x-y)^2 +5(x-y)+4$;
②分解因式:$(m+n)(m+n-6)+5$。

解：
(1) 对于二次三项式$x^2 -x -2$，满足$q=-2=(-2)×1$，$p=-1=(-2)+1$，
因此$x^2 -x -2=(x-2)(x+1)$。
(2) ① 令$A=x-y$，则原式转化为：
$A^2 +5A +4$
其中$q=4=1×4$，$p=5=1+4$，因此$A^2 +5A +4=(A+1)(A+4)$，
将$A=x-y$还原，得原式$=(x-y+1)(x-y+4)$。
② 令$B=m+n$，则原式转化为：
$B(B-6)+5 = B^2 -6B +5$
其中$q=5=(-1)×(-5)$，$p=-6=(-1)+(-5)$，因此$B^2 -6B +5=(B-1)(B-5)$，
将$B=m+n$还原，得原式$=(m+n-1)(m+n-5)$。