26.【方法初探】
(1)如图1,在$△ ABC$和$△ AEF$中,$AB=AC,AE=AF,∠ BAC=∠ EAF=90°$,点$B$在边$EF$上,连接$CF$。求证:$BE=CF,BE⊥ CF$;
【类比应用】
(2)如图2,在$△ ABC$中,$AB=AC,∠ BAC=90°$,将线段$AC$绕点$A$逆时针旋转一个角度$α(0°＜α＜180°)$,得到线段$AP$,连接$BP$,过点$A$作$BP$的垂线$AD$,分别交$BP$与射线$PC$于点$D,F$,连接$BF$。
①线段$AC$绕点$A$旋转的过程中,$∠ BPF$的度数是否发生变化?若不变,请求出$∠ BPF$的度数;若发生变化,请说明理由;
②求证:$FB+FC=\sqrt{2}FA$;
③若$AC=3\sqrt{3},AF=4\sqrt{2}$,请直接写出$△ BCF$的面积。

(1) 证明：
∵ $∠ BAC = ∠ EAF = 90°$，
∴ $∠ EAF - ∠ BAF = ∠ BAC - ∠ BAF$，即 $∠ EAB = ∠ FAC$。
又∵ $AE = AF$，$AB = AC$，
∴ $△ AEB ≌ △ AFC \ (\mathrm{SAS})$。
∴ $BE = CF$，$∠ E = ∠ AFC$。
∵ $AE = AF$，$∠ EAF = 90°$，
∴ $∠ E = ∠ AFE = 45°$，
∴ $∠ AFC = 45°$，
∴ $∠ EFC = ∠ AFE + ∠ AFC = 90°$，
∴ $BE ⊥ CF$。
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(2) ① 解：
$∠ BPF$ 的度数不变，为 $45°$。
由旋转性质得 $AP = AC$，又 $AB = AC$，故 $AB = AP = AC$。
∴ $∠ ABP = ∠ APB$，$∠ APC = ∠ ACP$。
设 $∠ PAC = α$，则 $∠ BAP = 90° + α$，
∴ $∠ APB = \frac{180° - (90° + α)}{2} = \frac{90° - α}{2}$，
$∠ APC = \frac{180° - α}{2}$，
∴ $∠ BPF = ∠ APC - ∠ APB = \frac{180° - α}{2} - \frac{90° - α}{2} = 45°$。
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② 证明：
过点 $A$ 作 $AH ⊥ AF$，交 $BF$ 于点 $H$。
由 $∠ BPF = 45°$，$AD ⊥ BP$，得 $∠ AFD = 45°$，
∴ $△ AHF$ 为等腰直角三角形，$AH = AF$，$HF = \sqrt{2}FA$。
∵ $∠ HAF = 90°$，$∠ BAC = 90°$，
∴ $∠ BAH = ∠ CAF$。
又∵ $AB = AC$，
∴ $△ BAH ≌ △ CAF \ (\mathrm{SAS})$，
∴ $BH = FC$。
∴ $HF = BH + FB = FC + FB$，
即 $FB + FC = \sqrt{2}FA$。
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③ 解：
$\because AC = 3\sqrt{3}$，$∠ BAC = 90°$，
$\therefore BC^2 = AB^2 + AC^2 = 2 × (3\sqrt{3})^2 = 54$。
由②得 $FB + FC = \sqrt{2} × 4\sqrt{2} = 8$，
又 $∠ BFC = ∠ AFH + ∠ AFC = 45° + 45° = 90°$，
$\therefore FB^2 + FC^2 = BC^2 = 54$。
$\because (FB + FC)^2 = FB^2 + 2 · FB · FC + FC^2$，
$\therefore 64 = 54 + 2 · FB · FC$，得 $FB · FC = 5$，
$\therefore S_{△ BCF} = \frac{1}{2} · FB · FC = \frac{5}{2}$。
最终 $△ BCF$ 的面积为 $\boldsymbol{\frac{5}{2}}$。